Exercícios Resolvidos de Matemática IV

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MATEMATÁTICA IV
01) Tenho quatro números primos positivos distintos. Um deles é um número par. O segundo é
um divisor de 100 e é ímpar. O terceiro e o quarto são fatores de 1870.
A soma e o produto desses quatro números primos, são, respectivamente:
a) 35 e 1870
c) 43 e 3230
e) 32 e 2145
b) 35 e 1326
d) 44 e 1870
Alternativa A
1o é par, portanto é 2
2o é divisor de 100, portanto é 5
3o e 4o são fatores de 1870
1870 = 2 . 5 . 11 . 17 . Portanto são 11 e 17
Soma = 2 + 5 + 11 + 17 = 35
Produto = 2 . 5 . 11 . 17 = 1870
02)
Dado o número complexo
z = cos  - i sen  ,   IR
é verdade que
1
z
é igual a
a) sen  + i cos  b) sen  - i cos 
c) cos  - i sen  d) cos  + i sen 
1
1
e)
-i
cos 
sen 
Alternativa D
1
z
1
z
1
z
=
=
1 . (cos  + i sen  )
(cos  - i sen  ) (cos  + i sen  )
cos  + i sen 
2
2
cos  + sen 
= cos  + i sen 
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03)
Sabendo-se que o número complexo

x - y
  x 2 + y2
+ 1 . 
+ 1

x + y
  2 xy

a) 4 + 7i
d) -4 - 7i
b) 5 + 7i
e) -5 - 7i
x
y
= 4 + 7i, então a expressão
é:
c) -4 + 7i
Alternativa B

x - y
 x 2 + y 2
 =

. 
+
1
+
1

 

x + y
  2 xy

 x - y + x + y   x 2 + y 2 + 2xy 
=
.
= 
 

x+ y
2xy

 

=
2x
x + y
.
(x + y)
2
=
2 xy
x + y
y
=
x
y
+ 1
=
= 4 + 7i + 1 = 5 + 7i
04)
Seja dada a função
A( x )
,
B( x )
na qual A(x) e B(x) são polinômios inteiros em x de graus m e n,
respectivamente, tais que m  n  1 e B(x)  0.
Se o polinômio A(x) dividido por B(x) dá resto R(x) (de grau inferior a B(x)) e quociente Q(x),
então
a) A(x) = B(x) + Q(x) R(x)
b) B(x) = A(x) + Q(x) R(x)
A( x )
Q(x)
=
+ R(x)
c)
d)
e)
B( x )
A( x )
B( x )
A( x )
B( x )
B(x)
= B(x) Q(x) + R(x)
= Q(x) +
R( x )
B( x )
Alternativa E
A(x)
R(x)
B(x)
 A(x) = B(x) . Q(x) + R(x)
Q(x)
Sendo B(x)  0, temos
A( x )
B( x )
= Q(x) +
R( x )
B( x )
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05) Sejam S a soma das raízes da equação
x 4 - (a2 + b2)x2 + a2b2 = 0 e P o seu
produto.
Sabendo-se que a e b são dois números reais não nulos, é verdade que,
a)
b)
c)
d)
e)
S=0
S=0
S = a2 + b2 e
S = a2 + b2 e
S = -(a2 + b2)
e
P = a2b2
e
P = -a2b2
P=0
P = a2b2
e
P = a2b2
Alternativa A
x4 - (a2 + b2)x2 + a2b2 = 0
Pela relação de GIRARD, temos
S = 0 e P = a2b2
06) Se At é a matriz transposta da matriz A =
 0 k 
 k 0  ,
para todo k  IR, então o determinante da
matriz A - At é igual a
a) 0
b) k2
c) 6k2
d) -4k2 e) 4k2
Alternativa E
A - At = 0k
k   0
0  - -k
0
k
0  =  2k
-2k 
0 
det(A - At) = 4k2
07) Uma das retas que é tangente à circunferência de equação x2 + y2 - 4x + 3 = 0 e que passa
pela origem tem equação:
a) y = x
d) y =
b) y = -x
2
x
2
e) y = 2x
Alternativa C
x2 + y2 - 4x + 3 = 0
C (2, 0) e R = 1
c) y =
3
x
3
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r
30º
1
R=1
2
3
s
mr = tg 30o  mr =
3
3
3
y - yo = m (x - xo)  y =
ms = tg 330o  ms = -
x
3
3
3
y - yo = m (x - xo)  y = -
3
3
x
08) Precisamos alugar um carro por um único dia. Consultadas duas agências, a primeira cobra
R$62,00 pela diária e R$1,40 por quilômetro rodado. A segunda cobra diária de R$80,00 e mais
R$1,20 por quilômetro rodado.
Nessas condições,
a)
b)
c)
d)
e)
a primeira agência oferece o melhor negócio, qualquer que seja a quilometragem rodada.
a segunda agência é melhor somente acima de 100 km rodados.
a primeira agência cobra menos somente até 80 km rodados.
a segunda agência é melhor, se rodados no máximo 120 km.
existe uma quilometragem inferior a 100, na qual as duas agências cobram o mesmo valor.
Alternativa E
As funções ficam definidas:
1o) y = 62 + 1,4x
2o) y = 80 + 1,2x
Onde y é o valor total do alugel e x , a quilometragem rodada.
62 + 1,4x = 80 + 1,2x  x = 90 km
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09)
Seja a função logarítmica, real, definida por
f(x) = logx (6x2 - 5x + 1).
Seu campo de definição é:
a) x >
1
3
1
3
1
3
1
3
b) 0 < x <
c) 0 < x 
d) 0 < x <
e) IR
ou x >
ou x =
1
2
ou
1
2
1
3
ou x >
1
2
< x < 1 ou x > 1
Alternativa D
f(x) = logx (6x2 - 5x + 1)
Da definição de logaritmo vem que:
6x2 - 5x + 1 > 0 e x > 0 e x  1
As raízes da equação: 6x2 - 5x + 1 = 0 são
10)
1
3
c) 
e) 
1
2
Para todo número inteiro k., o conjunto solução de sen2 x - cos2 x = -

6

6

6
+ k
b) 
+ 2k
d) 
+

3

3
k
2
+ k
+ 2k
Alternativa A
sen2 x - cos2 x = sen2
3
ou x =
1
1
2
números reais x iguais a
a) 
1
wwwww wwwww
wwwwwww
0
x=
x-1+
sen2 x =
1
4
sen2
1
2
, como cos2 x = 1 - sen2 x
x=-
1
2
 2 sen2 x =
 sen x = 
1
2
x=

6
1
2

+ k
1
2
é o conjunto dos
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11) Os dois ponteiros de um relógio estão, um exatamente no número 2 e o outro exatamente no
número 7.
O ângulo formado pelos dois ponteiros é:
a) 120o
b) 135o
c) 150o
d) 90o
e) 75o
Alternativa C
Cada divisão tem 30o, pois
11
12
360
12
o
= 30o. Graficamente temos:
1
10
2
9
3
150º
8
4
7
6
5
12) Tem-se uma chapa de aço retangular de 10m de comprimento por 4m de largura. Com esta
chapa forma-se uma cuba, como mostra a figura abaixo.
O valor de  , em radianos para que o volume da cuba seja o maior possível é
a)

4
b)

2
c)
2
3
d)
3
4
e)
5
6
Alternativa B
V = AB.h
AB =
a . b .sen
h = 10m
2
Como a altura é constante (h = 10m), o volume será máximo, quando a área da base for
máxima.
E a área da base será máxima quando
sen = 1   =

2
Fonte:uni-técnico