[editar] Círculo Trigonométrico - Escola Estadual Luís Vaz de Camões

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Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do
outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato
crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são
proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior que o lado
do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor
lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do
primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.
Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos
retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em
um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos
ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo
retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado
oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de
catetos.
Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo A são necessariamente
similares, e a razão entre o lado oposto a A e a hipotenusa será, portanto, a mesma nos
dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de A. Este
número é chamado de seno de A e é escrito como
. Similarmente, pode-se
definir o cosseno (ou co-seno) de A como a razão do cateto adjacente a A pela
hipotenusa.
[editar] Círculo Trigonométrico
Círculo trigonométrico
Ver artigo principal: Círculo trigonométrico
É uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos eixos de um
plano cartesiano ortogonal. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o
sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o
lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se
dá no sentido contrário ao anterior.
[editar] Seno
Ver artigo principal: Seno
Seno é a projeção no eixo vertical do segmento de reta que parte do centro do círculo
trigonométrico e vai até a circunferência.
Como o seno é uma projeção, e esta projeção está no interior do ciclo trigonométrico e
este possui raio unitário, segue que,
do seno é o intervalo fechado [ − 1,1].
, ou seja, a imagem
O seno de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto oposto e a
medida da hipotenusa.
[editar] Co-seno
Ver artigo principal: Co-seno
Co-seno é a projeção no eixo horizontal do segmento de reta que parte do centro do
círculo trigonométrico e vai até a circunferência. Como o co-seno é uma projeção, e esta
projeção está no interior do ciclo trigonométrico e este possui raio unitário, segue que,
, ou seja,a imagem do cosseno é o intervalo fechado [ −
1,1].
O co-seno de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto adjacente e
a medida da hipotenusa.
[editar] Tangente
Ver artigo principal: Tangente
Tangente é o segmento de reta formado entre o ponto de cruzamento de seu eixo com a
reta definida pelo centro do círculo trigonométrico e o ângulo com sua origem.
A tangente de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto oposto e a
medida do cateto adjacente.
Dados dois pontos A e B numa circunferência, podemos sair de A e chegar em
B de diferentes maneiras:

andando no sentido anti-horário;

andando no sentido horário;

andando no sentido anti-horário, dando algumas voltas na circunferência
e parando em B;

andando no sentido horário, dando algumas voltas na circunferência e
parando em B.
Em qualquer uma das situações descritas, fica determinado um diferente arco
na circunferência. Para que isso fique claro, a circunferência é orientada e, por
convenção, o sentido anti-horário é considerado o sentido positivo de
percurso; conseqüentemente, o sentido horário é o negativo.
Em primeiro lugar, temos que a cada arco orientado corresponde um ângulo
central orientado.
Além disso, precisamos estabelecer uma forma de medir os arcos orientados
e, portanto, dos correspondentes ângulos centrais orientados.
Para medir um arco qualquer AB, precisamos verificar quantas vezes a unidade
de medida "cabe" nele. A fim de medir arcos e ângulos orientados, temos duas
unidades de medida específicas: o grau e o radiano. Para medir os arcos,
podemos também examinar o seu comprimento e então as unidades usuais
podem ser utilizadas, como m, cm, km, etc.
A circunferência orientada, de raio 1, acoplada a um referencial cartesiano e
com um ponto origem para marcar os arcos orientados é chamada
circunferência trigonométrica - ou círculo trigonométrico, se encaramos a
região do plano, ou ainda ciclo trigonométrico.
O quadrante astronómico, conhecido desde a Antiguidade, foi o instrumento de alturas
mais cedo adaptado à náutica: é referido pela primeira vez no relato de Diogo Gomes,
que declara tê-lo utilizado numa viagem efectuada por volta de 1460. Os quadrantes
usados em astrologia apresentavam, em geral, outros órgãos acessórios, com escalas que
davam as tangentes de certos ângulos, linhas horárias e por vezes também, mas só a
partir do século XIII, um cursor que se deslocava ao longo da escala de alturas e
resolvia certos problemas astronómicos. Com o tempo procurou-se fazer do quadrante
náutico um instrumento de precisão adaptando-lhe um nónio ou modificando-o sem lhe
alterar a base de construção.
Tinha como finalidade tomar as alturas dos astros e era geralmente feito de madeira ou
latão. Era um quarto de círculo e possuía os graus de 0º a 90º. Em ambas as
extremidades marcadas com o ângulo recto possuía duas pínulas que continham um
pequeno furo por onde se apontava ao astro desejado. Era colocado um fio de prumo ao
centro, de forma a interceptar a parte graduada. Era graças a esse fio que se lia a
graduação que indicava a altura do astro.
Já no século XV, o quadrante era utilizado pelos portugueses. Este instrumento náutico
foi utilizado pelos portugueses no ano de 1460, ano da morte do Infante D. Henrique.
O quadrante permitia determinar a latitude entre o ponto de partida e o lugar onde a
embarcação se encontrava, cujo o cálculo se baseava na altura da Estrela Polar ou a
altura de um astro qualquer ao cruzar o meridiano do local.
Tinha a forma de um quarto de círculo, graduado de 0º a 90º. Na extremidade onde
estavam marcados os 90º tinha duas pínulas com um orifício por onde se fazia pontaria
ao astro. No centro tinha um fio de prumo. Observando a posição do fio de prumo lia-se
a graduação que indicava a altura do astro.
Tanto o quadrante como o astrolábio permitiam saber se a embarcação se encontrava
mais a norte ou mais a sul, é através da medição do ângulo que a Estrela Polar faz com o
horizonte, ou medindo a inclinação do sol, também em relação ao horizonte.
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e
metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim
através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do
triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a
altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra,
largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na
Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica,
Música, Topografia, Engenharia entre outros.
Ponto móvel sobre uma curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta
curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se
assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o
nome de ponto móvel.
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode
percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido antihorário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.
Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um
arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado
e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e
BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre
uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da
mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de
comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco
u cabe no arco AB.
Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a
medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A
medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco,
associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o
sentido for horário.
O número pi
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta
constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode
ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número
é dada por:
Raquel Lopes 2º ano EM
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