Matriz Quadrada

Matrizes
Definição
Mat
Fis
Qui
João
7,0
5,0
6,0
Maria
9,0
4,0
5,0
Chama-se matriz a uma tabela de números dispostos em linhas e
colunas
 7 5 6

A  
 9 4 5
Matrizes
Classificação
Matriz Quadrada: número de linhas = números de colunas
 2  1


4 0 
Matriz Retangular : número de linhas é diferente do
números de colunas
4
1 2 0
Matrizes
Notação
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij
onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse
elemento.
 a11 a12 


A  a21 a22 
a31 a32 
Observação: Se a matriz é quadrada de ordem n, então os
elementos aij tal que i=j são chamados de diagonal principal e os
elementos aij tal que i + j = n + 1 são os elementos da diagonal
secundária.
Matrizes
Igualdade de Duas Matrizes
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se
somente se os seus elementos são respectivamente iguais.
Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo mx n, temos:
A = B <=> aij=bij
Matrizes
Tipos de Matrizes
Matriz Transposta
Dada uma matriz A do tipo mxn chama-se transposta de A, a
matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de linhas de A
serão as colunas de At e vice-versa
5 3 4
A

1 0 2
5 1 


t
A  3 0
4 2
Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é
do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A
será o elemento aji de At .
Matrizes
Tipos de Matrizes
Matriz Nula
Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus
elementos são iguais a zero.
0 0 0 
0

0 0 0 
Matrizes
Operações com Matrizes
Adição
Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam
do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de
linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij + bij
Exemplo:
2 5 1 
 1 6 0
A
B


3

2
4

1
3
2




3 11 1
A B  

2
1
2


Matrizes
Operações com Matrizes
Subtração
Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam
do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de
linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij - bij
Exemplo:
2
 1 5
3




A   2 3 B    2 5 
 1 4
 0  1
 2 3 


A  B   4  2
  1 5 
Matrizes
Operações com Matrizes
Multiplicação
Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p,
chama-se produto da matriz A pela matriz B que se
indica C = A . B a matriz m x p definida por
Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj
Observações:
1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o
número de colunas da matriz A for igual ao número de
linhas da matriz B.
2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p
respectivamente, então o produto C = A . B existe e é
uma matriz do tipo m x p,
Matrizes
Operações com Matrizes
Multiplicação
Exemplo:
Dadas as matrizes
 2 3
3


A  1 0  e B  
2

4 5
 2. 3  3. 2

C  A.B  1.3  0.2
4.3  5.2
1

4
2.1  3.4 12 14 



1. 1  0. 4    3 1 
4.1  5.4 22 24
Matrizes
Lei de formação de uma matriz
Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:
aij  i  2 j se i  j

bij  3i  j se i  j
 a11 a12
A
a21 a22
a13 

a23 
1  2.1 3.1  2 3.1  3  1 5 6
A



3.2  1 2  2.2 3.2  3  7  2 9
Matrizes
04.21. Quantas matrizes existem de
ordem 2 com elementos de números
naturais tais que:
Exercício Resolvido
6 5
X X 

5 8
t
Solução:
a b 
a c 
t
Chamaremos de X  
eX 


c d 
b d 
 a b   a c   6 5
Substituíndo temos 





 c d   b d  5 8 
 2a b  c  6 5
b  c 2d   5 8

 

Matrizes
04.21. Quantas matrizes existem de
ordem 2 com elementos de números
naturais tais que:
Solução:
2a = 6 a=3
2d = 8 d=4
b+c=5
Lembrando a análise combinatória
OOOOOO+
p
5 ,1
6
6!

6
5!1!
Exercício Resolvido
6 5
X X 

5 8 
t
Matrizes
Produto de Matrizes
Matriz Identidade
Chama-se matriz identidade a matriz quadrada em que os
elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais
elementos são iguais a zero.
1 0
I2  

0 1 
1 0

I 3  0 1
0 1
Obs: A matriz identidade é o
elemento neutro da
multiplicação ou seja:
0

0
0
A.I=I.A=A
Matrizes
Operações com matrizes
Produto de número por uma Matriz
Definimos o produto de um número por uma matriz m x n como
sendo uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado
por cada um dos elementos da matriz dada.
Exemplo
2
A
0
6
3A  
0
1 4

3 5
3 12

9 15
Matrizes
Observações
 O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em
que A.B = B.A e quando isso acontece dizemos que A e B se
comutam.
 Quando A . B for diferente de B . A temos que
(A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2
 Quando A e B se comutam temos (A+B)2 = A2 + 2AB +B2