Apresentação do PowerPoint

Decomposição de funções racionais
PRÓPRIAS
Se 𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
é racional própria e
𝑄 𝑥 = 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛 )
com 𝑥 − 𝑥𝑖 ≠ 𝑥 − 𝑥𝑗 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗, então existem
constantes (únicas) 𝐴1 , 𝐴2 , ⋯ , 𝐴𝑛 tais que
𝑃(𝑥)
𝐴1
𝐴2
𝐴𝑛
=
+
+ ⋯+
.
𝑄(𝑥) 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
𝑥 − 𝑥𝑛
Sobre fatoração de termos quadráticos
Lembre-se de que:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥 ′ )(𝑥 − 𝑥 ′′ )
em que 𝑥 ′ 𝑒 𝑥′′ são as raízes do polinômio de
segundo grau, ou seja, fazem com que
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Exemplo:
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 𝑥 − 2 . (𝑥 − 3)
𝑥 2 − 12𝑥 + 35 = 𝑥 − 5 . (𝑥 − 7)
Sobre soma e produto das raízes do
2
trinômio 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Lembre-se de que para 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,
sendo 𝑥 ′ 𝑒 𝑥′′ as raízes então
𝑏
𝑐
′
′′
′ ′′
𝑥 + 𝑥 = − 𝑒 𝑥 .𝑥 =
𝑎
𝑎
Exemplo: encontrar, mentalmente, as raízes de
𝑥 2 − 14𝑥 + 48 = 0.
Procure por dois números 𝑥 ′ 𝑒 𝑥′′ tais que
𝑥 ′ + 𝑥 ′′ = 14 𝑒 𝑥 ′ . 𝑥 ′′ = 48
Não é difícil perceber que: 𝑥 ′ = 6 e 𝑥 ′′ = 8.
Exemplo 1
Decompor em frações parciais
2𝑥 + 5
𝑥 2 − 10𝑥 + 21
1ª providência: fatorar o denominador
Para tal, precisamos de conhecer suas raízes, ou
seja, números que fazem com que
𝑥 2 − 10𝑥 + 21 = 0
Exemplo 1
Decompor em frações parciais
2𝑥 + 5
𝑥 2 − 10𝑥 + 21
1ª providência: fatorar o denominador
Procure dois números que adicionados dê 10 e
multiplicados dê 21. Não é difícil.
_____ + _____ = 10
_____ × _____ = 21
Exemplo 1
Decompor em frações parciais
2𝑥 + 5
𝑥 2 − 10𝑥 + 21
1ª providência: fatorar o denominador
Procure dois números que adicionados dê 10 e
multiplicados dê 21. Não é difícil.
3 + 7 = 10
3 × 7 = 21
Exemplo 1
Decompor em frações parciais
2𝑥 + 5
𝑥 2 − 10𝑥 + 21
1ª providência: fatorar o denominador
Assim, as raízes do polinômio que está no
denominador são: 𝑥 ′ = 3 e 𝑥 ′′ = 7. Desse
modo,
𝑥 2 − 10𝑥 + 21 = 𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
Exemplo 1
Decompor em frações parciais
2𝑥 + 5
𝑥 2 − 10𝑥 + 21
2ª providência: Escrever a fração original com o
denominador fatorado.
2𝑥 + 5
2𝑥 + 5
=
2
𝑥 − 10𝑥 + 21
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
Exemplo 1
Decompor em frações parciais
2𝑥 + 5
𝑥 2 − 10𝑥 + 21
3ª providência: Escrever a decomposição genérica
2𝑥 + 5
2𝑥 + 5
𝐴
𝐵
=
=
+
2
𝑥 − 10𝑥 + 21
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
Exemplo 1
2𝑥 + 5
𝐴
𝐵
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
Você deve descobrir os valores das constantes A e B. Há
pelo menos três formas de fazer isso.
1ª Solução:
encontre o mínimo múltiplo comum no primeiro
membro e compare o polinômio do numerador da
fração da esquerda com o polinômio do numerador da
direita.
Exemplo 1
2𝑥 + 5
𝐴
𝐵
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
2𝑥 + 5
𝐴 𝑥 − 7 + 𝐵(𝑥 − 3)
=
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
Já que os denominadores já são iguais, resta pedir que
sejam iguais também os numeradores. Assim, devemos
ter:
2𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 − 7 + 𝐵 𝑥 − 3 ∀𝑥 ∈ ℝ
Exemplo 1
2𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 − 7 + 𝐵(𝑥 − 3)
Agora, desenvolvendo o membro direito ficaremos
com:
2𝑥 + 5 = 𝐴𝑥 − 7𝐴 + 𝐵𝑥 − 3𝐵
2𝑥 + 5 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 − 7𝐴 − 3𝐵
2𝑥 + 5 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 − 7𝐴 − 3𝐵
Exemplo 1
2𝑥 + 5 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 − 7𝐴 − 3𝐵
Comparando os polinômios passaremos a ter o seguinte
sistema:
𝐴+𝐵 =2
−7𝐴 − 3𝐵 = 5
Observe que esse sistema 2x2 apareceu porque tínhamos um
denominador com DOIS FATORES LINEARES DISTINTOS. Se o
número de fatores fosse quatro, o sistema seria 4x4. Sabe
resolver um sistema assim? Um pouco trabalhoso, não?
Vamos continuar com a resolução.
Exemplo 1
𝐴+𝐵 =2
−7𝐴 − 3𝐵 = 5
Vamos multiplicar ambos os membros por 3?
Ficaremos com:
3. 𝐴 + 3. 𝐵 = 3.2
3𝐴 + 3𝐵 = 6
⇔
−7𝐴 − 3𝐵 = 5
−7𝐴 − 3𝐵 = 5
Adicionando as duas equações teremos:
3𝐴 − 7𝐴 = 6 + 5
11
−4𝐴 = 11 ⇒ 𝐴 = − .
Exemplo 1
𝐴+𝐵 =2
−7𝐴 − 3𝐵 = 5
11
− ,
4
Agora, como 𝐴 =
substituindo esse valor na
primeira equação (por exemplo) ficaremos com:
11
11 19
− +𝐵 =2⇔𝐵 =2+
=
.
4
4
4
Assim,
11
19
𝐴=−
𝑒 𝐵=
4
4
Exemplo 1
Desse modo,
2𝑥 + 5
𝐴
𝐵
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
⇔
11
19
−
2𝑥 + 5
4
4
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
e a decomposição está feita.
Exemplo 1
Qual é o problema ou a limitação desse
procedimento?
• Fica muito trabalhoso se estiver diante de
situações onde o denominador é um polinômio
com três ou mais fatores distintos. O sistema
passa a ser 3x3, 4x4, 5x5 etc.
• É possível resolver esses sistemas? Claro que sim.
O método de escalonamento está aí para isso,
mas, se possível, vamos usar um caminho com
menos espinhos.
Exemplo 1
Do slide 12 temos que
2𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 − 7 + 𝐵 𝑥 − 3 ∀𝑥 ∈ ℝ
2ª Solução:
Consiste em fazer uso do “∀𝑥 ∈ ℝ” e do fato de que
existe uma única solução (não vamos discutir o
porquê disso... Teremos fé ;-))
Exemplo 1
Do slide 12 temos que
2𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 − 7 + 𝐵 𝑥 − 3 ∀𝑥 ∈ ℝ
2ª Solução:
Ora, se a relação é válida para TODO número real,
em particular deve valer para alguns valores que
escolheremos a dedo. Qual seria um bom valor para
colocar no lugar do “x”?
Exemplo 1
Do slide 12 temos que
2𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 − 7 + 𝐵 𝑥 − 3 ∀𝑥 ∈ ℝ
2ª Solução:
A ideia é deixar apenas um parâmetro. Por exemplo:
se queremos descobrir o valor de “A”, então a
parcela que está com o “B” deve anular e isso
acontece se “ 𝑥 = 3 ”. Assim, fazendo 𝑥 = 3 ,
ficaremos com:
Exemplo 1
Do slide 12 temos que
2𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 − 7 + 𝐵 𝑥 − 3 ∀𝑥 ∈ ℝ
[𝑥 = 3]
2.3 + 5 = 𝐴 3 − 7 + 𝐵 3 − 3
⇔
11 = 𝐴 −4 + 𝐵 0
Não importa qual é o valor de “B”, o produto
“𝐵. 0 = 0” sempre e assim,
Exemplo 1
11 = 𝐴 −4 + 0
de onde vem que
11
𝐴=− .
4
De volta a mesma expressão:
2𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 − 7 + 𝐵 𝑥 − 3 ∀𝑥 ∈ ℝ
podemos encontrar o valor de “B” se a parcela com
o “A” se anular e isso ocorrerá se 𝑥 = 7. Daí,
Exemplo 1
2𝑥 + 5 = 𝐴 𝑥 − 7 + 𝐵 𝑥 − 3 ∀𝑥 ∈ ℝ
[𝑥 = 7]
2.7 + 5 = 𝐴 7 − 7 + 𝐵 7 − 3
⇔
14 + 5 = 𝐴 0 + 𝐵 4
⇔
19 = 0 + 4𝐵
de onde vem que
19
𝐵=
4
Exemplo 1
Desse modo, temos mais uma vez,
2𝑥 + 5
𝐴
𝐵
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
⇔
11
19
−
2𝑥 + 5
4 + 4
=
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
e a decomposição está feita.
Exemplo 1
Do slide 11 temos que
2𝑥 + 5
𝐴
𝐵
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
3ª Solução:
Consiste em fazer uso do “∀𝑥 ∈ ℝ” e do fato de que
existe uma única solução logo na igualdade inicial
depois que deixar o parâmetro que quer encontrar
seu valor “desacompanhado” da variável “x”.
Exemplo 1
Do slide 11 temos que
2𝑥 + 5
𝐴
𝐵
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
Veremos que chegaremos no seguinte:
2𝑥 + 5
𝐴=
𝑥−7
𝑥=3
2𝑥 + 5
𝐵=
𝑥−3
2.3 + 5
11
11
=
=
=−
3−7
−4
4
𝑥=7
2.7 + 5 19
=
=
7−3
4
Exemplo 1
Do slide 11 temos que
2𝑥 + 5
𝐴
𝐵
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
Vejamos como:
[A] Para descobrir o valor de “A” multiplicamos
ambos os membros pelo DENOMINADOR de [A].
Ficamos então com:
Exemplo 1
2𝑥 + 5 . (𝑥 − 3) 𝐴(𝑥 − 3) 𝐵(𝑥 − 3)
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3
𝑥−7
Cancelando os termos idênticos ficaremos com
2𝑥 + 5
𝐵(𝑥 − 3)
=𝐴+
𝑥−7
𝑥−7
Agora, pense em uma escolha boa para o valor que vai
atribuir ao “x”. Deve ser tal que a parcela que está com
o “B” seja anulada. Logicamente, devemos fazer 𝑥 = 3.
Ficaremos então com:
Exemplo 1
2𝑥 + 5
𝑥−7
𝑥=3
𝐵 𝑥−3
=𝐴+
𝑥−7
𝑥=3
de onde vem (já que a última parcela é nula) que
2𝑥 + 5
𝑥−7
=𝐴
𝑥=3
Ou seja,
2𝑥 + 5
𝐴=
𝑥−7
𝑥=3
2.3 + 5
11
11
=
=
=−
3−7
−4
4
Exemplo 1
Do slide 11 temos que
2𝑥 + 5
𝐴
𝐵
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
Vejamos como:
[B] Para descobrir o valor de “B” multiplicamos
ambos os membros pelo DENOMINADOR de [B].
Ficamos então com:
Exemplo 1
2𝑥 + 5 . (𝑥 − 7) 𝐴(𝑥 − 7) 𝐵(𝑥 − 7)
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3
𝑥−7
Cancelando os termos idênticos ficaremos com
2𝑥 + 5 𝐴(𝑥 − 7)
=
+𝐵
𝑥−3
𝑥−3
Agora, pense em uma escolha boa para o valor que vai
atribuir ao “x”. Deve ser tal que a parcela que está com
o “A” seja anulada. Logicamente, devemos fazer 𝑥 = 7.
Ficaremos então com:
Exemplo 1
2𝑥 + 5
𝑥−3
𝑥=7
𝐴(𝑥 − 7)
=
𝑥−3
+𝐵
𝑥=7
de onde vem (já que a primeira parcela é nula) que
2𝑥 + 5
𝑥−7
=𝐵
𝑥=7
Ou seja,
2𝑥 + 5
𝐵=
𝑥−3
𝑥=7
2.7 + 5 19
=
=
7−3
4
Exemplo 1
Desse modo, temos mais uma vez,
2𝑥 + 5
𝐴
𝐵
=
+
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
⇔
11
19
−
2𝑥 + 5
4 + 4
=
𝑥 − 3 . (𝑥 − 7)
𝑥−3 𝑥−7
e a decomposição está feita.
Simples assim...
Tudo de bom.
Luís Cláudio LA
Sim