questão 16 questão 17

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Colégio
PARA QUEM CURSA A 2 a. SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2015
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo. Três mil dias após essa data, cairá
a) numa quinta-feira.
b) numa sexta-feira.
c) num sábado.
d) num domingo.
e) numa segunda-feira.
RESOLUÇÃO
Observando que
3 000
7
⇔ 3 000 = 428 . 7 + 4 concluímos que daqui a 3 000 dias
4
428
terão se passado 428 semanas, mais quatro dias. Assim sendo, se o dia 20/7/2008 foi um
domingo, então 3 000 dias depois será uma quinta-feira.
Resposta: A
QUESTÃO 17
Uma empresa de suco fabrica sucos de uva e de maracujá. Para o preparo do suco de uva,
utiliza-se 1 parte de suco concentrado para 5 partes de água. Já para o preparo do suco de
maracujá, utiliza-se 2 partes de suco concentrado para 7 partes de água. Queremos preparar
1 litro de suco de uva e 1 litro de suco de maracujá, para tanto, precisamos de A mᐉ de suco
A
concentrado de uva e B mᐉ de suco concentrado de maracujá. Quanto vale a razão ––– ?
B
1
3
2
5
1
a) ––
b) ––
c) ––
d) ––
e) ––
2
4
3
7
4
RESOLUÇÃO
1
1
I) A quantidade de suco concentrado de uva é –– de 1ᐉ = –– . 1 000 mᐉ
6
6
1
Assim: A = –– . 1000
6
2
2
II) A quantidade de suco concentrado de maracujá é –– de 1ᐉ = –– . 1 000 mᐉ
9
6
2
Assim: B = –– . 1000
9
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
1
–– . 1 000
6
A
1
9
9
3
II) –– = ––––––––––– = –– . –– = ––– = –––
2
B
6
2
12
4
–– . 1 000
9
Resposta: B
QUESTÃO 18
Um ônibus de 50 lugares foi alugado para um passeio. A empresa cobrou de cada passageiro
R$ 200,00 mais R$ 20,00 por lugar não ocupado. Para que a empresa tenha a maior
arrecadação possível, o número de lugares ocupados deve ser igual a:
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
RESOLUÇÃO
Se x for o número de lugares ocupados, então:
1) Cada passageiro paga, em reais, 200 + (50 – x) . 20 = 1 200 – 20x
2) A arrecadação, em reais, é A (x) = (1 200 – 20x) x ⇔
3) O gráfico dessa função, para 0 ≤ x ≤ 50 é do tipo
y
0
30
50
60
x
e a arrecadação será máxima para x = 30.
Resposta: A
QUESTÃO 19
(UEPA) – No Brasil, o advento da internet com os grandes portais e os blogs não representou
uma mega ruptura em termos de espaço criativo das pessoas. A verdadeira ruptura chegou
junto com as redes sociais: Orkut e Youtube no começo, e depois Twitter, e, mais
recentemente, o Facebook. Um pesquisador que investiga o comportamento de brasileiros
nessas redes sociais concluiu que, ao longo de um mesmo intervalo de tempo, os acessos
mensais (A) ao Youtube e ao Facebook ocorreram de acordo com as leis A(t) = m e
A(t) = n.at, respectivamente, sendo m e n inteiros positivos, com m > n e a > 1. Nessas
condições, o instante t em que o número de acessos ao Youtube coincide com o número de
acessos ao Facebook é:
a) t = loga m – loga n
b) t = loga m + loga n
c) t = n loga m – m loga n
d) t = m loga m – n loga n
e) t = loga mn – n loga n
(Revista Galileu. Resolva seus problemas usando ciência. Editora Globo, jul. 2012, N.o 252. Adaptado.)
OBJETIVO
2
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
m
m
n . at = m ⇔ at = –– ⇔ t = loga ––– ⇔ t = loga m – loga n
n
n
冢 冣
Resposta: A
QUESTÃO 20
Numa certa turma, há mais que 148 pessoas, mas menos que 168. Na tentativa de formar
com essas pessoas grupos de 4, sobram 2 pessoas e, na tentativa de formar grupos de 6 pessoas, também sobram 2 pessoas.
Podemos afirmar que o total de pessoas dessa turma é um número cuja a soma de
algarismos é:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
RESOLUÇÃO
Se n for o número de pessoas, então:
n–2 4
1) n 4 ⇔
⇒ n – 2 é múltiplo de 4
0
q1
2 q1
2)
n 6
2 q2
⇔
n–2 6
0
q2
⇒ n – 2 é múltiplo de 6
3) n – 2 é múltiplo de 2 . 2 . 3 = 12 ⇒ n – 2 = 12 k com k Œ 4) 148 < n < 168 ⇔ 146 < n – 2 < 166 ⇒ 146 < 12 k < 166 ⇔ 12, ...< k < 13,... ⇔ k = 13
5) n – 2 = 12 . 13 ⇔ n – 2 = 156 ⇔ n = 158
6) A soma dos algarismos de 158 é 1 + 5 + 8 = 14
Resposta: B
QUESTÃO 21
Qualquer número que pode ser representado como nas figuras seguintes é chamado número
triangular.
(1)
(3)
(6)
(10)
(15)
Seguindo esse padrão, podemos afirmar que o trigésimo número triangular é:
a) 450
b) 455
c) 460
d) 465
e) 496
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
Se (t1, t2, t3, ..., tn, ...) for a sequência que representa o número de “retângulos” de cada
triângulo, temos:
t1 = 1
t2 = 1 + 2 = 3
t3 = 1 + 2 + 3 = 6
t4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
t5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 30
t30 = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 30 = ––––––– . 30 = 465
2
Resposta: D
QUESTÃO 22
Para confeccionar fichas de papelão, foi utilizada uma folha de 36 cm de largura por 51 cm de
comprimento, que foi cortada em quadradinhos de maior lado possível, não ocorrendo
nenhuma sobra de papelão. Sabendo-se que cada quadradinho cortado representa uma ficha
e que foram utilizadas apenas 75% das fichas recortadas, então, o número de fichas não
utilizadas foi:
a) 204
b) 153
c) 97
d) 72
e) 51
RESOLUÇÃO
I) m.d.c (36; 51) = 3
1
2
2
2
51
36
15
6
햴
15
6
3
0
II) O maior lado dos quadradinhos é 3.
III) 36 ÷ 3 = 12 e 51 ÷ 3 = 17
IV) O número de quadradinhos é 17 . 12 = 204
V) O número de fichas não utilizadas foi 25% . 204 = 51
Resposta: E
OBJETIVO
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 23
(OBMEP) – Mônica quer dividir o mostrador de um relógio em três partes com 4 números
cada uma usando duas retas paralelas. Ela quer também que a soma dos quatro números em
cada parte seja a mesma.
11 12 1
10
11
2
3
9
8
7
6
5
12
1
10
2
3
9
4
8
7
6
5
4
Tentativas malsucedidas de Mônica
Quais os números que vão aparecer em uma das partes quando Mônica conseguir o que ela
quer?
a) 1, 6, 7, 12
b) 3, 4, 9, 10
c) 12, 2, 5, 7
d) 4, 5, 8, 9
e) 1, 7, 8, 10
RESOLUÇÃO
1) A soma dos 12 números é 1 + 2 + 3 + 6 + ... 12 = 78
2) A soma dos números de cada uma das três partes é 78 ÷ 3 = 26
3) Numa das partes, pelo menos, os quatro números são consecutivos
4) Quatro números consecutivos com soma 26 só pode ser 5, 6, 7 e 8
5) Assim sendo, conforme mostra a figura, os números das 3 partes são:
1, 2, 11, 12
3, 4, 9, 10
5, 6, 7, 8
Resposta: B
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 24
(SPM) – Na figura estão representados cinco retângulos A, B, C, D, E, onde cada um dos
lados está identificado por um número natural. Estes retângulos foram colocados na posição
indicada por I, II, III, IV, V, sem efetuar qualquer rotação ou inversão, e de modo a que os
números dos lados que se tocam sejam iguais.
a)
b)
c)
5
7
8
A
4
0
B
3
8
5
C
9
0
d)
2
e)
2
1
7
D
1
3
E
4
6
6
9
I
II
IV
V
III
Qual dos retângulos deveria ser colocado na posição I?
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
RESOLUÇÃO
Os retângulos deverão ser dispostos da seguinte forma:
0
9
C
7 7
2
2
1
D
6
1
5
A
4 4
6
9
8
8
3 3
E
B
5
0
Resposta: C
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 25
(OBMEP) – Colocando sinais de adição entre alguns dos algarismos do número 123456789
podemos obter várias somas. Por exemplo, podemos obter 279 com quatro sinais de adição:
123 + 4 + 56 + 7 + 89 = 279. Quantos sinais de adição são necessários para que se obtenha
assim o número 72?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
RESOLUÇÃO
1) A partir do 6 devemos colocar um sinal de entre todos os algarismos, pois
89 > 72; 78 > 72 e 67 + 8 + 9 > 72. Logo: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 + 7 + 8 + 9 = 72 ⇒
⇒ 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 = 48
2) Devemos colocar um sinal de entre o 5 e o 6 e também entre o 4 e o 5, pois
56 > 48 e 45 + 6 > 48.
Logo: 1 ? 2 ? 3 ? 4 + 5 + 6 = 48 ⇔ 1 ? 2 ? 3 ? 4 = 37
3) A única maneira de a soma ser 37 é 1 + 2 + 34.
4) Assim 1 + 2 + 34 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 72 e, portanto, usamos 7 sinais de “+”.
Resposta: E
QUESTÃO 26
Em um torneio de futebol, cada equipe joga uma vez com cada uma das outras. No final de
cada partida, o diretor do torneio dá uma ficha verde para a equipe vencedora e uma ficha
vermelha para a perdedora. Em caso de empate, cada uma das equipes recebe uma ficha
branca. Ao final, o diretor do torneio percebeu que havia distribuído 30 fichas de cada cor.
Quantas partidas foram realizadas?
a) 30
b) 45
c) 60
d) 70
e) 80
RESOLUÇÃO
1) As 30 fichas vermelhas e as 30 verdes correspondem a 30 partidas em que houve
vencedor e perdedor.
2) As 30 fichas brancas correspondem a 15 partidas em que houve empate.
3) O número total de partidas é 30 + 15 = 45.
Resposta: B
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 27
Todo dado cúbico padrão possui as seguintes propriedades:
• Sobre suas faces estão registrados os números de 1 a 6, na forma de pontos.
• A soma dos números registrados, em qualquer duas de suas faces opostas, é sempre igual a 7.
Se quatro dados cúbicos padrões forem colocados verticalmente, um sobre o outro, em cima
de uma superfície plana horizontal, de forma que qualquer observador tenha conhecimento
apenas do número registrado na face horizontal superior do quarto dado, podemos afirmar
que, se nessa face estiver registrado o número 5, então a soma dos números registrados
nas faces horizontais não visíveis ao observador será de:
a) 23
b) 24
c) 25
d) 26
e) 27
RESOLUÇÃO
1) Na face inferior do último dado, está registrado o número 2, pois 2 + 5 = 7.
2) Para cada um dos outros três dados, a soma dos números registrados nas faces
horizontais é 7, pois são faces opostas do mesmo dado: a + b = 7.
a
b
3) A soma pedida é 2 + 7 + 7 + 7 = 23.
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
Resposta: A
QUESTÃO 28
(FAMECA) – Um fertilizante tem 20% de nitrato. Sabe-se que 20% do nitrato desse
fertilizante é composto por nitrogênio, e a massa do fertilizante sem nitrato não contém
matéria com nitrogênio. Considerando uma certa quantidade, em gramas, desse fertilizante,
a parte do fertilizante sem nitrato corresponde a 1,52 Kg da massa total considerada. Nas
condições dadas, o total de nitrogênio nesse fertilizante, em gramas, é igual a:
a) 60,8
b) 95,0
c) 38,0
d) 76,0
e) 84,6
RESOLUÇÃO
Se f for a quantidade total do fertilizante, então:
1) A quantidade de fertilizante, em kg, sem nitrato é 80% . f = 1,52 ⇔ f = 1,9
2) A quantidade de nitrogênio, em kg, é 20% . 20% . 1,9 = 0,076
3) 0,076 kg = 76 g
Resposta: D
QUESTÃO 29
Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa.
Sabe-se que
• essas pessoas formam quatro casais; e
• Carolina não é esposa de Paulo.
Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido
de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão sentados, conversando.
Então é correto afirmar que a esposa de Antônio é
a) Carolina.
b) Júlia.
c) Raquel.
d) Rita.
e) Não é possível determinar com as informações fornecidas.
RESOLUÇÃO
I) O marido de Raquel está dançando e portanto não é Fernando, nem Antônio, nem
Paulo. Um dos casais é, pois, Raquel e Gustavo.
II) A esposa de Fernando não é Raquel, definitivamente, nem Carolina, nem Rita, pois
estas duas estão sentadas. O segundo casal é, pois, Júlia e Fernando.
III) Carolina não é esposa do Paulo e, portanto, os dois últimos casais são: Rita e Paulo,
Carolina e Antônio.
Resposta: A
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 30
Um comerciante mede valores inteiros (em kg) da massa de algumas mercadorias. Para isso,
ele possui uma balança de dois pratos (A e B) e vários “pesos” de massas 5 kg ou 7 kg. Um
produto a ser medido, cuja massa é 9 kg, é colocado no prato A. Para que se efetue a medida
da massa do produto, pesos de 5 kg e/ou 7 kg podem ser colocados em cada um dos pratos
A e B.
Sabendo-se que, nessa pesagem, foram utilizados m pesos de 5 kg e n pesos de 7 kg, qual
o menor valor da soma m + n?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
I) 5m + 9 = 7n ou 5m = 7n + 9
7.n–9
II) Se 5m + 9 = 7n então m = ––––––––
5
7n – 9
7.2–9
5
O menor valor de n para que –––––– Œ é 2. Para n = 2, temos m = –––––––– = ––– = 1
5
5
5
Se m = 1 e n = 2, então m + n = 3
7n + 9
III) Se 5m = 7n + 9, então m = ––––––
5
7n + 9
7.3+9
O menor valor de n para que –––––– Œ é 3. Para n = 3, temos m = –––––––– = 6
5
5
Se m = 6 e n = 3, então m + n = 9
IV) O menor valor da soma m + n é 3
Resposta: C
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE