FUNÇÃO LOGARÍTMICA Logaritmos: Definição e Propriedades

FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Logaritmos: Definição e Propriedades
Dados dois números reais a e b, com a, b > 0, a
tal que ax = b, e o representamos por:
1, definimos o logaritmo de b na base a como o número x
x = logb a
O número b é chamado a base do logaritmo, enquanto o número a é o logaritmando. Assim, segundo esta
definição, temos que: log2 8 = 3, pois, 23 = 8 e log3 1 = 0, pois, 30 = 1.
Propriedades
Introduzimos a primeira propriedade mediante o seguinte exemplo: Seja x = log2 24. Utilizando a definição,
temos: 2x = 24, donde x = 4. Mais geralmente, temos:
P1. Se x = loga ay , então ax = ay , donde x = y. Assim, log3 81 = log3 34 = 4; e log5 125 = log5 53 = 3.
P2. Se a é um número real, então loga 1 = 0, ∀ a ∈ R.
P3. Se x = aloga b, então x = b.
De fato, segundo a definição, podemos escrever loga x = loga b, donde x = b.
P4. Logaritmo do produto: loga(m · n) = loga m + loga n.
Assim: log3 10 = log3(2 · 5) = log3 2 + log3 5
P5. Logaritmo do quociente: loga ( ) = loga m − loga n.
P6. Logaritmo de potência: loga mp = p · loga m.
Também aqui, utilizando a definição, podemos verificar que
P7. Mudança de base:
Esta propriedade serve a um propósito bastante freqüente. As modernas calculadoras científicas possuem
teclas que permitem calcular logaritmos nas bases 10 e e. Considere, então, o problema de calcular log9 2.
Utilizando a propriedade acima, obtemos:
que é uma razão dos logaritmos de 2 e 9 na base 10.
Gráfico da Função logarítmica
A função f:IR+ IR definida por f(x)=logax, com a>1 e a diferente de 0, é chamada função logarítmica de base
a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR
(reais).
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Temos 2 casos a considerar:
quando a>1;
quando 0<a<1.
Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso:
1) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de
y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
2) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de
y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
Nos dois exemplos, podemos observar que
 o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;
 o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1;
 y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR.
EXERCÍCIOS
1) Determine, pela definição, o logaritmo de:
log2
8
b) log2 0,5
c) log 3 x = 4
d)Para que valor de x se tem log4 x =
2) Calcular, pela definição, os seguintes logaritmos:
3) Esboçar os gráficos das funções e classificá-las como crescente ou decrescente:
y = log 2 x
y = log 3 x
y = log 1/3 x
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO SENO
FUNÇÃO COSSENO
FUNÇÃO TANGENTE
TRANSFORMAÇÕES NOS GRÁFICOS
f(x) = A + B . sen (Cx) ou f(x) = A + B . cos (Cx)
A Desloca o gráfico A unidades para cima (A > 0) ou para baixo (A < 0). Afeta a imagem. A reta y = A é um
eixo de simetria da curva.
B  Altera a amplitude sem alterar o período. Afeta a imagem. Reflete o gráfico em torno do eixo de
simetria se negativo.
C  Altera o período. Não afeta a imagem.
EXEMPLO 1: Esboce o gráfico de f(x) = 1 + 2 sen(x).
A imagem é obtida a partir dos valores máximo e mínimo de sen x. Dessa forma, são valores extremos de
f(x): 1 + 2.(1) = 1 + 2 = 3 e 1 + 2.(-1) = 1 - 2 = -1.
Logo, If=[-1,3]. O eixo de simetria da onda localiza-se sobre a reta y=1. Ainda, a amplitude da onda mede 2.
EXERCÍCIOS
1) Esboce o gráfico de y = 2 - 3.cos(x).
2) Determine o período, a imagem e construa o gráfico de cada uma das funções abaixo:
a) f(x) = 3sen(x)
b) f(x) = cos(4x)
c) f(x) = 1 - sen(3x)
d) f(x) = -cos(x)
3) Qual a imagem de f(x) = 2sen(x) - 3?