Exercicios propostos_2

GESTÃO DA TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO - Lista de Exercícios Matemática Financeira - MATEMATICA APLICADA - Prof. Luiz Cláudio Costa
1 - Uma quantia de R$ 20.000,00 foi aplicada em caderneta de poupança, cujo rendimento no ano foi de 7,25%. A) Qual
foi a quantia resgatada no final de um ano? B) E se a capitalização dos juros fosse mensal, qual seria a quantia
resgatada?
Solução:
A) O capital inicial é Co = 20.000. A taxa de juros é i = 7,25% aa ou 0,0725 e o período n = 1 para a taxa anual ou 12 para a taxa
mensal que seria i = 7,25/12 = 0,604% ou 0,00604.
Utilizando a fórmula para juros simples Cf = Co(1 + i.n) temos:
20000x(1 + 0,0725x1) = 21450,00 ou
20000x(1 + 0,00604x12) = 21450,00
B) Como a capitalização é mensal, nesse caso somente a opção de taxa mensal é utilizada:
i am = i aa/12 = 0,0725/12 = 0,00604 n = 12
Utilizando a formula para juros compostos Cf = Co(1 + i)n temos: 20000x(1+0,00604)12 = 21498,74
2- Um empréstimo no valor de R$ 50.000,00 foi concedido a uma taxa de 10% aa. Qual será a dívida no final de 2 anos
com e sem capitalização mensal?
Resposta: sem capitalização = R$ 60.000,00
; com capitalização R$ 61.019,55.
3 - Qual é o capital que, aplicado a uma taxa de 10,25% aa, obtém-se um montante de R$ 275.625,00 no período de um
ano?
Solução: Como não há menção de capitalização, a taxa é i = 10,25% ou 0,1025 e o período é de um ano ou seja n = 1
O capital inicial é Cf = 275625,00 Utiliza-se a fórmula de juros simples ou de juros compostos que acaba sendo a mesma para o
período igual a 1: Cf = Co(1 + i.n) = Co(1 + i.x1) = Co(1 + i) ou Cf = Co(1 + i)n = Co(1 + i)1 = Co(1 + i)
Substituindo os valores temos: 275625 = Co(1 + 0,1025x1) = Co x 1,1025
Co = 275625 / 1,1025 = 250.000
O capital inicial da aplicação é de R$ 250.000,00.
4 – O valor de R$ 120.000,00 foi sacado após um ano de aplicação em uma instituição financeira a taxa de 12% aa. Qual
foi o valor aplicado?
Resposta: o valor inicial aplicado foi de R$107.142,86
5 – Uma aplicação no valor de R$ 10.000,00 foi feita a juros simples por 1 ano com rendimentos de 10% am. A) De
quanto será o juro total dessa aplicação e o montante total no final desse período? B) Qual seria a taxa de juros
mensais, se a aplicação fosse feita a juros compostos para obter o mesmo montante final?
Solução:
A) A juros simples temos o capital inicial Co = 10.000,00, a taxa de juros i = 10% am e o período de 12 meses n=12
Pela fórmula Cf = Co (1 + i.n) temos: 10000x(1 + 0,1x12) = 22000 ou seja, o montante final será de R$ 22.000,00 e os juros
serão de 22000 – 20000 = 2000 ou R$ 2.000,00
B) Para achar a taxa de juros para juros compostos temos a fórmula Cf = Co(1 + i)n . Explicitando i temos: i  n C f  1
CO
Utilizando os valores do capital inicial Co = 10.000,00, do montante final Cf = 22000 e o período n = 12 podemos achar i:
in
Cf
CO
 1 i  12
22000
 1  0,0679
10000
A taxa de juros para a aplicação a juros compostos seria de 6,79% am
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6 – Um investimento no valor de R$ 25.000,00 foi aplicado à taxa de 9% aa por um período de 5 anos a juros simples.
A)Qual o montante final do investimento após esse período? B)Se o investimento fosse feito a juros compostos, qual
seria a taxa anual para se obter o mesmo valor após 5 anos?
Resposta A) R$ 36.250,00
B) 7,71%
7 - Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi oferecido por uma instituição financeira A à taxa de juros de 15% aa
capitalizados mensalmente e por uma outra instituição financeira B à mesma taxa capitalizados trimestralmente. Qual
instituição está cobrando menor juro ao final de um ano?
Solução:
Pela Financeira A temos: O valor do empréstimo Co = 10.000, a taxa de juros mensais iam = iaa/12 = 0,15/12 = 0,0125 e o período
de capitalização de n = 12.
Aplicando a fórmula a juros compostos temos: Cf = 10000x(1 + 0,0125)12 = 11607,55, ou seja, os juros a serem pagos no final de um
ano é de 11607,55 - 10.000,00 = R$ 1.607,55
Pela Financeira B temos Co = 10.000, o valor da taxa trimestral é iat = iaa/4 = 0,15/4 = 0,0375 e o período para um ano é de n = 4.
Aplicando a fórmula temos: Cf = 10000(1 + 0,0375)4 = 11586,50 cujos juros ao final de um ano será 11.586,50 – 10.000 =
R$1.586,50
A financeira B está cobrando menores juros do que a financeira A.
8 – Uma aplicação A oferece taxa de juros de 12% aa com capitalização mensal e outra aplicação B oferece taxa de juros
de 13% aa com capitalização trimestral. Qual é a melhor aplicação para um investimento de 20.000,00 por 3 anos?
Resposta: A aplicação B é a melhor escolha porque remunera com juros de R$ 9.356,94 contra R$ 8.615,38 da aplicação A.
9 – Uma instituição financeira paga por um investimento a taxa de 2,5% am. Por quantos meses devo manter aplicado
um capital para que ele dobre de valor? A ) a juros simples B) a juros compostos
Solução:
Para dobrar o investimento então Cf = 2xCo
A) Juros simples: temos a taxa de juros i = 2,5% ou 0,025 e queremos saber o período n
Da fórmula de juros simples podemos explicitar n da seguinte forma
Cf = Co(1 + i.n) passando Co dividindo para o lado de Cf temos C f  (1  i.n) ,
CO
Cf
agora passando 1 com sinal negativo temos:
 1  i.n ,
CO
Cf
 1

 1   n
 CO
 i
substituindo os valores temos: n   2CO  1  1  2  1  40  40 , ou seja 40 meses para dobrar o investimento.
 C
 0,025
 O

passando i para o outro lado dividindo temos:
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B) A juros compostos temos que explicitar n da fórmula Cf = Co(1 + i)n . Para isso precisamos utilizar os conceitos de logaritmo.
Da fórmula podemos escrever logCf = logCo(1+i)n e também logCf = logCo + log(1+i)n e logCf = logCo + n.log(1+i)
Explicitando n temos: n.log(1+i) = logCf – logCo ou n 
log C f  log CO
log 1  i 
log
2
C

log
C
log
2  log CO  log CO
log 2 = 28,07 ou arredondando em
O
O
Substituindo os valores temos: n 


log 1  0,025
log 1  0,025
log 1,025
28 meses a aplicação dobra.
10 – Qual deve ser o período de tempo que uma aplicação deve ser investida para triplicar o seu valor a uma taxa de
4%am? A) a juros simples e B) a juros compostos.
Resposta: A) 50 meses B) 28,01 ou arredondando 28 meses
11 – Quantos meses serão necessários para acumular uma quantia de R$ 150.000,00, aplicando-se R$50.00,00 a uma
taxa de 2,5% am a juros compostos?
Solução:
O capital inicial é Co = 50.000,00 e o se quer no final é Cf = 150.000,00 com uma taxa de i = 2,5% ou 0,025, o período n é o
que se quer achar. Pela fórmula de n a juros compostos temos:
n
log C f  log CO
log 1  i 
n
log 150000  log 50000 5,176  4,699 = 45,5 ou arredondando, 46 meses.

log 1  0,025
0,01072
12 – Um amigo propôs-lhe devolver um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 quando ele atingisse o valor acima de R$
25.000,00 a uma taxa de 1,5% am. Em quanto tempo você vai receber esse dinheiro se aceitar a proposta desse amigo?
Resposta: 62 meses ou 5 anos e dois meses
13 – Uma empresa precisa de fazer um investimento no valor de R$ 100.000,00 para ampliar seus negócios. Esse
investimento demora 2 anos para dar resultados de um valor anual de R$ 40.000,00. Em quantos anos o investimento
começa a dar lucros se o custo de oportunidade é de 12% aa?
Solução:
Fluxo de caixa:
40.000
40.000
40.000
40.000
40.000
2
3
4
5
6
0
1
-100.000
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No ano 0 temos a retirada do caixa que foi o investimento de R$ 100.000,00 e no ano 1 não houve nenhum movimento.
No ano 2 haverá o primeiro retorno no valor de R$ 40.000,00 que trazendo a valor presente temos:
VP1 = 40.000 /(1+0,12)2 = 31.887,76 que somado ao saldo de caixa -100.000,00 da um saldo de -68.112,24,ou seja, ainda não há
retorno do investimento.
No ano 3 haverá o segundo retorno no valor de R$ 40.000,00 que trazendo a valor presente temos:
VP2 = 40.000/(1+0,12)3=28471,21 que somado ao saldo de caixa -68112,24 dá um saldo de -39.641,03, ainda sem retorno.
No ano 4 haverá o terceiro retorno no valor de R$ 40.000,00 que trazendo a valor presente temos:
VP3 = 40.000/(1+0,12)4 = 25420,72 que somado ao saldo de caixa -39641,03 dá um saldo de -14.220,31, ainda sem retorno.
No ano 5 haverá o quarto retorno no valor de R$ 40.000,00 que trazendo a valor presente temos:
VP4 = 40.000/(1+0,12)5 = 22.697,07 que somado ao saldo0 de caixa -14.220,31 dá um saldo de 8.476,76, ou seja, nesse ano já existe
um retorno do investimento, quitando-o totalmente e ainda com um saldo de R$ 8.476,76.
Assim o investimento terá um retorno em 5 anos.
Planilha do excel
Investimento
Retorno
Total
VP
VPL
Ano 0
(100.000,00)
Ano 1
Ano 2
Ano 3
Ano 4
Ano 5
Ano 6
40.000,00
40.000,00
40.000,00
40.000,00
40.000,00
(100.000,00)
40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00
(100.000,00)
31.887,76 28.471,21 25.420,72 22.697,07
(100.000,00) (100.000,00) (68.112,24) (39.641,03) (14.220,31) 8.476,76
40.000,00
20.265,24
28.742,01
14 – Um investimento no valor de R$240.000,00, pagos em três vezes sendo uma entrada de R$100.00,00, um
pagamento no final do primeiro ano de R$ 70.000,00 e o restante no final do segundo ano. O investimento começa a
render a partir do segundo ano no valor anual de R$ 35.000,00. Considerando um custo de oportunidade de 10% ao
ano, em quantos anos haverá retorno desse investimento?
Fluxo de caixa:
+80.000 – 70.000
80.000
80.000
80.000
80.000
3
4
5
6
10.000
0
1
2
-70.000
-100.000
Resposta: No quinto ano já haverá um retorno positivo de R$ 9.048,07
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