Resolução Frequência Tipo 01-2002
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Instituto Superior de Ciências do Trabalho e da Empresa FUNDAMENTOS DE ELECTRÓNICA ETIB1/ETIB2 Resolução da Frequência Tipo 01/02 I. Semicondutores 1. a) Considerando o sistema de eixos definido na figura pelos versores u x , u y e u z e dado que o material é homogénio, o campo escalar V(x, y, z) pode ser definido pela seguinte equação: V(x, y, z) 5 x 5 d O campo vectorial E é portanto constante dentro do semicondutor e pode ser obtido pela expressão: E grad V(x, y, z) Ev 5 E 25 Vm 1 E u x 25 u x Vm 1 d Os planos de equipotencial são perpendiculares ao campo elétrico E , refletindo igualmente a simetria axial em relação ao eixo x. As secções circulares representados na figura derivam da aplicação da equação do potencial eléctrico V(x, y, z). Nesta figura estão representados os movimentos de um electrão livre e de uma lacuna no semicondutor, respectivamente no sentido oposto ao do campo eléctrico (de encontro ao terminal positivo da fonte) e no mesmo sentido que o campo eléctrico (movendo-se para o terminal negativo da fonte). b) Em semicondutores intrínsecos o número de pares electrão/lacuna gerados por unidade de volume, ou seja, a concentração de electrões livres e de lacunas é dada pelas seguintes fórmulas: send o n p ni np ni B T 2 3 Eg k T cm 6 para o silício: BSi 2.48 1031 K 3cm 6 e EgSi 1.1 eV considerando T 27º C 300.15 K BT 3 Eg k T 2.48 10 300.15 np k 8.62 10-5 eV K 1 31 3 1.1 8.6210- 5 300.15 n p 1.5 1010 cm 3 = 1.5 1016 m 3 A condutividade num semicondutor intrínseco depende da concentração de carga móvel e da sua mobilidade, sendo dada pelas seguintes expressões: n 300K 1350 cm 2V 1s 1 , n n p p q p 300K 480 cm 2V 1 s 1 , q 1.609 10-19 C 300K 1.5 1010 1350 1.5 1010 480 1.609 10-19 300K 4.417 10-6 1 cm 1 4.417 10-4 S m1 A diminuição da temperatura provoca a diminuição da concentração de portadores de carga como facilmente se deduz a partir da fórmula da concentração intrínseca, dado que diminui o número de pares electrão-lacuna gerados por agitação térmica. A mobilidade da carga traduz a facilidade com que a carga se movimenta na estrutura cristalina. Naturalmente a diminuição da temperatura reduz a agitação térmica e consequentemente reduz o número de colisões entre a carga móvel e a estrutura do semicondutor. Assim sendo, provoca um aumento na mobilidade. c) A resistividade é o inverso da condutividade, pelo que: 1 n 1 n p p q 300K 226.4 103 cm 2.264 103 m A resistência do material é dada pela seguinte expressão em que l representa o comprimento do condutor e A representa a área da sua secção: R l A R 300K 2.264 103 0.2 4.528 106 0.0001 Pela lei de Ohm pode facilmente calcular-se a corrente no semicondutor: I V R I300K 5 A 1.104 10-6 A 1.104 A 6 4.528 10 Dado que a corrente que atravessa uma superfície S é o fluxo do vector densidade de corrente J através dessa superfície, podemos deduzir que: I J .n s S I J 1 s J A J S I 1.104 10 - 2 A m 2 A Uma forma alternativa para o cálculo do vector densidade de corrente J é através da seguinte fórmula: J E J 4.417 10-4 25 u x A m 2 J 1.104 10-2 u x A m 2 O vector J tem o mesmo sentido do campo eléctrico e da corrente, sendo igualmente constante ao longo semicondutor, como é representado na seguinte figura: 2. a) O grau de dopagem nos semicondutores é geralmente muito reduzido pelo que a estrutura atómica no semicondutor dopado é pouco afectada pela inserção de impurezas. Assim, os átomos impuros injectados na estrutura cristalina do semicondutor intrínseco adaptam-se à estrutura existente, integrado-se como se de átomos de silício se tratassem. Naturalmente, os átomos de fósforo têm cinco electrões na camada de valência pelo que apenas quatro destes vão assegurar as ligações covalentes aos átomos de silício vizinhos. Essas ligações são asseguradas por quatro pares de electrões partilhados formando orbitais igualmente espaçadas como se representa na figura seguinte. O electrão extra fica numa zona próxima do núcleo do átomo de fósforo, assegurando assim que a carga é localmente neutra. Em média essa é a disposição física de todas as impurezas inseridas na estrutura desde que não seja aplicado nenhum campo eléctrico ao dispositivo. Naturalmente, a ligação destes electrões quase livres ao núcleo é relativamente fraca e basta um ligeiro fornecimento de energia (e.g. temperatura ambiente) ao semicondutor para que se tornem efectivamente electrões livres. Resulta igualmente que o átomo de fósforo que perca um electrão passe a ser um ião positivo. A figura seguinte representa a estrutura atómica na vizinhança de um átomo dador. Num semicondutor dopado a concentração de impurezas é muito superior à concentração intrínseca, que é devida ao efeito da temperatura na geração de pares electrão-lacuna. Assim, a carga móvel disponível para condução de electricidade é a que resulta da existência de átomos dopantes, neste caso os átomos de fósforo são átomos dadores de electrões, pelo que a carga móvel será maioritariamente do tipo n (i.e. electrões livres). O sentido do movimento de um electrão livre é naturalmente oposto ao do campo eléctrico aplicado, ou seja, de encontro ao borne positivo da fonte de alimentação. Neste caso corresponde a deslocar-se da direita para a esquerda como se representa na figura anterior. b) O potencial eléctrico ao longo do semicondutor no sistema de eixos definido pelos versores u x , u y e u z é dado pela seguinte fórmula: V(x, y, z) 2 x 2 c Consequentemente, o campo vectorial E é constante no semicondutor, tal como está representado na figura anterior, e o seu valor resulta da seguinte expressão: Ev 2 2 E ux u x 200 u x Vm 1 c 0.01 A condutividade é dada pela seguinte fórmula, onde a concentração de lacunas p é desprezável face à concentração de electrões livres n, tal como foi explicado na alínea anterior. n n p p q então, como 2 1 1 n >> p e n 1350 cm V s , q 1.609 10-19 C n n q 1016 1350 1.609 10-19 2.172 S cm 1 2.172 102 S m 1 O valor da resistência eléctrica deste troço de semicondutor e a corrente que o percorre são dados pelas seguintes equações: l R A I V R I R 1 l 1 A 2.172 10 2 0.01 0.0002 2 2 1.465 103 2 A 1.365 10-3 A 1.365 mA 3 1.465 10 O valor da densidade de corrente eléctrica é dado por: J E J 2.172 102 200 u x A m 2 J 4.345 104 u x A m 2 O vector J e a corrente I estão representados na figura anterior. c) A velocidade média de um electrão (ou lacuna) dentro de um semicondutor é proporcional ao campo eléctrico aplicado. A mobilidade é essa constante de proporcionalidade e representa a facilidade com que esse electrão (ou lacuna) se consegue movimentar no seu interior. Naturalmente, um electrão movimenta-se no sentido oposto ao do campo eléctrico, pelo que a sua mobilidade tem sinal negativo, apesar de normalmente se falar do seu módulo (e.g. fórmula da condutividade). Sendo assim, podemos retirar a velocidade média do electrão da seguinte fórmula: v n E 0.135 200 u x m s 1 27 u x m s 1 , pois n 0.135 m 2 V 1s 1 O electrão desloca-se obviamente no sentido do terminal positivo da fonte, ou seja no sentido oposto ao do versor u x . O tempo médio deriva da fórmula da velocidade média: v s s t t v , e portanto tmédio c 3.7 10- 4 s 27 3. As ligações entre os diversos átomos de uma estrutura de semicondutor intrínseco (e.g. silício) são asseguradas pelo estabelecimento de ligações covalentes entre átomos vizinhos. Assim, cada um dos quatro electrões de valência de um átomo une-se a um electrão de um átomo vizinho formando assim quatro pares de electrões partilhados. Cada par de electrões forma uma orbital que liga os dois átomos a que pertencem. Este processo de partilha permite que todos os átomos preencham a sua camada de valência, formado assim uma estrutura cristalina pura (e.g. semelhante à do diamante). O processo de geração de pares electrão-lacuna consiste na destruição de uma destas ligações covalentes. A transferência de energia para um dos electrões numa destas orbitais, quer pelo efeito fotoeléctrico, quer devido à agitação térmica causada pela temperatura, é suficiente para que este possa sair da influência do campo eléctrico que o prende ao(s) núcleo(s). Ao receber essa energia o electrão fica solto para se mover (i.e. torna-se um electrão livre) sob o efeito de qualquer campo eléctrico aplicado ao semicondutor. Paralelamente, a falta de um electrão (i.e. a lacuna) na orbital atingida, originada pela libertação deste electrão, cria localmente um campo eléctrico positivo devido ao desequilíbrio local de carga, que por sua vez, e em conjunção com o campo eléctrico aplicado ao semicondutor, pode atrair um electrão de uma orbital vizinha. A condução de corrente acontece quer pela movimentação de electrões livres no sentido contrário ao do campo eléctrico aplicado ao semicondutor, quer pelo deslocamento das lacunas no sentido desse campo. Isto porque a movimentação de carga corresponde à passagem de uma corrente eléctrica. Daqui também advém o nome de carga móvel, por oposição às cargas eléctricas fixas que estão rigidamente presas à estrutura, como é o caso dos iões gerados pela ionização de átomos dadores ou aceitadores em semicondutores dopados. Naturalmente, o número destes pares de electrão-lacuna depende fortemente da temperatura. Isto, aliás, também se depreende a partir da fórmula usada para os calcular, que foi utilizada na alínea I.2.b). A temperatura de zero graus Kelvin, ou seja, de -273.15ºC representa a temperatura mínima atingível, e corresponde à ausência total de agitação térmica. Nessa situação limite, a probabilidade de destruição de uma das ligações covalentes é nula, pois não há energia disponível para poder libertar um único electrão da sua orbital. Assim, e na ausência de qualquer tipo de carga móvel, a estrutura torna-se um isolador perfeito. Naturalmente para temperaturas elevadas a quantidade de carga disponível é significativa e a condutividade do material semicondutor é relativamente elevada. II. Díodos 1. a) O díodo está claramente polarizado na zona directa ou de condução, uma vez que o sentido da corrente atravessa percorre o díodo da zona P para a zona N. Aplicando o método de redução ao absurdo, i.e. partindo do princípio oposto ao que julgamos/sabemos estar correcto, teríamos: Hipótese: o díodo está ao corte! sendo assim sabe-se que ID = 0, e como VR = R.ID então VR=0. Portanto, VD = VDD - VR = 5V !! Mas se VD > Vth então o díodo está em condução (o que contraria a hipótese!!) A forma clássica de analise e cálculo do circuito é: Hipótese: o díodo está a conduzir! sendo assim sabe-se que VD Vth 0.6V, e como ID = VR/R: VR = VDD - VD ID = (VDD - VD)/R 1.47mA consequentemente ID > 0 o díodo está em condução (confirma a hipótese!!) b) A seguinte figura representa a característica ID(VD) do díodo (comportamento exponencial) e a recta de carga a que corresponde a equação da malha, que é dada por: VVD I D I S T 1 (característica I/V do díodo) ID VDD VD (lei das malhas) R c) A equação não-linear que define o ponto de intersecção das duas equações anteriores determina o ponto de funcionamento (PFR), ou seja, o ponto onde a recta de carga intersecta a característica ID(VD) do díodo. Para determinar com precisão o valor dessa tensão VD pode aplicar-se o seguinte método iterativo: 1ª iterada (hipótese VD0=0.6V) I VD1 VT ln D 0 1 0.700V IS em que I D0 VDD VD 0 1.46666mA R em que I D1 VDD VD1 1.43333mA R 2ª iterada (hipótese VD1=0.700V) I VD 2 VT ln D1 1 0.69977V IS 3ª iterada (hipótese VD2=0.6997756V) I VD 3 VT ln D 2 1 0.699777V IS em que I D2 VDD VD 2 1.43341mA R Assim, e dado que os valores da tensão VD e da corrente ID estabilizaram, pode afirmar-se que os seguintes valores estão muito próximos dos valores finais: VD0.69978V e ID1.4334mA. d) A tensão de threshold é uma barreira de potencial do díodo, que corresponde à diferença de potencial mínima aplicável aos seus terminais para que este entre em condução. Ou seja, este limiar de tensão indica a tensão directa que é necessário aplicar ao díodo para que este passe a ser um bom condutor eléctrico. Naturalmente, para tensões inferiores a esta tensão de limiar, a resistência equivalente do díodo é muito elevada, pelo que nesse caso pode ser considerado um circuito aberto. Como regra geral, a temperatura influencia os dispositivos feitos com base em material semicondutor. No caso do díodo, e tal como foi explicado anteriormente, o aumento da temperatura provoca o aumento da quantidade de carga móvel – lacunas e electrões – quer na zona de tipo n como na zona de tipo p, o que vai naturalmente melhorar a condutividade do díodo. Assim, a característica ID (VD) afasta-se do eixo horizontal, o que corresponde a diminuir a tensão de threshold. Ou seja, a tensão de threshold varia inversamente com a temperatura. e) O valor da condutância incremental do díodo é dado pela seguinte fórmula: VVD VD VD I S T 1 VT VT I I I D gm S S 40 I D 58.8 mS VD VD VT 25mV O modelo incremental equivalente do díodo é simplesmente a resistência 1/gm, e o modelo linear equivalente completo na zona de condução é o seguinte: 2. A seguinte tabela resume as zonas de funcionamento e circuito: a) VA VB DA DB 0V 0V corte corte 0V 4.5V corte condução 5V 0V condução corte 5V 5V condução condução b) A seguinte tabela resume os valores da corrente I e da tensão VO, para cada um dos casos apresentados partindo do princípio que VD(ON)=0.7V. VA VB I Vo Vo 0V 0V 0mA 0V Low 0V 4.5V 3.8mA 3.8V High 5V 0V 4.3mA 4.3V High 5V 5V 4.3mA 4.3V High O circuito implementa a porta lógica OR. III. Transístores de Junção Bipolar (TJBs) 1. A seguinte figura representa fisicamente um transístor de junção bipolar do tipo npn: O transístor de junção bipolar npn é formado a partir da combinação de duas zonas n e uma zona p, tal como está representado na figura. Assim a união destes materiais cria duas zonas de junção: a junção base-emissor e a junção base-colector. A zona do emissor é geralmente mais dopada que o colector, sendo também geralmente mais pequena. A zona intermédia é designada como base, e é geralmente uma zona relativamente estreita. Em termos de funcionamento, há quatro zonas distintas de funcionamento a que correspondem quatro comportamentos distintos e tipos de polarização das zonas de junção. A tabela seguinte resume estas zonas: VBE VBC JunçãoBE JunçãoBC IC VCE Saturação Vth Vth directa directa IC βF.IB |VCE | 0.1 V ZAD Vth Vth directa inversa IC = βF.IB VCE 0.1 V ZAI Vth Vth inversa directa IC = (βR-1).IB VCE -0.1 V Corte Vth Vth inversa inversa IC IB 0 Uma das principais aplicações de um transístor bipolar é a de ser utilizado em montagens de amplificação (e.g. amplificadores de audio). Neste tipo de aplicação a zona privilegiada de utilização é a zona activa directa (ZAD). Quando o transístor está na ZAD (situação representada na figura anterior) o princípio de funcionamento deriva da injecção de electrões livres no emissor, que, devido à polarização directa da junção de base-emissor, se deslocam para a base do transístor. Assim, o aumento significativo de portadores de tipo n na base (tipo p) provoca que devido ao efeito de difusão, a grande maioria deste electrões seja arrastado para o colector. Esta relação traduz-se no coeficiente βF, que relaciona a corrente de colector com a corrente de base, sendo válida a equação IC=βF.IB. Na zona de saturação ambas as junções do transístor estão directamente polarizadas, portanto a diferença de potencial entre o colector e o emissor é quase nula, isto porque VCE=VCB+VBE e tanto VBE como VBC são aproximadamente iguais à tensão de threshold (e.g. entre 0.6V e 0.7V). Como VBE é ligeiramente superior a VBC, VCE é geralmente inferior a 0.1V ou 0.2V. Nesta zona a quantidade de carga que é recolhida pelo colector é bastante inferior e portanto IC βF.IB. Na zona de corte ambas as junções do transístor estão inversamente polarizadas, pelo que não há corrente no transístor. A diferença de potencial entre o colector e o emissor é imposta pelo circuito exterior e pode ser positiva ou negativa. A ZAI corresponde à utilização do npn com o emissor trocado com o colector, e é uma zona de funcionamento muito pouco utilizada, essencialmente devido ao facto de o ganho de corrente ser muito inferior ao que se obtém na ZAD. O princípio de funcionamento nesta zona é relativamente análogo ao da zona activa directa, mas a injecção de electrões livres acontece no colector, e a recolha é feita no emissor. A relação entre a corrente de colector e a corrente de base, que é dada pelo coeficiente βR é muito inferior a βF (pelo menos uma ordem de grandeza abaixo, i.e. pelo menos dez vezes menor). 2. a) A determinação do ponto de funcionamento em repouso (PFR) corresponde ao cálculo das correntes e tensões do transístor em regime estático (ou seja, em DC). Sendo assim, basta calcular IC, IB, IE, VBE, VCE e VBC. Aplicando o teorema da sobreposição, anulam-se todas as fontes de sinal e calculam-se os valores DC de todas as correntes e tensões no dispositivo. Partindo da hipótese que o TJB está na ZAD, e assumindo que F = 100 e VBE(ON) =Vth = 0.6V temos que: IC F I B IC F I B I 2.4mA 3 VBE( ON ) C V R I V I B B BE( ON ) I B 24 A B B RB VC RC I C VCE VCE 10V 3.6V 6.7V I E I B I C 2.424mA VBC VBE VCE 6.1V Ambas as equações confirmam a hipótese de o TJB estar na ZAD. b) O valor da transcondutância do TJB na ZAD é dado pela seguinte fórmula: gm I C VBE VBE I S VT VBE VBE I VT IC S 40 I C 96 mS VT 25mV O modelo incremental equivalente (modelo π) do transístor quando este é utilizado na ZAD está representado na seguinte figura: Substituindo o TJB pelo seu modelo equivalente na montagem de emissor comum representada no enunciado, e anulando todas as fontes DC obtém-se o modelo incremental da montagem representado na figura seguinte. Em que r = o/gm 1k. O cálculo do ganho incremental de tensão deriva simplesmente da análise do circuito: v r vi r RB iC g m v vo g m r v vi RC o 1.426 r RB vi IV. Transístores de Efeito de Campo (MOSFETs) 1. Uma possível implementação física de um transístor de efeito de campo (TEC) do tipo NMOS está representada na figura seguinte: O princípio de funcionamento de um TEC consiste na formação ou não de um canal entre o dreno e a source. A aplicação de uma tensão positiva entre a gate e a source do dispositivo gera um campo eléctrico que atrai os electrões livres disponíveis na source e no dreno. Assim, a partir de uma determinada tensão (tensão de limiar ou de threshold semelhante ao valor usado para os TJBs), a concentração de carga móvel, neste caso de tipo n é suficiente para assegurar uma conductividade elevada entre a source e o dreno. Ou seja, pode considerar-se que o canal está formado. Para tensões inferiores a este limiar o canal não está formado e o TEC apresenta uma conductividade nula entre dreno e source, nesta situação considera-se que o transístor está cortado. A gate está electricamente separada do canal por uma fina película de dióxido de silício (isolante), pelo que a corrente de gate é sempre nula. O TEC tem duas zonas de condução distintas, uma em que a secção vertical do canal é aproximadamente rectangular, e que corresponde a ambas as polarizações VGS e VGD estarem directamente polarizadas - zona linear ou de tríodo. Na outra zona, a tensão VGD é inferior ao limiar de tensão Vth pelo que o canal estrangula do lado do dreno sendo a secção do canal aproximadamente triangular – zona activa (ZA) ou zona de saturação. O seguinte quadro resume as zonas de funcionamento do TEC (NMOS) e as equações válidas em cada caso. VGS ID VGD VDS Linear (ou de tríodo) Vth Vth 2 VDS W I D k n VGS Vth VDS VDS VGS Vth L 2 ZA (ou saturação) Vth Vth ID Corte Vth Vth ID 0 kn W 2 VGS Vth 2 L VDS VGS Vth Este dispositivo é perfeitamente simétrico, i.e. não há distinção física entre o dreno e a source. Assim a identificação do dreno e da source depende do circuito no qual está inserido, ou seja, a corrente que entra pelo dreno (e que sai pela source) é sempre positiva. Ou seja, na situação em que VGS Vth e VGD Vth o dreno e a source estão trocados e o TEC está na mesma na zona activa (ZA), sendo o seu funcionamento exactamente análogo. 2. Num TEC-NMOS de enriquecimento é necessário aplicar uma tensão positiva entre a gate e a source para que seja formado o canal, ou seja, o canal é criado pelo enriquecimento da zona espacial sob a gate devido à atração de carga móvel na sua vizinhança (vinda da source ou do dreno). Num TEC-NMOS de depleção, o canal já está formado mesmo para VGS = 0, pelo que é necessário aplicar uma tensão negativa entre a gate e a source para que o canal seja destruído. Ou seja, só a aplicação de um campo eléctrico negativo é que permite que a carga móvel seja defletida e o transístor corte. As equações anteriores são válidas em ambos os transístores, resultando apenas que num transístor NMOS de enriquecimento a tensão de threshold é positiva (i.e. Vth 0), enquanto que num transístor NMOS de depleção a tensão de threshold negativa (i.e. Vth 0). 3. Considerando a montagem de source comum apresentada no enunciado: a) Dado que o transístor NMOS está na zona activa, o valor da tensão VGS deriva directamente da seguinte equação: ID kn W 2 VGS Vth 2 L VGS Vth 2 L I D 2.014V kn W As tensões e correntes DC que estabelecem o PFR do TEC são: I D I S 1 mA , VGS 2.014V , VDS VDD I D RD , IG 0 O valor de VDS depende do valor de RD que for utilizado. b) O valor da transcondutância do transístor neste circuito é dado pela seguinte equação: gm I D VGS k W 2 n VGS Vth 2 L k W V V 1.414 mS n GS th VGS L c) A figura seguinte representa o modelo incremental do TEC. O modelo incremental da montagem deriva facilmente deste, e está representado na seguinte figura: O cálculo do ganho incremental de tensão deriva simplesmente da análise do circuito: iO g m v gs vO g m v gs RD vO g m RD v gs d) O valor de RD está limitado pelo facto de o transístor poder sair da zona activa se o valor de RD for muito elevado. A equação que garante que o transístor não entra na zona de tríodo é a seguinte: VDS VGS Vth V Vth VGS VDD I D RD VGS Vth RD DD ID VDS VDD I D RD RD 10.6 2.014 RD 7.986 k 0.001 Assim, o valor máximo de RD que pode ser usado sem que o TEC entre na zona de tríodo é RD = 7.986k. Caso o TEC entre na zona de tríodo o valor de gm é fortemente afectado, e o modelo incremental do transístor utilizado para calcular o ganho incremental de tensão é alterado. Assim, tanto o gm como o ganho de tensão seriam muito inferiores ao valor dado pela expressão da alínea anterior. e) O valor máximo do ganho incremental de tensão é obtido exactamente na situação limite, ou seja, para RD = 7.986k, como facilmente se deduz da expressão do ganho. Neste caso, temos: vO g m RD 11.294 v gs Neste caso, o valor DC da tensão de saída é dado por: VDS VDD I D RD 10 0.001 7986 2.014V Assim é de esperar que o osciloscópio apresente os seguintes sinais (atenção às escalas):
