Introdução à Estatistica

INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
APLICADA
Definição: Técnica de recolha, organização,
sintetização e apresentação de dados numéricos
(E. descritiva). Compreende, ainda, as técnicas
por meio das quais são tomadas decisões sobre
uma população, baseadas unicamente na
observação de amostras , pelo uso de conceito de
probabilidade (E. inferencial).
Exemplos:
1. E. descritiva: estudo da idade da população dos
alunos da ESTV.
2. E. inferencial: a partir da pesquisa amostral da
população escolar, inferir a sua estrutura etária.
1
ESTATÍSTCA DESCRITIVA
1. Distribuição de Frequência
-
Definir um n.º de classes ímpar
-
Amplitude da classe = R / n.º de classes
R – Amplitude (Range)
R = Maior valor (H) – Menor valor (L)
-
Quadro de distribuição de frequência
Numa coluna as classes e na outra o n.º de
casos correspondentes.
-
Histograma
Gráfico de barras com classes nas abcissas e
n.º casos nas ordenadas.
-
Polígono de frequências
Linha constituída por segmentos de recta que
unem os pontos médios dos topos das barras.
-
Curva de frequência
Suavização curvilínea do polígono de freq.
-
Distribuição de frequência acumulada
Identifica o .º de casos (%) até cada classe.
2
ESTATÍSTCA DESCRITIVA
Numa turma do 10º ano foram perguntou-se a cada aluno a sua idade.
Os dados não classificados são:
14, 15, 16, 17, 18, 19, 14, 15, 16, 17, 14, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 16,
15, 15
Os dados classificados e agrupados numa tabela de
frequências
Idade (em anos)
14
15
16
17
18
19
Total
Frequência
4
7
5
2
1
1
20
3
ESTATÍSTCA DESCRITIVA
Frequência absoluta ou efectiva (fi) de um valor da variável é o
numero de vezes que esse valor foi observado
Frequência relativa (fri) de um valor da variável é o quociente entre
a frequência absoluta do valor da variável e o número total de
observações
Frequência (relativa ou absoluta) acumulada de um valor da
variável é igual à soma das frequências anteriores com a
frequência desse valor
fi
fri
Fi – Freq. Absoluta
acumulada
Fri – Freq. relativa
acumulada
14
4
0,20
4
0,20
15
7
0,35
11
0,55
16
5
0,25
16
0,80
17
2
0,10
18
0,90
18
1
0,05
19
0,95
19
1
0,05
20
1
Xi
4
ESTATÍSTCA DESCRITIVA
8
7
6
5
4
3
2
1
0
14
15
16
17
18
19
Gráfico de barras - frequências absolutas
25
20
15
10
5
14
15
16
17
18
19
0
Gráfico de barras - frequências absolutas acumuladas
5
ESTATÍSTCA DESCRITIVA
Na mesma turma do 10º ano perguntou-se a cada aluno a sua
altura em centímetros: 147, 167, 171, 172, 151, 154, 150, 155,
156, 160, 160, 164, 163, 159, 158, 162, 169, 170, 174
Para 20 observações vamos usar 6 classes. Consideram-se
ainda as seguintes convenções:
-O extremo esquerdo do intervalo (classe) será fechado e o
extremo direito aberto;
- aos extremos do intervalo chamam-se limites da classe; à
diferença dos limites, amplitudes do intervalo da classe; à
semi-soma dos limites chama-se ponto médio ou marca da
classe
fi
fri
Fi – Freq. Absoluta
acumulada
Fri – Freq. relativa
acumulada
[145 , 150[
1
0,05
1
0,05
[150 , 155[
3
0,15
4
0,20
[155 , 160[
4
0,20
8
0,40
[160 , 165[
5
0,25
13
0,60
[165 , 170[
2
0,10
15
0,75
[170 , 175[
5
0,25
20
1
Xi
6
ESTATÍSTCA DESCRITIVA
Histograma das frequências absolutas
6
4
2
0
[145 , 150[
[160 , 165[
[150 , 155[
[165 , 170[
[155 , 160[
[170 , 175[
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2. Medidas de Posição*
Valor calculado para um grupo de dados,
usado para o descrever.
-Média aritmética
-Para dados não classificados
-
μ - M. A. da população
μ=ΣX/N
x - M. A. amostral
x=Σx/n
Para dados classificados n
X = (f1x1+f2x2+…fnxn)/n =
 fiXi
i 1
n
n

i 1
n
fi
Xi   friXi
n
i 1
-Mediana
Corresponde ao valor do item médio
quando todos os valores foram organizados
de forma crescente ou decrescente.
Se n é ímpar Med = Xk com K = (n+1)/2
Se n é par Med = (Xk+ Xk+1 )/2 com K = n/2
-Moda
Valor mais frequente.
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*ou de tendência central
ESTATÍSTCA DESCRITIVA
1. Calcule a média de idade da turma do
10º ano
2. Calcule a média das alturas da turma
3. Calcule a mediana das idades da turma
4. Calcule a moda das idades da turma
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ANÁLISE
As diferenças de valores assumido pela média
aritmética, mediana e moda indicam-nos o tipo
de curva de distribuição de frequência, sem a
desenhar.
Coeficiente de Pearson
Dá-nos informação sobre a simetria da curva
de distribuição de frequência (Medida de
simetria).
C. Pearson = 3 (μ – Med) / σ
ou
= 3 (x – Med) / s
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3. Medidas de Variabilidade
- Amplitude total
R=H-L
H – Maior valor da população (ou amostra)
L – Menor valor da população (ou amostra)
- Variância e desvio padrão
σ^2 = (Σ(X- μ)^2) / N
σ=
(Σ(X- μ)^2) / N
s^2 = (Σ(x - x)^2) / n
s=
(Σ(x - x)^2) / n
σ^2 – Variância populacional
s^2 – Variância amostral
σ - Desvio padrão populacional
s -
Desvio padrão amostral
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Uma variável aleatória utiliza-se para
expressar os resultados de uma
experiência aleatória. Em algumas
situações, o conjunto de valores que
uma variável toma confunde-se com o
próprio conjunto de resultados, isto é,
com o espaço amostral.
Experiência aleatória: Medição da altura
de uma pessoa escolhida ao acaso
Espaço amostral: Conjunto de todas as
alturas atribuíveis a uma pessoa
Variável aleatória: Altura (que pode
tomar qualquer um dos valores que
constituem o espaço amostral
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ESTATÍSTCA INFERENCIAL
Uma variável quantitativa classifica-se
como discreta ou contínua, conforme os
elementos do contradomínio da
aplicação que a define forem numeráveis
ou não numeráveis.
Exemplo:
A variável resultado do lançamento
de um dado é discreto (podendo
tomar os valores 1,2,3,4,5 ou 6)
A variável distância a percorrer
diariamente por um vendedor será
contínua, se se admitir que tal
distância é medida com precisão
absoluta.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE
PROBABILIDADE
f(X)
Maior precisão
σ = 10
σ=5
μ
X
f(X)
μ-3σ
μ-2σ
μ-1σ μ μ-1σ
68,27%
μ-2σ μ-3 σ
X
95,45%
99,73%
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A distribuição normal é importante:
- Grande número de fenómenos e processos
segue esta distribuição;
- Pode ser usada com aproximação a outras
distribuições (binomial e de Poisson);
- A distribuição estatística de amostras, tais
como a média, seguem a D. normal.
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Distribuição Normal Padronizada
- Tem por finalidade potenciar o uso de tabelas;
- Obtém-se pela introdução de
Z = (X – μ) / σ
f(Z)
0
Z
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APROXIMAÇÃO PELA NORMAL À
PROB. BINOMIAL
Esta aproximação é possível sempre que
o número de observações ou tentativas
for relativamente elevado.
n ≥ 30 e n p ≥ 5
μ=np
σ = n p (1 – p)
n – N.º de provas
p – Probabilidade de sucesso
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INTERVALOS DE CONFIANÇA
95%
-1,96
0
-1,96
z
Interpretação:
Para um determinado nível de confiança (α) será
calculado o intervalo que contém a verdadeira
média da população (μ).
[Iα]μ=X±Zσ/ n
P. e., temos 95% de confiança que a verdadeira
média da população está contida no intervalo.
[ I 0,95 ] μ = X ± 1,96 σ / n
A dimensão do intervalo depende do nível de
confiança e do tamanho da amostra.
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