Funções Elementares

TÓPICO I
Funções
Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em
muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma
segunda. A procura de carne pelo consumidor, por exemplo, pode depender do seu preço
atual no mercado. A quantidade de ar poluído, numa área metropolitana, depende do
número de veículos na rua. O valor de uma garrafa de vinho, pode depender da safra. Essas
relações são matematicamente representadas por funções.
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação em que a cada elemento de
A, se associa um único elemento de B , e é indicada por f : A  B .
X – variável independente – DOMÍNIO
Y – variável dependente – IMAGEM

Empregando a linguagem das funções:
 O conjunto A é o domínio da função.
 O conjunto B é o contradomínio da função.
 O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de
x.
 O subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos
elementos de A é denominado conjunto imagem ou apenas imagem da
função.
Exemplo 1:
1)
A)
Em quais deste itens temos funções:
Não
B)
Sim
C)
Sim
A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação
expressa na forma y = f (x).
Essa regra diz, que o elemento x  A, chamado de variável independente, está
relacionado de modo único ao elemento y f (x)  B, chamado de variável dependente. O
conjunto A é chamado de domínio e indicamos A Dom( f ) e o conjunto B , de
contradomínio. O conjunto imagem, indicado como Im( f ) é o conjunto dos elementos de B
aos quais foram associados elementos de A isto é:
Im( f ) {y  B | y f (x) para algum x  A}.
O número y  B, y f (x) recebe o nome de valor da função f no ponto x.
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Exemplo2:
A função indicada por f : [0,10]  R tal que, y f (x) x2 1, é a relação cujo
domínio é [0,10]e contradomínio é o conjunto R dos números reais. A regra que associa a
todo ponto x  0,10] um único número real f (x) x 1. O conjunto imagem é o
conjunto dos números reais não negativos. Deste modo,
2
f (0) 02 1 1,
f (1) 121 2 ,
f (6) 621 37 ,
f (10) 1021 101.
Atenção: Costuma-se chamar x de variável independente, porque ela é
livre para assumir qualquer valor do domínio e chamar y de variável
dependente, porque o seu valor depende da escolha de x.
Exemplo 3:
As funções f : R  R, f (x) x2 , e g : (1, 1)  R, g(x) x2 , têm domínios Dom(
f ) = R e Dom(g) (1, 1) . Essas funções são distintas, pois têm domínios diferentes,
apesar de terem a mesma regra de associação e o mesmo contradomínio. Os conjuntos
imagem de ambas são também distintos: Im( f ) [0, +  ) e Im(g) = [0, 1) .
Atenção: Quando o domínio e o contradomínio de uma função estão
contidos no conjunto dos números reais, a função é chamada de uma
função real de variável real.
Operações com Funções
Sejam f e g duas funções definidas num mesmo conjunto A Podemos definir como:
Soma das funções
A função s definida em A, tal que s(x) f (x) g(x) recebe o nome de função
SOMA de f e g .
Exemplo 4:
Se f (x) x3 e g(x) 3x2 2, com x  R, então a função s definida em R, tal que
s(x) x3 3x2 2 é a soma de f e g .
Produto de funções
A função p definida em A, tal que p(x) f (x).g(x) recebe o nome de função produto
de f e g .
Exemplo 5:
Se f (x) x3 e g(x) 3x22, com x  R, então a função p definida em R, tal que
p(x) x3.(3x2 2) 3x5 2x3 é o produto de f e g .
Divisão de funções
Se g(x)  0 para todo x  A, a função q definida em A, tal que q(x) 
quociente de f e g .
f ( x)
éo
g ( x)
Exemplo 6:
Sejam f (x) x4 e g(x) x4 2, com x  R. A função q definida em R, tal que
x4
q(x) = 4
é o quociente das funções f e g .
x 2
Gráfico de uma Função
O gráfico de uma função f : A  B , dada como y f (x) , é o conjunto dos pontos do
plano, cujas coordenadas no sistema cartesiano retangular são dadas por (x, f (x)) , onde x
 A. Para isto, construímos um quadro (x, f (x)) , atribuindo a x valores convenientes.
Vejamos alguns exemplos de gráficos:
Exemplo 7:
Representar graficamente a função
y f (x) 3 x ,
x  0,3]
Resolução: Temos o seguinte quadro:
X
y f (x) 3 x
0
3
1
2
2
1
3
0
y
5 4 3
2 1 -
0
|
0,5
|
1
|
1,5
|
2
|
2,5
|
3
x
Atividades: Resolver as Questões 1,2 e 3 contidas no livro texto página
131. Postar respostas em seu portifólio.
Acesse o Fórum intitulado “Funções” e tire suas dúvidas sobre o
Tópico I.
TÓPICO II
Funções Elementares
Função Constante
Dado um número real k, chama-se função constante a função f : R  R, definida por
f(x) = k. O gráfico é uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto de ordenadas y = k.
O domínio da função é D(f) = R e a imagem é Im(f) = {k}
Função do 1º grau ou Afim
Denomina-se função do 1o grau toda função f : R  R definida por f(x) = ax + b,
com a e b pertencente aos R e a diferente de zero.
Exemplo 8:
1) f(x)=3x+2, calcule f(5)
f(5)=3(5)+2=17
2) f(x-1)=x, calcule f(2)
para x-1=2, temos x=3,
assim: f(3-1)=f(2)=3
Gráfico
O gráfico da função do 1o grau é representado por uma reta não paralela ao eixo x
nem ao eixo y, onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. Quando a >0 a
função é crescente e quando a<0 a função é decrescente.
Zeros ou raízes da função
O zero da função é o valor de x quando f(x) = 0
F(x) = ax + b
0 = ax + b
x = -b/a
Estudo do sinal
Para fazer o estudo do sinal da função do 1o grau y = ax + b, é preciso determinar os
valores de x para os quais se tenha y < 0, y = 0 ou y > 0. O valor de x é o zero da função
(x = -b/a)
 Função crescente ( a >0 )
x > -b/a  y > 0
 Função decrescente (a < 0)
x > -b/a  y <0
Função Modulo
 x, x  0 
É a função definida por f (x) | x |  

 x, x  0
.
O gráfico da função módulo é o seguinte:
Exemplo 9:
f(x) = |x –2|
f(x) = |x|
Função Exponencial e Logarítmica
Função Exponencial:
Termos da potenciação: an = b, onde a é a base, n o expoente e an ou b a potência.
Potência com expoente natural: an = a.a.a. ... .a ( n fatores )
Propriedades da função exponencial:








a0 = 1
· 1
a = a
(am)p = amp
a-n = 1 / an
am : an = am-n
am . an = am+n
(a .b) n = an . bn
(a : b) n = an / b n
A função f : R  R*, definida por f (x) = ax, com a  R*+ e a  1 e x  R, é
denominada função exponencial de base a. Exemplo: f (x) = 3x ( a base é 3).
Gráficos
Quando a > 1  função crescente; D = R; Im = R*+.
Quando 0 < a < 1  função decrescente; D = R; Im = R*+
Função logarítmica
Seja a um número positivo e a  1. A função definida por y f (x) loga x, x 0 ,
recebe o nome de função logarítmico de base a .
x>1
0<a <1
Propriedades da função logarítmica
Para x, y > 0, valem as seguintes propriedades.
 Propriedade do produto
loga (xy) = loga x + loga y
.
 Propriedade do quociente
x
loga ( ) = loga x - loga y .
y
 Propriedade da potenciação:
loga (yx) = x loga y
Atividades: Resolver as Questões abaixo e postar em seu portifólio suas
respostas.
1 – Seja a função f(x) = 4x-3, calcule:
a) f(-2)
b) f(a+1)
2 – Esboce o gráfico da função f(x) = -x2 +2 com o
Dom (f) =  3,2,1,0,1,2,3
3 – Determine o domínio e a imagem das funções abaixo:
a) f(x) = |4-x|
 3

b) g(x) = 1
4

se
se
se
x  1
1 x  2
2 x
Acesse o Fórum intitulado “Funções Elementares e Função
Exponencial e Logaritmica” e tire suas dúvidas sobre o Tópico II.
REFERÊNCIAS
LEITHOLD, Louis. O Calculo com Geometria Analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994.
GUERRA, Fernando; TANEJA, Inder J. Florianópolis, SEAD/UFSC, 2006.
(Livro Texto do Curso de Graduação em Administração a Distância)