Cap 3

21
Instituto de Biofísica Carlos Chagas Filho
BFB 738 - ELETRICIDADE E ELETRÔNICA APLICADAS À BIOLOGIA
Prof.: Geraldo Cidade
Capítulo 3
Elementos Armazenadores de Energia
3. Introdução
Neste capítulo serão estudados os comportamentos transitório e estacionário dos circuitos
elétricos que envolvem elementos que armazenam energia, sob forma de campo elétrico
(capacitores) e magnético (indutores).
3.1. Capacitância
Se uma carga Q é transferida de uma placa condutora para outra de mesma natureza,
estabelece-se entre elas uma diferença de potencial (ddp) V, que obedece a seguinte relação:
C
Q
V
( Farads 
Coulombs
)
Volts
(3.1)
onde C, expresso em Farads, representa a capacidade de armazenamento de cargas por unidade de
voltagem, conhecida por capacitância, que representa a propriedade dos capacitores (ou
condensadores).
3.1.1. Relação Tensão x Corrente em um Capacitor
A expressão (3.1) poderá ser reescrita como:
Q  C.V
cuja primeira derivada em relação ao tempo, fornece:
dQ(t )
dV (t )
C
dt
dt

i (t ) 
dQ(t )
dV (t )
C
dt
dt
(3.2)
que descreve o comportamento da corrente elétrica i(t) produzida a partir da variação de voltagem,
associadas entre si por uma constante de proporcionalidade C, ou seja, a capacitância.
Ao conectar um gerador de corrente I a um capacitor (descarregado), à medida que este se
carrega, uma diferença de potencial v(t) surge entre seus terminais. Portanto, a tensão desenvolvida,
em função da corrente que o atravessa, é definida por:
v (t ) 
No caso de I ser contínua (Fig. 3.1):
1
i ( t ) dt
C
(3.3)
22
v (t ) 
I
t
C
(3.4)
cria-se uma rampa de voltagem, cujo coeficiente angular ) corresponde à I/C.
CH
v(t)
C
I
v(t)

0
t
Figura 3.1. Carga de um capacitor a partir de uma fonte de corrente constante.
3.1.2. Capacitores em Série
Ao configurar dois ou mais capacitores em série, alimentados por uma mesma fonte de
corrente contínua I, a soma das taxas de variação de voltagem individuais corresponderá à tensão
total produzida sobre a combinação série (capacitância equivalente - CEQ). Seguindo o exemplo
mostrado na Fig. 3.2a, tem-se:
 1
I
I
I
1


 I  
C EQ C1 C2
 C1 C2 
ou
1
1
1


C EQ C1 C2

CEQ 
(3.5)
C1 . C2
C1  C2
(3.6)
Ao desligar a fonte de corrente, as tensões se manterão graças aos campos elétricos
produzidos em cada capacitância em decorrência das cargas armazenadas.
3.1.3. Capacitores em Paralelo
Ao estabelecer uma diferença de potencial entre os terminais de dois ou mais capacitores
configurados em paralelo, a carga armazenada por cada um será de:
Q  C.V
Tomando o exemplo mostrado na Fig. 3.2b:
Q1  C1 .V

C1 
Q1
V
e
Q2  C2 .V

C2 
Q2
V
A capacitância que equivale à combinação paralela entre dois capacitores corresponde a de um
único capacitor, que, armazenando toda a carga, estabelece a mesma diferença de potencial V entre
seus terminais, ou seja:
23
C EQ 
Q1  Q2
V

(a)
C EQ  C1  C2
(3.7)
(b)
C1
I
+
C1
V
C2
C2
_
Figura 3.2. Capacitores configurados em (a) série e em (b) paralelo.
3.1.4. O Capacitor como Elemento Reativo
A capacitor é um elemento de circuito que opõe reação à variações de tensão entre seus
terminais. Esta propriedade confere ao capacitor uma limitação em relação à sua capacidade de
resposta temporal, ou seja, a menos que desejarmos estabelecer instantaneamente uma tensão entre
seus terminais, conectando-o a um gerador ideal de tensão, a corrente necessária para deslocar (em
um tempo nulo) uma quantidade qualquer de carga deveria ter valor infinito. Sendo assim, a
expressão (3.2) nos mostra que a derivada só não será nula no momento em que ocorrer uma
descontinuidade (Fig. 3.3).
Na prática, sabe-se não existir fontes e capacitores ideais, bem como funções de
descontinuidade. Contudo, deve-se tomar precauções no sentido de limitar a corrente que atravessa
um capacitor, já que uma variação brusca de tensão entre seus terminais poderá produzir uma
corrente muito elevada, como se seu comportamento fosse o de um curto-ciruito. Neste sentido, os
resistores são empregados como limitadores de corrente.
CH
Vc(t)
V
+
V
_
Vc(t)
C
0
Ic(t)
t

Vc(t) = V.u(t - t1)
Ic(t) = (t - t1)
0
t1
Figura 3.3. Carga instantânea em um capacitor.
t
24
3.2. Associação Resistência - Capacitância
Em uma associação em série entre um capacitor e uma resistência elétrica, o primeiro se
carregará até artingir o estado permanente, enquanto o segundo limitará a corrente do circuito.
Conforme a Fig. 3.4, uma análise criteriosa do comportamento deste tipo de configuração mostra
que a resposta capacitiva à qualquer estímulo elétrico, por não ser instantânea, confere ao capacitor
uma reação de atraso.
3.2.1. Carga e Descarga de Capacitores
Suponhamos que no circuito da figura abaixo, a chave CH foi acionada no instante t=0, e
que, inicialmente, o capacitor C encontrava-se descarregado.
CH
V(t)
VR(t)
E
R
+
E
V(t)
_
C Vc(t)
0
t
0
t
0
t
Vc(t)
E
V(t)=E.u(t)
VR(t)
VC(t)=E.(1-e-t/RC ).u(t)
E
VR(t)=E.e-t/RC .u(t)
Figura 3.4. Carga e descarga capacitiva através de uma resistência elétrica.
Segundo a expressão (3.2), a tentativa de se estabelecer uma variação abrupta de voltagem
nos terminais do capacitor C, imediatamente após o acionamento da chave CH, resulta no
surgimento de uma corrente máxima (derivada máxima) ao longo do circuito. Neste instante, o
capacitor poderia ser visto como um curto-circuito, já que toda a tensão gerada pela fonte recairia
sobre a resistência elétrica R, que a limitaria em E/R, ou seja,
VC (0 )  0
VC (0 )  0
VR (0 )  0
VR (0 )  E
i ( 0 )  0
i ( 0 ) 
E
R
25
que representam os valores iniciais de contorno do circuito. À medida que o capacitor se carrega, a
tensão VC(t) aumenta, com a conseqüente diminuição de VR(t), para manter V(t) constante, ou seja,
V(t) = VC(t) + VR(t). Quando a tensão no capacitor atingir a da fonte, a corrente do circuito será
nula. Sendo assim:
VC ( )  E
VR ( )  0
i ( )  0
definindo os estados finais das funções em regime permanente, que descrevem o comportamento do
circuito.
Supondo agora que o capacitor da Fig. 3.4 encontre-se inicialmente carregado com uma
tensão VO, e a fonte de tensão em curto-circuito (Fig. 3.5). Ao fechar a chave CH (instante t=0), o
capacitor se descarregará através de R. Neste instante, a corrente produzida encontrará seu valor
máximo, extingüindo-se progressivamente à medida que a tensão no capacitor diminui.
_
VR(t)
+
Vc(t),V R(t)
R
VO
C Vc(t)
i(t)
0
t
i(t)
VO/R
VC(t)=VR(t)=VO.e-t/RC .u(t)
i(t)=VR(t)/R=VO/R.e-t/RC .u(t)
0
t
Figura 3.5. Descarga capacitiva através de uma resistência elétrica.
As expressões mostradas na Fig. 3.5 descrevem matematicamente o comportamento transitório de
um circuito deste tipo. Em qualquer instante de tempo,
VR ( t )  VC ( t )

i (t )  
1
i (t ) dt
RC 
cuja solução transiente corresponde a:
1
i (t )dt
C
ou
R.i (t )  
ou
di ( t )
1

i (t )  0
dt
RC

i (t )  I . e
t
RC
(3.8)
.
Como os valores iniciais são conhecidos,
VO  RCt
i (t )  . e
R

VC (t )  VR (t )  VO . e

t
RC
O mesmo procedimento se aplica para as expressões mostradas na Fig. 3.4.
(3.9)
26
3.2.2. Constante de Tempo
Considere a função exponencial decrescente mostrada na Fig. 3.6. Ao traçar uma reta,
tangente ao ponto que corresponda a t=0 (A), o eixo das abcissas é interceptado em t=, valor que
define a constante de tempo de um circuito, que depende da taxa de variação da função exponencial,
ao longo do tempo.
a(t)
A
a(t)=A.e-t/
0,37A
0,14A
0,05A
0,018A




t
Figura 3.6. Obtenção da constante de tempo de um circuito a partir de sua resposta transiente.
Portanto,
t
t
 

d
1


 A. e    A. e
dt 


que, para t=0:

d
a (t )
dt
t 0

A

que nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente à curva a(t), que intercepta o eixo dos
tempos em t=. Portanto, a constante de tempo funciona como um indicador da velocidade de
resposta de circuitos compostos por elementos armazenadores e dissipadores de energia. Neste caso,
quanto maior for o produto RC (R limitando a corrente e C aumentando a quantidade de cargas a
transportar), mais lentamente o estado estacionário será atingido.
A Fig. 3.6 ilustra os múltiplos valores de  associados através de a(t) às respectivas
amplitudes, que podem representar o valor da tensão sobre o capacitor (vide expressão (3.9)).
Observa-se que com um tempo equivalente à três constantes de tempo, atinge-se 95% do valor
estacionário, e que com quatro constantes a diferença é inferior à 2%. Teoricamente, a função nunca
atingiria seu valor final.
27
3.2.3. Circuito Integrador RC
Suponha que no circuito da Fig. 3.7 o gerador forneça uma onda quadrada, com semiperíodos iguais (ciclo de trabalho = 50%). Se o valor da constante de tempo RC for bem maior do
que o período  da referida forma de onda, não há tempo suficiente para o capacitor carregar-se
completamente. Sendo assim, a forma de onda sobre o capacitor adquire um aspecto triangular
(composição de uma reta ascendente com outra descentente), que nada mais é do que a integral da
função representada pela onda quadrada.
V(t),VO(t)
V
R
0
V(t)
C VO(t)
t
T
=RC>>T
Figura 3.7. Circuito integrador RC.
3.2.4. Circuito Diferenciador RC
O circuito da Fig. 3.8 também é alimentado por um gerador de onda quadrada, e estamos
interessados na forma de onda de tensão sobre o resistor R. Se o período , da onda quadrada, for
bem maior do que a constante de tempo RC do circuito, a corrente de carga de C, que se extingüe
rapidamente, produzirá sobre o resistor R um trem de pulsos (positivos e negativos), aproximando
esta resposta à derivada de uma função da forma de uma onda quadrada.
V(t),VO(t)
V
C
0
V(t)
R
VO(t)
t
T
=RC<<T
Figura 3.8. Circuito diferenciador RC.
28
3.3. Indutância
3.3.1. Relação Tensão x Corrente em um Indutor
Sabe-se que de um indutor percorrido por uma corrente elétrica decorre a formação de um
campo magnético. A indutância é a propriedade do indutor de se opor às variações de corrente. Ao
contrário do capacitor, onde a energia é armazenada sob forma de um campo elétrico, em um
indutor esta é armazenada sob forma de um campo magnético. Todas as vezes que a corrente tende
a variar, uma tensão reversa, denominada força eletromotriz auto-induzida, surge nos terminais do
indutor, no sentido de se opor a esta variação. Assim, são verificadas as seguintes relações:
V (t )  L
di (t )
dt
i (t ) 

1
V (t )dt
L
(3.10)
onde L é expresso em Henries. Pode-se verificar uma dualidade entre as expressões (3.2) e (3.10).
3.3.2. Indutores em Série
Se, em t=0, ligarmos um indutor a uma fonte de tensão contínua V, a corrente produzida
através do circuito (Fig. 3.9) será:
i (t ) 
1
Vdt
L
i (t ) 
V
t
L
(3.11)
Como V é constante:
cujo comportamento é o de uma rampa com coeficiente angular V/L.
CH
i(t)
+
V
L

_
0
t
Figura 3.9. Corrente através de um indutor alimentado por uma fonte de
tensão contínua.
29
Ao alimentarmos dois indutores, conectados em série, com uma fonte de tensão DC (Fig.
3.10), em ambos circulará a mesma corrente i (t ) 
V
t , em que LEQ representa o valor
LEQ
equivalente ao da combinação entre as indutâncias L1 e L2.
L1
V1(t)
L2
V2(t)
V(t)
V ( t )  V . u( t )
1
i1 (t )   V1 (t )
L1
1
i2 (t ) 
V (t )
L2  2
Figura 3.10. Indutâncias em série.
Conforme as expressões da Fig. 3.10, as correntes nos indutores L1 e L2 podem se determinadas, ou
seja,
i1 ( t ) 
V1
t
L1
e
i2 ( t ) 
V2
t
L2
(3.12)
Como só existe uma única corrente no circuito,
i ( t )  i1 ( t )  i2 ( t )
Logo,
V1 V2

L1 L2
ou
V1
L
 1
V2 L2
A partir das expressões de (3.12), pode-se determinar a equivalência entre LEQ, L1 e L2, ou seja,
V1 

i ( t ). L1
t
V  V1  V2 
e
i (t ). LEQ
t
V2 

i (t ). L2
t
LEQ  L1  L2
Pode-se concluir que a configuração série entre indutâncias corresponde à soma entre elas, análoga
ao equivalente série entre resistores.
30
3.3.3. Indutores em Paralelo
Ao alimentarmos dois indutores, conectados em paralelo, com uma fonte de tensão DC (Fig.
3.11), as correntes que circularão pelo circuito serão:
i1 ( t ) 
V
.t
L1
i2 ( t ) 
e

i (t ) 
V
.t
L2
V
.t
LEQ
onde LEQ corresponde à indutância equivalente à configuração paralelo entre L1 e L2.
i(t)
V(t)
i1(t)
L1
i2(t)
V ( t )  V . u( t )
i ( t )  i1 ( t )  i2 ( t )
L2
Figura 3.11. Indutâncias em paralelo.
Pela lei dos nós:
i (t )  i1 (t )  i2 (t )
Então:
V
V
V
.t  .t  .t
LEQ
L1
L2
ou ainda:
LEQ 
1
1
1


LEQ L1 L2
ou
,
L1 . L2
L1  L2
Em analogia à configuração paralelo entre resistores, pode-se verificar que as indutâncias se
combinam da mesma maneira.
3.3.4. O Indutor como Elemento Reativo
Se um indutor ideal for ligado à uma fonte de corrente constante (Fig. 3.12), a tensão
induzida em seus terminais será:
V (t )   L
di ( t )
dt
31
O sinal negativo presente nesta expressão indica que a tensão auto-induzida tende a produzir uma
outra corrente, em sentido contrário aquela que gerou o campo magnético, conferindo ao indutor um
caráter de reação à quaisquer tentativas de variação de corrente entre seus terminais.
CH
IL(t)
I
I
iL(t)
VL(t)
L
0
|VL(t)|
t

IL(t) = I.u(t - t1)
VL(t) = (t - t1)
0
t1
t
Figura 3.12. Descontinuidade de corrente em um indutor.
Embora não existam fontes e indutores ideais, a reação da indutância pode ser facilmente observada,
quando do “faiscamento” em chaves que cortam a corrente de qualquer circuito indutivo.
3.4. Associação Resistência - Indutância
A análise matemática empregada em circuitos do tipo RL é semelhante àquela aplicada em
circuitos RC, cuja dualidade, possibilita extrair analogias importantes entre as relações obtidas.
Desta forma, nos limitaremos neste subítem à análise qualitativa e considerações sobre as
expressões finais.
3.4.1. Carga e Descarga em Indutores
No circuito da Fig. 3.13, ao fechar a chave CH, a indutância impede que ocorra uma
variação instantânea de corrente, dadas suas características reativas. Ao final do estado transiente, o
indutor comporta-se como um curto-circuito e a corrente limita-se apenas à E/R, ao contrário do que
ocorreria em um circuito série do tipo RC.
A função que rege as formas de onda aqui obtidas também são do tipo exponencial,
conforme mostradas na Fig. 3.12, nas quais L/R corresponde à constante de tempo do circuito.
32
3.4.2. Circuitos Integrador e Diferenciador RL
De maneira análoga aos circuitos do tipo RC, as operações íntegro-diferenciais também são
aplicadas aos circuitos RL, dadas suas caraterísticas de dualidade. Na prática, contudo, os circuitos
capacitivos são mais empregados, face ao reduzido tamanho dos capacitores, sua qualidade, preço
reduzido e extensa gama de valores.
CH
V(t)
VR(t)
E
R
+
E
V(t)
_
L VL(t)
0
t
0
t
0
t
VL(t)
E
V(t)=E.u(t)
VL(t)=E.e-(R/L).t .u(t)
VR(t)
E
VR(t)=E.(1-e-(R/L).t ).u(t)
Figura 3.13. Carga e descarga indutiva através de uma resistência elétrica.
3.5. Circuitos LC - Modo Natural
Devido ao caráter de dualidade existente entre indutores e capacitores, a troca de energia
entre estes elementos possibilita a obtenção de um movimento oscilatório regular de corrente
elétrica, que não se extingüiria caso fossem ideais. Surge daí a idéia de oscilação natural, que nada
mais é do que uma onda senoidal, cuja freqüência depende do valor de cada elemento durante o
processo de troca de energia.
Supondo que o capacitor C da Fig. 3.14 esteja inicialmente carregado, produzindo uma
tensão VO entre seus terminais, e que o indutor L não contenha energia inicial armazenada, ao
fecharmos a chave CH no instante t=0, C tende a descarregar-se através de L. Neste caso, dizemos
que a corrente do capacitor carrega o indutor. Por outro lado, após carregado, L produz entre seus
terminais uma força eletromotriz auto-induzida, que polariza reversamente o capacitor,
recarregando-o com a polaridade invertida, que, em um próximo ciclo se descarregará através do
indutor, produzindo, assim, um ciclo completo, que se repetiria indefinidamente, caso L e C fossem
ideiais.
33
VL(t)=VC(t)
CH
VO
i(t)
V0 C
VL(t)
L
C
VC(t)
t
0
Figura 3.14. Circuito LC produzindo oscilações no modo natural.
Partindo dos seguintes estados iniciais:
VC (0 )  VO
VC (0 )  VO
VL (0 )  0
VL (0 )  VO
i(0 )  0
i(0 )  0
a chave CH é fechada, produzindo:
VC ( t )  VL ( t )
que resulta em obtermos:

1
di (t )
i (t )dt  L

C
dt
ou

1
d 2i (t )
i (t ) 
LC
dt 2
(3.13)
cuja solução nos fornecerá as formas de onda mostradas na Fig. 3.14. As funções matemáticas que
são proporcionais aos negativos de suas segundas derivadas são as funções senoidais. Desta forma,
verifica-se que a equação é satisfeita para a solução i (t )  I .sen Ot . Derivando a solução i(t) duas
vezes, tem-se:
d
 I .sen Ot   O I cosOt
dt
e
d2
d
 I cosOt   O2 senOt
2  I sen O t  
dt
dt O
Substituindo os dois membros da equação (3.13), obtém-se:
1
I sen O t  O2 I sen O t
LC
cujo valor da freqüência natural (O) corresponde a:
O 
1
LC
A tensão sobre o capacitor é dada por:
VC ( t ) 
Logo:
1
i ( t ) dt
C
ou
VC (t ) 
1
I sen O tdt
C
34
VC ( t )  
I
OC
cos O t
Para t=0, cos O t  1 e VC (0 )  VO . Então:
I  VOO C
e
VC (t )  VO cosOt
A tensão sobre o indutor é dada por:
VL ( t )   L
di ( t )
dt
ou
VL ( t )   L
d
 I senO t  ,
dt
logo:
VL (t )  O LI cosOt ,
mas:
O L 
1
O C
Então:
VO  O LI
Finalmente:
VL (t )  VO cosOt
Como era de se esperar, as expressões de VC(t) e VL(t) são equivalentes, uma vez que C e L
estão em paralelo. Quando a corrente é nula, toda a energia está armazenada no capacitor (tensão
máxima). Por outro lado, quando a corrente é máxima (tensão nula), toda a energia encontra-se
contida no indutor. Assim, durante todo o tempo, haverá transferência de energia entre os elementos
armazenadores, duas vezes a cada ciclo.
Como na prática os elementos reais são dissipativos, as oscilações tendem a ser amortecidas
ao longo do tempo, até que sejam extintas.