Ensino Superior Cálculo 1 1- Funções e Limites Amintas Paiva Afonso Números e Funções Reais Amintas Paiva Afonso Números e funções reais Conjunto dos Números Naturais (N) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto dos Números Inteiros (Z) Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} Negativos: Z- = {..., -3, -2, -1, 0} Não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} N Z (N está contido em Z) Conjunto dos Números Racionais (Q) Q = {a/b | a,b Z, b 0} Z Q (Z está contido em Q) Números e funções reais Conjunto dos Números Irracionais () É o conjunto formado por números cuja representação decimal é não exata e não periódica Exemplo: = 3,141592653589... Conjunto dos Números Reais (R) É o conjunto formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais N Z Q R Números e funções reais Operações com números racionais Adição: a c ad bc b d bd Subtração: a c ad bc b d bd Multiplicação: a c ac b d bd Divisão: a b a d ad c b c bc d Números e funções reais Reta Real Cada ponto de uma reta real representa um número real Numa reta real os números estão ordenados de maneira crescente da esquerda para a direita. Um número a é menor que qualquer número b colocado a sua direita e maior que qualquer número c a sua esquerda. R -4 -3 -2 -1 c 0 1 2 a 3 4 5 b Números e funções reais Conceito de função Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é uma lei ou regra de correspondência que relaciona a cada elemento de de A um único elemento de B. Notação: f: A B y = f(x) Números e funções reais Plano Cartesiano O plano cartesiano é definido por dois eixos ortogonais Eixo x é o eixo das abscissas Eixo y é o eixo das ordenadas A origem do sistema é o ponto O As coordenadas do ponto P são os números reais x1 e y1 Par ordenado (x1 , y1) y y1 O P(x1, y1) x1 x Números e funções reais Domínio É o conjunto de valores assumidos por x. Imagem É o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de correspondência para os elementos do domínio. Gráfico É a representação geométrica dos pares x e y no plano cartesiano. Retas Coeficiente angular da reta R: Y R variação vertical m variação horizontal y y2 y1 m x x2 x1 y2 y y2 y1 y1 Obs.: Retas horizontais: m = 0 Retas verticais: Não têm m P2 ( x2 , y2 ) P1 ( x1 , y1 ) x x2 x1 x1 x2 X Retas Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular A equação abaixo é a equação na forma ponto – coeficiente angular que passa pelo ponto (x1, y1) e tem coeficiente angular m. y y1 mx x1 ou y m( x x1 ) y1 Retas Exemplo 1 Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular -3/2. x1 = 2 y1 = 3 m = -3/2 y y1 m x x1 3 y 3 x 2 2 3 y 3 x 3 2 3 y x6 2 Retas Exemplo 2 Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P1(-2, -1) e P2(3, 4). Cálculo do coeficiente angular x1 = -2 y y1 m 2 x2 x1 y1 = -1 4 (1) 4 1 5 x2 = 3 m 1 3 (2) 3 2 5 y2 = 4 Cálculo da equação da reta m = ? y y1 m x x1 y (1) 1 x (2) y 1 x 2 y x 1 Retas Equação reduzida da reta: y mx b R ( x, y ) Y m - coeficiente angular b - coeficiente linear (0, b) Equação geral da reta: Ax By C b X Ae B diferentes de zero. Aplicações Muitas variáveis importantes são relacionadas por equações lineares, como por exemplo, a relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit e Celsius. 9 F C 32 ou 5 m b 5 C ( F 32) 9 Funções e Gráficos Os valores de uma variável freqüentemente dependem dos valores de outra variável A temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta) O rendimento anual de suas economias depende da taxa de juros oferecida pelo banco Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de outro conjunto B é chamada de função. OBS: A é o domínio B é a imagem (contra-domínio) A B Funções e Gráficos Nomenclatura (Leonhard Euler) y é igual a f de x y f (x) Variável independente (domínio) Variável dependente (contra-domínio ou imagem) Y (imagem) X (domínio) Funções Definição: Sejam R o conjunto dos números reais e, A e B dois subconjuntos de R. Uma função f de A em B é uma lei que associa a cada elemento x de A, um único elemento y = f(x) do conjunto B. Neste caso, dizemos que y é uma função de x, ou seja, f é uma função real de uma variável real e denotamos por: • • • • x é chamada de variável independente. y é chamada de variável dependente. A é chamado de domínio, denotado por A = 𝔻(f). B é chamado de contra domínio , denotado por B = C𝔻(f). Seja f: A → B uma função. Domínio da função f é o conjunto A definido por: A = 𝔻(f) = {x∊ℝ/ ∃ f(x)ℝ} A Imagem da função f, denotada por 𝕀m(f), é um subconjunto do contra domínio B, ou seja, 𝕀m(f)⊂B, definido por: 𝕀m(f) = {yB/ ∃ x∊A, com y = f(x)} A = 𝔻(f) f B = C𝔻(f) 𝕀m(f) x y=f(x) Funções e Gráficos Domínios e imagens Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o domínio não é citado explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores de x para os quais a fórmula fornece valores reais de y – domínio natural. Se queremos restringir o domínio de algum modo devemos dizê-lo. Exemplo: O domínio de y = x2 é o conjunto dos números reais. Se queremos somente valores positivos de x devemos escrever y = x2, x > 0. Os domínios e as imagens de muitas funções de uma variável real a valores reais são intervalos ou combinações de intervalos, que podem ser abertos, fechados ou semi-abertos e finitos ou infinitos. Funções e Gráficos As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos restantes são chamados pontos interiores. Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os que não contêm são abertos. Aberto AB B A ≤ x ≤ B ou [A, B] x A B Fechado em A e aberto em B A Fechado AB A < x < B ou (A, B) x A ≤ x < B ou [A, B) Aberto em A e fechado em B A < x ≤ B ou (A, B] x A B x A B Funções e Gráficos Exemplos de domínios e imagens Função Domínio (x) Imagem (y) 1) y 2 x (, ) ou R (, ) ou R 2) y x2 (, ) ou R [0, ) ou R 3) y [0, ) ou R [0, ) ou R x A função 1 fornece um valor real de y para qualquer número real de x, então o domínio é (-, ) A função 2 fornece um valor real de y somente quando x é positivo ou zero, então o domínio é [0, ) Gráfico de uma função Uma função pode ser representada por pares ordenados e seu gráfico é um subconjunto do ℝ2, isto é: Gr(f) = {(x,y) ℝ2/x𝔻(f) e y = f(x) 𝕀m(f)} ou Gr(f) = {(x,f(x)) ℝ/ x 𝔻(f) } y=f(x) y2 𝕀m(f)=[y1 , y2] (x,y) y y1 x1 x x2 𝔻(f)={x∊ℝ/x1 x x2}=[x1 , x2] Zeros e sinais de uma função y ]-∞,x1] y<0 [x1,x2] y>0 y=f(x) [x2,x3] y<0 [x3,+∞[ y>0 + x1 ▁ + x2 Zeros ou raízes da função são os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo Ox, ou seja, f(x)=0, ou ainda, onde y=0. ▁ x3 x Os sinais da função: Acima do eixo Ox ela é positiva e abaixo é negativa. Números e funções reais Tipos de funções Função linear Ex.: y = x + 1; Função linear afim Ex.: y = 2x; Função quadrática Ex.: y = x2 – 2x – 3; Função exponencial Ex.: y = 2x; Função logarítmica Ex.: y = log2x; Funções trigonométricas Ex.: y = senx Função do 1º Grau Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo : R ( x, y ) Y y ax b (0, b) b Onde: X a = taxa de variação da função; b = ponto onde a reta toca o Eixo Y; Propriedades da Reta É definida por um polinômio de 1o grau; Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em apenas um ponto; O sinal da taxa de variação a fornece a informação sobre o crescimento ou decrescimento da função: a < 0 função decrescente; a > 0 função crescente; Propriedades da Reta - Se a < 0, a função decresce. Se a > 0, a função cresce. Só tocam o eixo X uma vez. Raízes da Função de 1º Grau As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau) cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero. y 0 ax b 0 ax b x b a Função Afim y = ax + b ∀a≠0 e bℝ Função do 1º grau a coeficiente angular a = tgθ b coeficiente linear a>0 reta crescente a<0 reta decrescente b θ b θ Função Linear y = ax + b a>0 reta crescente θ y = ax a<0 reta decrescente θ Exercícios Até 40h 3,00 por hora Acima de 40h + 50% (4,50 por hora) Salário Bruto = (até 40h) + (acima de 40h) Sendo x o número total de horas, S(x) = 40.3 + (x – 40).4,5 S(x) = 120 + 4,5x – 180 = 4,5x - 60 Exercícios Fixa ...... 4,60 + 0,96 por quilômetro Para um valor de 19,00 F(x) = 4,60 + 0,96.x 19 = 4,6 + 0,96.x 14,4 = 0,96.x 15 = x Exercícios X – preço de tabela À vista: (30% de desc) = 0,7.x Cartão de crédito: 1,1.x Logo 0,7.x = 7000 x = 10.000 E portanto, no cartão 1,1.10000 = 11000 Exercícios Exercícios Função de 2º Grau Uma função de 2º grau, também chamada de função QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é toda função real do tipo: y ax bx c 2 Desde que a ≠ 0; Propriedades da Parábola É definida por um polinômio de 2o grau; Pode possuir: Duas raízes reais e distintas; Duas raízes reais e iguais; Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X). O sinal de a fornece a informação sobre a concavidade da função: a < 0 concavidade para baixo; a > 0 concavidade para cima; Propriedades da Parábola Se a < 0, a concavidade é para baixo. Se a > 0, a concavidade é para cima. Podem ter três tipos de raízes. Raízes da Função de 2º Grau Para encontrar as raízes de funções de 2º Grau, resolvemos a equação: ax bx c 0 2 Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara: b 2 x , com b 4ac 2a Função Quadrática Função do 2º grau a>0 concavidade para cima a<0 concavidade para baixo Função Quadrática >0 x1 =0 x2 <0 x1 = x2 Propriedades das Funções -4 -1 -2 -3 Propriedades das Funções -1 f(x+a) com a>0 deslocamento para a esquerda 1 f(x-a) com a>0 deslocamento para a direita Propriedades das Funções Propriedades das Funções 2 2 -2 f(x) e –f(x) são simétricas em relação ao eixo Ox -4 f(x) e f(-x) são simétricas em relação ao eixo Oy 4 Função Polinomial 3 raízes reais diferentes 2 raízes reais iguais e 1 diferente 2 raízes complexas e 1 real Função Potência Função Potência Função Potência Função Potência Função Potência Função Potência Função Racional São função do tipo mesma variável. Exemplo: Dada a função , onde g(x) e h(x) são polinômios na , determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções: 1 -1 -1 1 -1 Função Logarítmica 1 1 Função Exponencial 1 1 1 Função definida por Sentença Aberta 1 0 -1 2 Função Modular 1/4 1/2 Círculo Trigonométrico e os eixos das funções trigonométricas Cotangente + 0 Seno e Cossecante Tangente Cosseno e Secante Funções sen(x) e cossec(x) θ Seno e Cossecante 0 y Função Seno 1 -2 -3/2 - -/2 0 3/2 /2 3 x 3 x 2 5/2 -1 y 1 -2 -/2 -3/2 - 3/2 0 /2 -1 2 5/2 Funções cos(x) e sec(x) θ 0 cosseno e secante Função Cosseno y 1 -2 - -3/2 -/2 0 /2 2 3/2 3 x 3 x 5/2 -1 y Função Secante 1 -2 - -3/2 -/2 0 /2 -1 3/2 2 5/2 Funções tg(x) e cotg(x) Eixo da cotangente θ 0 Eixo da tangente Função Tangente y - -/2 0 /2 3/2 2 x 5/2 Função cotangente y - -3/2 -/2 0 /2 2 3/2 x Função Inversas das funções sen(x), cos(x) e tg(x) y f(x)=sen(x) 1 -2 -3/2 - -/2 0 /2 3/2 3 2 5/2 -1 /2 f -1(x)=arcsen(x) -1 1 -/2 x y f(x)=cos(x) 1 -2 -3/2 - -/2 0 /2 2 3/2 3 5/2 -1 f -1(x)=arccos(x) /2 -1 1 x f(x)=tg(x) y - -/2 0 /2 /2 -/2 3/2 2 x 5/2 f-1 (x)=arctg(x) Funções Hiperbólicas Das funções trigonométricas, temos que P(x,y)=(cosθ,senθ) está sobre uma circunferência de equação x2+y2=1. . y P(x,y) 1 θ x Para as funções hiperbólicas, temos que P(x,y)=(coshθ,senhθ) está sobre uma hipérbole de equação x2-y2=1. y P(x,y)=(coshθ,senhθ) θ x Seno hiperbólico Definições: Cosseno hiperbólico 1 Outras funções hiperbólicas Tangente hiperbólica 1 Cotangente hiperbólica 1 -1 tgh(x) -1 cotgh(x) Secante hiperbólica Cossecante hiperbólica 1 sech(x) cosech(x)