Questão 2.

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE FÍSICA
MECÂNICA I - FMT 305 - 1° SEMESTRE DE 2003
período noturno
Prof. mazé bechara
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------TÓPICO III. MOVIMENTOS DE FORÇAS CENTRAIS (FORMALISMO NEWTONIANO)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------tempo previsto: quatro semanas
III.1 Sistemas de duas partículas: o movimento do centro de massa e o movimento
relativo.
III.2 Características das forças centrais: as conservação do momento angular e de
energia mecânica.
III.3 As equações do movimento, o momento angular e a energia em coordenadas
polares.
III.4 O potencial centrífugo, o potencial efetivo e a análise qualitativa do movimento de
forças centrais - condições para os movimentos “livres” e ligados, com órbitas
abertas e fechadas.
III.5 A equação das trajetórias. A força atrativa k/rn e a coneição para órbitas circulares
estáveis.
III.6 A força k/r2 ,atrativa e repulsiva, e as trajetórias possíveis.
III.7 As leis de Kepler para o movimento planetário como conseqüência da força
gravitacional e das leis de Newton para o movimento.
III.8 Colisões de duas partículas - conceituação de espalhamento elástico e inelástico.
Ângulo de espalhamento, parâmetro de impacto e choque frontal na colisão ou
espalhamento elástico.
III.9 O conceito de seção de choque diferencial e de seção de choque total na colisão
de duas partículas. O cálculo da seção de choque de Rutherford (espalhamento
elástico repulsivo por força coulombiana).
REFERÊNCIAS:
1. Marion & Thornton; Cap.8, e seções 9.6, 9.8 a 9.10;
2. Symon: seções 3.12 a 3.16, e 4.6 a 4.8.
Mecânica I – Lista tópico III
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QUESTÕES REFERENTES AO TÓPICO III
Questão 1.

Mostre que F  r̂F r  é uma força conservativa.
Questão 2.
Uma partícula de massa m se move sobre a ação de uma força central cujo potencial é
V ( r )  kr4
k 0.
(a) para quais valores de energia e de momento angular a órbita seria um circulo de raio a
em torno da origem?
(b) Qual é o período do movimento circular ?
(c) Se a partícula sofre uma pequena perturbação no seu movimento circular, qual será o
período de pequenas oscilações em torno de r = a?
Questão 3. Symon 3.47
De acordo com a teoria de Yukawa das forças nucleares, a força entre um nêutron e um
próton tem o seguinte potencial:
Ker
V r  
K 0
r
(a) Determine a força, e compare-a com a força da lei do inverso do quadrado da
distância.
(b) Discuta os tipos de movimento que podem ocorrer, caso uma partícula de massa m
se desloque sob ação de tal força.
(c) Discuta como este movimento deve diferir do movimento correspondente para uma
força proporcional ao quadrado da distância.

(d) Determine L e E para o movimento em circulo de raio a.
(e) Determine o período do movimento circular e o período de pequenas oscilações
radiais.
(f) Mostre que as órbitas aproximadamente circulares são quase fechadas quando a é
muito pequeno.
Questão 4. (3.50 do Symon)
(a) Discuta, usando o método do potencial efetivo, os tipos de movimento que se pode
esperar para uma força atrativa central inversamente proporcional ao cubo do raio:
K
F r    3 , K  0
r
(b) Determine o intervalo de energia e do momento angular para cada tipo de movimento.
(c) Resolva a equação orbital
d 2u
m  1
 u  2 2 F  
2
d
L u u
mostrando que a solução tem uma das formas seguintes :
2
Mecânica I – Lista tópico III
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1
 A cos  0 
r
1
 A cosh  0 
r
1
 Asenh  0 
r
1
 A  0 
r
1 1  
 e
r r0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(d) Para que valores de L e E cada um desses movimento ocorre? Expresse as
constantes A e  em termos de E e L em cada caso.
(e) Faça um gráfico da órbita de cada um dos tipos acima.
Questão 5. (8-34 do Marion&Thornton)
Uma partícula se move sobre a superfície de um cone de ângulo 2 sujeito à força
gravitacional.
L2
(a) Mostre que o potencial efetivo é: Veff r  
 mgr cot 
2mr 2
(Note que aqui r é a distância radial em coordenadas cilíndricas, não coordenadas
esféricas).
(b) Mostre que os pontos de retorno de movimento podem ser encontrados a partir da
solução cúbica em r. Mostre ainda que somente duas raízes tem significado físico, de
modo que o movimento é confinado dentro de dois planos horizontais que cortam o
cone.
Questão 6. (3.51 do Symon)
(a) Discuta os possíveis movimentos para a seguinte força central: F r   
k k'

r2 r3
admitindo k > 0 e considerando ambos os sinais para k’.
(b) Resolva a equação orbital, mostrando que as órbitas ligadas têm a forma:
a 1  2
r
, se L2  mk' .
1   cos
(c) Mostre que esta é uma elipse que têm movimento de precessão. Determine a
velocidade angular de precessão e diga se a precessão está na mesma direção ou na
direção oposta a da velocidade angular orbital.


Questão 7. (Symon 3.43)
A energia potencial para um oscilador tridimensional isotrópico é V r  
1 2
kr .
2
(a) Faça um gráfico do potencial efetivo para o movimento na direção radial, quando
uma partícula de massa m se move sobre a ação deste potencial com um momento
3
Mecânica I – Lista tópico III
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angular L em relação à origem. Discuta que tipos de movimentos são possíveis,
descrevendo-os de maneira tão compelta quanto possível, sem obter a solução
(b) Determine a frequência de revolução para o movimento circular e a frequência radial
para pequenas oscilações em torno do movimento circular.
(c) Achar r(t) e (t).
Questão 8.
Mostre que um campo central V r   

rn
só tem órbitas circulares estáveis se n < 2.
Questão 9. (ymon 3-58)
A distância do periélio (mais próxima) ao Sol do planeta Marte é de 2.06 x 108 km, e a
distância do afélio (máxima) é de 2.485 x 108 km. Suponha que a Terra se mova no mesmo
plano em um círculo cujo raio tem 1.49 x 108 km e um período de um ano. A partir destes
dados, determine a velocidade de Marte no periélio. Suponha que o foguete espacial
Mariner seja lançado de forma que seu periélio esteja na órbita terrestre e o seu afélio,
esteja no periélio de Marte. Determine a velocidade do Mariner relativa a Marte no ponto
onde eles se encontram. Qual deles tem a velocidade mais elevada? Qual deles tem a
maior velocidade angular média durante o período de vôo?
Questão 10.
Um projétil é lançado horizontalmente da superfície da terra com
velocidade v0, tal que a distância de maior afastamento da superfície é h
(veja a figura ao lado). Sendo R o raio da Terra e M sua massa:
(a) Qual é o valor de v0?
(b) Qual é a velocidade no ponto de maior afastamento da superfície da
Terra?
(c) Qual é o valor de v0 para que o projétil escape do campo gravitacional
da Terra?
Questão 11.
Num ponto do hemisfério norte, situado numa latitude , dispara-se um projétil na direção
norte. A velocidade inicial do projétil tem modulo v0 e forma um ângulo  com a horizontal.
Determinar o movimento do projétil.
Questão 12.
No espalhamento de uma partícula por uma esfera
perfeitamente rígida de raio a a trajetória da partícula no
referencial ligado à esfera consiste de duas semi-retas como
mostra a figura ao lado. A trajetória é simétrica em relação
ao eixo O.
(a) Escreva a energia potencial de interação entre partícula
e a esfera, nesta colisão.
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Mecânica I – Lista tópico III
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(b) Calcule a seção de choque diferencial () e a seção de choque total  t para este
espalhamento ( é o ângulo de espalhamento).
Questão 13.
Considere o caso de espalhamento Rutherford no sistema de referência do laboratório no
caso em que m2>>m1 (a massa incidente é muito menor que a massa do alvo). Obtenha
uma expressão para a seção de choque diferencial no sistema de referência do centro de
massa que seja correta em 1a ordem na quantidade m1 / m2.
Questão 14.
(a) Um feixe de partículas  com energia 12.5 keV é espalhado por uma átomo de alumínio
num ângulo de 90°. Calcule a distância de maior aproximação do núcleo (número
atômico da partícula  = 2, número atômico do Al = 13, carga do elétron = 1.6 x 10-19C).
(b) Um feixe dessas partículas  com fluxo de 3 x 104 cm-2.s-1 incide sobre um alvo
contendo 50 mg de alumínio. Um detector de seção transversal de área 4 cm2 é
colocado a 60 cm do alvo, perpendicularmente à direção do feixe. Determine o número
de partículas  detectadas no referido detector. (Massa atômica do alumínio = 27 u.m.a.,
1u.m.a. = 1.66x10-24g, 1eV = 1.6x10-19J).
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