1 Lista de exercícios de Mecânica

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE FÍSICA
MECÂNICA I - FMT 305 - 1° SEMESTRE DE 2004
período diurno
Prof. Mazé Bechara
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------TÓPICO III. MOVIMENTOS DE FORÇAS CENTRAIS (FORMALISMO NEWTONIANO)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------tempo previsto: ~ três semanas
III.1 Sistemas de duas partículas: o movimento do centro de massa e o movimento
relativo.
III.2 Características das forças centrais: conservativas e de movimentos no plano. A
conservação da energia mecânica e do momento angular.
III.3 As equações do movimento em coordenadas polares. Momento angular e energia
em coordenadas polares.
III.4 O potencial centrífugo, o potencial efetivo e a análise qualitativa do movimento de
forças centrais- condições para os movimentos “livres” e ligados, com órbitas abertas
e fechadas.
III.5 A equação das trajetórias. A força atrativa k/rn e as órbitas circulares estáveis.
III.6 A força k/r2 atrativa e repulsiva e as trajetórias possíveis.
III.7 As leis de Kepler para o movimento planetário como consequência da força
gravitacional e das leis de Newton para o movimento.
III.8 Colisões de duas partículas - conceituação de espalhamento elástico e inelástico.
Ângulo de espalhamento, parâmetro de impacto e choque frontal na colisão ou
espalhamento elástico.
III.9 O conceito de seção de choque diferencial e de seção de choque total na colisão
de duas partículas. O cálculo da seção de choque de Rutherford (espalhamento
elástico repulsivo por força coulombiana).
REFERÊNCIAS:
1. Jerry B. Marion e Stephen T. Thornton (M&T) em “Classical Dynamics of Particles
and Systems” da “Saunders College Publishing”, 4a. edição; Cap.8, e seções 9.6, 9.8
a 9.10; e/ou
2. Keith R. Symon (S) em “Mecânica” da Editora Campus; seções 3.12 a 3.16, e 4.6
a 4.8.
3. Kazunori Watari - Mecânica Clássica, volume 2, Livraria da Física editora; seções
3.1.2, 3.4, Cap.4, seções 5.1 a 5.3, 5.5.
outros textos:
3. T. B. Kibble; “Mecânica Clássica”.
4. H. Goldestein; “Classical Mechanics”.
Mecânica I – Lista tópico III
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Obs. importante: as questões que seguem são o mínimo que os
estudantes devem trabalhar para ter um certo domínio do assunto. Outras
questões estão nos capítulos indicados dos textos.
------------------------------------------------------------------------------------------------------QUESTÕES REFERENTES AO TÓPICO III
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Questão 1.
(a) O que você entende por força central?
(b) Qual o significado físico da origem do sistema no movimento de um corpo sujeito a força
central?

(c) Mostre que a força F  r̂F r  , onde r é a distância a uma origem e r̂ um versor na
direção radial em relação à essa origem, é uma força conservativa.
Questão 2.
(a) Escreva a equação de Newton para o movimento de duas partículas interagindo por meio
de uma força central. Separe o movimento do centro de massa do movimento relativo
entre as partículas.
(b) Escreva a energia mecânica do sistema em coordenadas cartesianas e em coordenadas
polares. Compare os termos de cada expressão, identificando cada termo e dizendo o
seu significado físico. Em particular identifique os termos que decorrem da energia
cinética dos termos de energia potencial de interação.
(c) Compare a análise qualitativa do movimento a partir do potencial de uma partícula em
movimento unidimensional, com a análise qualitativa do movimento de força central a
partir do potencial efetivo. Explicite comparativamente, em particular, o significado físico
dos pontos de mínimo, e dos pontos onde o gráfico da energia mecânica cruza o gráfico
dos potenciais unidimensionais e centrais.
Questão 3.
Uma partícula de massa m se move sobre a ação de uma força central cujo potencial é
V ( r )  kr4
k 0.
(a) para quais valores de energia e de momento angular a órbita seria um circulo de raio a
em torno da origem?
(b) Qual é o período do movimento circular ?
(c) Se a partícula sofre uma pequena perturbação no seu movimento circular, qual será o
período de pequenas oscilações em torno de r = a?
(d) Há alguma aproximação física implícita nas expressões que você escreveu? Em caso de
resposta positiva, explique a aproximação feita. Para qualquer resposta, justifique.
Questão 4. Symon 3.47
De acordo com a teoria de Yukawa das forças nucleares, a interação entre um nêutron e um
próton pode ser representada pelo seguinte potencial:
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Mecânica I – Lista tópico III
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Ker
V r  
K 0
r
(a) Determine a força entre essas partículas, segundo a física clássica, e compare-a com a
força da lei do inverso do quadrado da distância.
(b) Discuta os tipos de movimento que podem ocorrer na interação entre essas partículas, se
descritos pela física clássica.
(c) Discuta como este movimento deve diferir do movimento correspondente para uma força
proporcional ao quadrado da distância.

(d) Determine o momento angular L e a energia mecânica E para o movimento em órbita
circular de raio a.
(e) Determine o período do movimento circular e o período de pequenas oscilações radiais.
(f) Mostre que as órbitas aproximadamente circulares são quase fechadas quando a é muito
pequeno.
Questão 5. (3.50 do Symon)
(a) Discuta, usando o método do potencial efetivo, os tipos de movimento que se pode
esperar para uma força atrativa central inversamente proporcional ao cubo do raio:
K
F r    3 , K  0
r
(b) Determine o intervalo de energia e do momento angular para cada tipo de movimento.
(c) Resolva a equação orbital
d 2u
m  1
 u  2 2 F  
2
d
L u u
mostrando que a solução tem uma das formas seguintes :
1
 A cos  0 
r
1
 A cosh  0 
r
1
 Asenh  0 
r
1
 A  0 
r
1 1  
 e
r r0

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(d) Para que valores de L e E cada um desses movimento ocorre? Expresse as constantes
A e  em termos de E e L em cada caso.
(e) Faça um gráfico da órbita de cada um dos tipos acima.
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Mecânica I – Lista tópico III
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Questão 6. (3.51 do Symon)
(a) Discuta os possíveis tipos de movimentos para a seguinte força central: F r   
admitindo k > 0 e considerando ambos os sinais para k’.
(b) Resolva a equação orbital, mostrando que as órbitas ligadas têm a forma: r 

k k'

r2 r3

a 1  2
,
1   cos
se L2  mk' .
(c) Mostre que esta é uma elipse que têm movimento de precessão. Determine a velocidade
angular de precessão e diga se a precessão está na mesma direção ou na direção oposta
a da velocidade angular orbital.
Questão 7. (Symon 3.43)
A energia potencial para um oscilador tridimensional isotrópico é V r  
1 2
kr .
2
(a) Faça um gráfico do potencial efetivo para o movimento na direção radial, quando uma
partícula de massa m se move sobre a ação deste potencial com um momento angular
L em relação à origem. Discuta que tipos de movimentos são possíveis, descrevendo-os
de maneira tão completa quanto possível, sem necessidade de obter a solução
matemática.
(b) Determine a freqüência de revolução para o movimento circular e a freqüência radial para
pequenas oscilações em torno do movimento circular.
(c) Achar r(t) e (t).
Questão 8.
Mostre que um campo central V r   

rn
só tem órbitas circulares estáveis se n < 2.
Questão 9. (Symon 3-58)
A distância do periélio (mais próxima) ao Sol do planeta Marte é de 2.06 x 108 km, e a
distância do afélio ( maior afastamento) é de 2.485 x 108 km. Suponha que a Terra se mova no
mesmo plano em um círculo cujo raio tem 1.49 x 108 km e um período de um ano. A partir
destes dados, determine a velocidade de Marte no periélio. Suponha que o foguete espacial
Mariner seja lançado de forma que seu periélio esteja na órbita terrestre e o seu afélio, esteja
no periélio de Marte. Determine a velocidade do Mariner relativa a Marte no ponto onde eles
se encontram. Qual deles tem a velocidade mais elevada? Qual deles tem a maior
velocidade angular média durante o período de vôo?
Questão 10.
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Mecânica I – Lista tópico III
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Um projétil é lançado horizontalmente da superfície da terra com
velocidade v0, tal que a distância de maior afastamento da superfície é h
(veja a figura ao lado). Sendo R o raio da Terra e M sua massa:
(a) Qual é o valor de v0?
(b) Qual é a velocidade no ponto de maior afastamento da superfície da
Terra?
(c) Qual é o valor de v0 para que o projétil escape do campo gravitacional
da Terra?
Questão 11.
Num ponto do hemisfério norte, situado numa latitude , dispara-se um projétil na direção
norte. A velocidade inicial do projétil tem modulo v0 e forma um ângulo  com a horizontal.
Determinar o movimento do projétil.
Questão 12.
No espalhamento de uma partícula por uma esfera
perfeitamente rígida de raio a a trajetória da partícula no
referencial ligado à esfera consiste de duas semi-retas como
mostra a figura ao lado. A trajetória é simétrica em relação
ao eixo O.
(a) Escreva a energia potencial de interação entre partícula
e a esfera, nesta colisão.
(b) Calcule a seção de choque diferencial () e a seção de
choque total  t para este espalhamento ( é o ângulo de espalhamento).
Questão 13.
Considere o caso de espalhamento Rutherford no sistema de referência do laboratório no
caso em que m2>>m1 (a massa incidente é muito menor que a massa do alvo). Obtenha uma
expressão para a seção de choque diferencial no sistema de referência do centro de massa
que seja correta em 1a ordem na quantidade m1 / m2.
Questão 14.
(a) Um feixe de partículas  com energia 12.5 keV é espalhado por uma átomo de alumínio
num ângulo de 90°. Calcule a distância de maior aproximação do núcleo (número atômico
da partícula  = 2, número atômico do Al = 13, carga do elétron = 1.6 x 10-19C).
(b) Um feixe dessas partículas  com fluxo de 3 x 104 cm-2.s-1 incide sobre um alvo contendo
50 mg de alumínio. Um detector de seção transversal de área 4 cm2 é colocado a 60 cm do
alvo, perpendicularmente à direção do feixe. Determine o número de partículas 
detectadas no referido detector. (Massa atômica do alumínio = 27 u.m.a., 1u.m.a. =
1.66x10-24g, 1eV = 1.6x10-19J).
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Mecânica I – Lista tópico III
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Questão 15. O chamado espalhamento de Rutherford é a deflexão (espalhamento elástico)
de uma partícula puntiforme carregada com carga Z1 e e massa m1 por outra, também
puntiforme, de carga Z2 e e massa m2 , quando a interação entre elas é a Coulombiana.
Considere a situação em que a partícula de massa m1 é lançada com velocidade de
módulo vo , de uma distância muito grande da partícula m2 , com parâmetro de impacto b
diferente de zero.
(a) Determine a trajetória da partícula de massa m1 ( r  r(  ) ). Esboce um gráfico dessa
trajetória indicando com clareza: a posição da duas cargas, o ângulo de espalhamento, o

parâmetro de impacto b, o vetor vo e a força em cada uma delas.
(b) Mostre que a razão entre a energia do feixe incidente (Eo ) e a energia do feixe
retroespalhado (E1 ) (essa razão é chamada de Fator Cinemático - K ) é dada pela
expressão:
K m2


 cos  





2
 m2 
 
 m1 
m
1 2
m1
2

2 
 sen  
 ,




onde m2 > m1 e  é o ângulo de espalhamento.
alvo
Au + Al
Questão 16. Considere um feixe de He com 6 MeV de
feixe incidente
energia e um fluxo de 4x1011ions.cm-2.s-1 incidindo
perpendicularmente em um alvo uniformente composto
de Au (20 g/cm2) e Al (10 g/cm2). As partículas
elasticamente retroespalhadas são detectadas por um
160
detector de ângulo de 4 cm2, posicionado a 60 cm do
detector
feixe retroespalhado
alvo e a 160 da direção de incidência do feixe no alvo,
como mostra a figura.
(a) Calcule a distância de máxima aproximação entre o He e o Au e entre o He e o Al.
Comente se é razoável, nestes casos, supor que os núcleos são cargas puntiformes.
(b) Determine a energia cinética do He retroespalhado elasticamente pelo Au e pelo Al.
(c) Determine o número de partículas de He retroespalhadas elasticamente pelo Au e pelo Al,
que foram detetadas no detetor citado.
(d) (10%) Determine o número de partículas de He que são espalhadas elasticamente pelo
Au e pelo Al, se o mesmo detetor, com o mesmo ângulo sólido, for colocado a 60 da
direção de incidência do feixe.
São conhecidos : ZAu = 79 e ZAl = 13, MAu = 197 u.m.a e MAl = 27 u.m.a, Au = 19.3 g/cm3 e Al
=2.7 g/cm3, ZHe = 2 e MHe = 4 u.m.a, e = 1.6x10-19 C, 1 u.m.a.
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