Gabarito

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO
MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA 2011/1
3ª. Lista de exercícios Gabarito
1
1. Mostre que lim (1  ) x  e
x 
x
1
Vamos, inicialmente, calcular o limite da seqüência (1  ) n , com n=1, 2,3....
n
1
A expressão (1  ) n é da forma de um binômio de Newton (a  b) n , cujo
n
desenvolvimento é dado por
n
n!
n!
n!
n!
a nk b k  a k  a n1b1 
a n2 b 2  ....  a 0 b n
n!1
2!(n  2)!
n!1
k 0 k!( n  k )!
( a  b) n  
Considerando que a=1 e b=1/n, temos
k
1
n
1
n!
1
n!
1
n!
1
n!
1
1
(1  ) n  
1nk
 1k 
1n1 
1n2 ( ) 2 
1n2 ( ) 3 ...  10 ( ) n
n
n
(n  1)!1
n 2!(n  2)!
n
3!(n  3)!
n
n
k 0 k!( n  k )!
1
1 n(n  1) 1 2 n(n  1)( n  2) 1 3
n(n  1)( n  2)...[ n  (n  1)] 1 n
(1  ) n  1  n 
( ) 
( ) ... 
( )
n
n
1 2 n
1 2  3
n
1 2  3  n
n
1
1
1
1
1
2
1
1
2
n 1
(1  ) n  1  1 
(1  ) 
(1  )  (1  )... 
(1  )  (1  )...(1 
)
n
1 2
n
1 2  3
n
n
1 2  3  n
n
n
n
1
1
A variável (1  ) n é uma variável ordenada e crescente, pois se compararmos ela com
n
1 n1
(1 
) , que se obtém substituindo na última expressão n  n  1 , termo a termo,
n 1
veremos, por exemplo, para o terceiro termo das duas que:
1
1
1
1 .
(1  ) 
(1 
)
1 2
n
1 2
n 1
Além disso, vemos que
1
(1  )  1,
n
1
2
(1  )(1  )  1
n
n
..
1
2
n 1
(1  )  (1  )...(1 
) 1
n
n
n
Usando este fato na análise da expressão (2) acima, podemos escrever que
1
1
1
1
(1  ) n  1  1 

... 
n
1 2 1 2  3
1 2  3  n
Por outro lado,
(3)
(1)
(2)
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3ª. Lista de exercícios Gabarito
1
1

,
1.2.3 2 2
1
1

1.2.3.4 2 3
..
1
1

1.2.3.4...n 2 n 1
Usando estes resultados e considerando a (3), podemos escrever
 1
1
1
1 
(1  ) n  1  1 
 2 ...  n 1 
n
2
2 
 2
(4)
Os termos dentro da chave em (4) correspondem à soma dos termos de uma progressão
1
geométrica de razão q=1/2 e primeiro termo igual a 1. Tal soma vale (2  ) n 1 .
2
Conseqüentemente, o membro direito de (4) é menor que 3, pois
 1 n 1 
1 n
(1  )  1  2 
3
n
2 

(5)
Mas pela própria expressão (2), vemos que também
1
(1  ) n  2 .
n
Então,
1
2  (1  ) n  3
n
1
Portanto o (1  ) n é um número entre 2 e 3. Este número é chamado e, o úmero de
n
Euler e é a base do logaritmo neperiano; ele vale 2,718281828...
1
Mostramos até aqui que o limite da variável (1  ) n , com n=1, 2,3..., quando n   ,
n
1
vale e. Precisamos calcular agora (1  ) x sendo x um número qualquer e não apenas
x
um inteiro.
Qualquer número x pode ser expresso como situado entre dois inteiros
n  x  n 1
Por conseguinte, teremos
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1 1
1
 
n x n 1
1
1
1
1  1  1
n
x
n 1
1
1
1 n
(1  ) n 1  (1  ) x  (1 
)
n
x
n 1
1
Calculando os limites das expressões que estão à esquerda e à direita de (1  ) x ,
x
veremos que
1
lim (1  ) n1  e
n 
n
1
lim (1  ) n  e
n 
n
obrigatoriamente
1
lim (1  ) x  e
x 
x
Veja, abaixo, no gráfico, porque o limite da função é e
6
5
4
y=f(x) x<0
3
y=f(x) x>0
y=e
2
1
0
-10
-5
0
5
10
15
2. Calcule o limite indicado para as funções abaixo:
7
a. lim (1  )3 x
x 
x
x 1 x
)
b. lim (
x  x  3
3
c. lim (1  )3  x
x
x
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3ª. Lista de exercícios Gabarito
2
x  7x  3
d. lim (
)
x 
x4  x2  4
cos 2 x  1
)
e. lim (
x 0
cox  1
sen5 x
)
f. lim (
x 0
3x
7
3 7 3x
21
21
)  lim(1  )3 x  lim(1  )u  e21
a) lim(1  )3 x  lim(1 
x 
x 
x 
u 
x
3x
3x
u
Aqui usamos u=3x e o resultado do exercício 1, e portanto o valor limite não se
altera (se x tende ao infinito, u também tende).
x
1
1

1

lim(1  ) x


x 1 x
x  x
x  e  e 2
)  lim 
b) lim(

3
x  x  3
x 
3
 1  3 
lim(1  ) x e
x 
x
x

3
3
3  
3 
3 

c) lim(1  )3 x  lim  (1  )3 (1  ) x    lim(1  )3  lim(1  ) x   1 e3  e3
x 
x

x

x

x
x
x  
x 
x 


1 
7 3 
 2
( x  7 x  3) 2 
1  2 

2

x  7x  3
x
x x  1

d) lim(
)  lim 
  lim
4
2
x 
x 
x  
1
4
2
1
4 
x  x 4
 ( x  x  4) 2 
1 2  4 

x 

x
x 

A multiplicação/divisão de um fator no numerador e no denominador pode eliminar

0
diretamente uma indeterminação do tipo
ou
.
0

cos 2 x  1
cos 2 x  sen2 x  (cos 2 x  sen 2 x)
2sen2 x
e) lim(
)  lim(
)  lim(
)
x 0 cos x  1
x 0
x 0 cos x  1
cos x  1
1  cos2 x
 (1  cos x)(1  cos x) 
2  lim(
)  2  lim 
1  cos x   4
  2  lim
x 0 cos x  1
x 0
x 0
cos x  1


Atente à troca de sinal na última simplificação.
Outro caminho, usando troca de variável u=cos(x), com u tendendo a 1:
2sen2 x
1 u2
 (1  u)(1  u) 
lim(
)  2lim(
)  2lim 
4
x 0 cos x  1
u 1 u  1
u 1
u 1


sen5 x
5 sen5 x
5
sen5 x
5
sen u
5
)  lim(
)  lim(
)  lim(
)
x 0
x 0 3
3x
5x
3 x 0 5 x
3 u 0 u
3
Aqui usamos u=5x e, portanto, o valor limite não se altera. Usamos o resultado do
exercício 1 (um limite clássico).
f) lim(