Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas
Propaganda
Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Fundamental, 9º Ano Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º Objetivos: 1. Definir os conceitos das razões trigonométricas fundamentais de um ângulo agudo; 2. Identificar figuras geométricas conhecidas associadas aos ângulos notáveis: 30º, 45º e 60º; 3. Calcular os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis. 4. Aplicar em situações do cotidiano. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º Trigonometria A palavra trigonometria vem do grego trigōnon, que significa triângulo, mais metron, que significa medida. De modo simples, podemos dizer que a trigonometria é o ramo da Matemática que estuda as razões entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, tomando como referência os possíveis valores de um dos seus ângulos agudos. As aplicações da trigonometria remetem a diversos campos de conhecimentos: todas na engenharia, na astronomia e nas ciências naturais, especialmente na matemática, na física e na química. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Razões trigonométricas fundamentais De um modo resumido, podemos seguir a seguinte linha de raciocínio: Dado um ângulo agudo , isto é, um ângulo cuja medida 0 90 o , Podemos construir naturalmente um triângulo retângulo no qual um de seus ângulos agudos mede : Note que dois possíveis triângulos retângulos assim produzidos são automaticamente semelhantes. (use o caso de semelhança AAA) Isto significa que embora suas medidas não precisam ser unicamente determinadas, as razões que elas induzem são únicas devido à proporcionalidade obtida a partir da razão de semelhança entre os dois triângulos retângulos. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Razões trigonométricas fundamentais Deste modo, associados ao ângulo sen ( ) cos( ) , definimos as seguintes razões: cateto oposto ao ângulo b hipotenusa do triângulo retângulo a C cateto adjacente ao ângulo c hipotenusa do triângulo retângulo a a b cateto oposto ao ângulo b tg ( ) cateto adjacente ao ângulo c B c A As três razões acima estabelecidas são chamadas de razões trigonométricas fundamentais de um ângulo agudo e são chamadas respectivamente de seno, cosseno e tangente do ângulo . Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Problema Dois amigos, João e Pedro, estavam caminhando no centro de Recife quando João olhou para cima e viu um prédio bastante alto em comparação aos outros e perguntou a Pedro se ele saberia dizer aproximadamente a altura do prédio. Pedro então lhe respondeu: - Se eu tivesse um teodolito em mãos e uma trena te responderia com certeza qual é altura do prédio. Teodolito: ferramenta utilizada para medir ângulos e inclinações. Imagem: Pablo Alberto Salguero Quiles / Disponibilizado por Alberto Salguero / Teodolito: ferramenta utilizada para medir ângulos e inclinações Museo Geominero de Madrid (España) / GNU Free Documentation License. Trena: ferramenta utilizada para medir comprimentos e distâncias. Imagem: Flickr / Trena: ferramenta utilizada para medir comprimentos e distâncias / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Problema João duvidou, dizendo que era impossível fazer essa medição somente com esses dois instrumentos. No mesmo momento, Pedro falou: - João, acho que do ponto em que estamos, vejo o topo do prédio sob um ângulo de 45º . Então, caminhou em direção ao prédio contando os passos até chegar em um ponto onde ele achou que enxergava o topo do prédio sob um ângulo de 60º - ao todo foram 20 passos largos. Pedro disse: - Meus passos largos medem aproximadamente 1 metro. Se eu tivesse o teodolito e a trena, essas medidas seriam mais exatas. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Problema - João, se você concordar com essas medidas aproximadas posso te calcular a altura do prédio. Você concorda? João concordou e os dois foram para uma lanchonete, pediram dois sucos e começaram a fazer as contas. Pedro pegou um guardanapo e fez o seguinte desenho: x 60° 45° 20 m y Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Solução - João, observe que não sabemos a distância y do ponto B até o prédio e muito menos a altura x do prédio. x 60° 45° - Mas conhecemos a distância entre os pontos A e B, bem como os ângulos sob os quais visualizamos o topo do prédio nestes pontos. y 20 m Agora, utilizando a trigonometria podemos calcular a altura do prédio x. x tg (60 ) y x y Note que: tg (60o ) o x x tg ( 60 ) o o tg ( 45 ) e, da equação obtemos que tg (45 ) o 20 y 20 tg (60 ) x o Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Solução - Pronto! – disse Pedro, resolvemos o problema. Descobrimos que: 20 tg(45o ) tg(60o ) x o o tg(60 ) tg(45 ) - Opa! – disse João. - Pronto nada! Eu ainda não sei a altura do prédio e não temos nenhuma tabela trigonométrica por aqui. - E agora? Como você sai dessa? Como a trigonometria é uma ferramenta muito útil para resolver diversos problemas, podemos encontrar nos livros e manuais tabelas, contendo as razões trigonométricas de todos os valores dos ângulos agudos. Essas tabelas são chamadas de tabelas trigonométricas. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Tabela de Razões Trigonométricas Ângulo (graus) Seno Cosseno Tangente Ângulo (graus) Seno Cosseno Tangente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,01745 0,03490 0,05234 0,06976 0,08716 0,10453 0,12187 0,13917 0,15643 0,17365 0,99895 0,99939 0,99863 0,99756 0,99619 0,99452 0,99255 0,99027 0,98769 0,98481 0,01746 0,03492 0,05241 0,06993 0,08749 0,10510 0,12278 0,14054 0,15838 0,17633 46 47 48 49 50 0,71934 0,73135 0,74314 0,75471 0,76604 0,69466 0,68200 0,66913 0,65606 0,64279 1,03553 1,07237 1,11061 1,15037 1,19175 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0,19087 0,20791 0,22495 0,24192 0,25882 0,27564 0,29237 0,30902 0,32557 0,34202 0,98163 0,97815 0,97437 0,97030 0,96593 0,96126 0,95630 0,95106 0,94552 0,93969 0,19438 0,21256 0,23087 0,24933 0,26795 0,28675 0,30573 0,32492 0,34433 0,36397 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 0,77715 0,78801 0,79864 0,80903 0,81915 0,82904 0,83867 0,84805 0,85717 0,86603 0,62932 0,61566 0,60182 0,58779 0,57358 0,55919 0,54464 0,52992 0,51504 0,50000 1,23499 1,27994 1,32704 1,37638 1,42815 1,48265 1,53986 1,60033 1,66428 1,73205 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,35837 0,37461 0,39073 0,40674 0,42262 0,43837 0,45399 0,46947 0,48481 0,50000 0,93358 0,92718 0,92050 0,91355 0,90631 0,89879 0,89101 0,88295 0,87462 0,86603 0,38386 0,40403 0,42447 0,44523 0,46631 0,48773 0,50953 0,53171 0,55431 0,57735 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 0,87462 0,88295 0,89101 0,89879 0,90631 0,91355 0,92050 0,92718 0,93358 0,93969 0,48481 0,46947 0,45399 0,43837 0,42262 0,40674 0,39073 0,37461 0,35837 0,34202 1,80405 1,88073 1,96261 2,05030 2,14451 2,24604 2,35585 2,47509 2,60509 2,74748 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 0,51504 0,52992 0,54464 0,55919 0,57358 0,58779 0,60182 0,61566 0,62932 0,64279 0,85717 0,84805 0,83867 0,82904 0,81915 0,80903 0,79864 0,78801 0,77715 0,76604 0,60086 0,62487 0,64941 0,67451 0,70021 0,72654 0,75355 0,78129 0,80978 0,83910 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 0,94552 0,95106 0,95630 0,96126 0,96593 0,97030 0,97437 0,97815 0,98163 0,98481 0,32557 0,30902 0,29237 0,27564 0,25882 0,24192 0,22495 0,20791 0,19087 0,17365 2,90421 3,07768 3,27085 3,48741 3,73205 4,01078 4,33148 4,70463 5,14455 5,67128 41 42 43 44 45 0,65606 0,66913 0,68200 0,69466 0,70711 0,75471 0,74314 0,73135 0,71934 0,70711 0,86929 0,90040 0,93252 0,96569 1,00000 81 82 83 84 85 86 87 88 89 0,98769 0,99027 0,99255 0,99452 0,99619 0,99756 0,99863 0,99939 0,99985 0,15643 0,13917 0,12187 0,10453 0,08716 0,06976 0,05234 0,03490 0,01745 6,31375 7,11537 8,14435 9,51436 11,43010 14,30070 19,08110 28,63630 57,29000 Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o E agora, como Pedro sai dessa? o o tg ( 60 ) tg ( 45 ) sem o auxílio de uma tabela Como podemos calcular e trigonométrica? Para responder essa pergunta, recorremos aos nossos conhecimentos da geometria plana: Por exemplo, conhecemos algum triângulo retângulo com ângulos agudos de 30º, 45º ou 60º (se um ângulo agudo for 30º , o outro será de 60º). Conhecendo tais triângulos e suas medidas poderemos facilmente calcular as tangentes desses ângulos e resolver o problema. Assim, comecemos pensando como produzir um triângulo retângulo com um ângulo agudo de 45º (consequentemente o outro ângulo agudo é de 45º ). Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Quadrados! Esse é fácil! Desenhe um quadrado, digamos que a medida de seus lados seja 1 dm. Note que temos 4 ângulos retos e 4 lados medindo 1 dm. . . .2 . 45 . 2 1 45 1 . Agora, traçando uma de suas diagonais, obtemos dois triângulos isósceles de lados 1 dm e base medindo 2 . O mesmo raciocínio poderia ser feito para um quadrado de lado qualquer. Logo, os ângulos da base desses triângulos retângulos isósceles serão congruentes e, portanto, medem 45º . Faça você agora, supondo que o quadrado tenha lado 2 dm. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Quadrados! 2 Pronto, agora com as medidas do triângulo retângulo isósceles ao lado, podemos calcular os valores de seno, cosseno e tangente de 45º . 1 45 1 Deste modo, temos que: sen(45o ) cateto oposto 1 2 hipotenusa 2 2 cos( 45o ) cateto adjacente 1 2 hipotenusa 2 2 tg (45o ) cateto oposto 1 1 cateto adjacente 1 Logo, observando que o triângulo retângulo isósceles de lados 1 dm e base 2 dm tem os dois ângulos agudos medindo 45º, podemos calcular os valores de seno, cosseno e tangente de 45º . Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Triângulos Equiláteros! Como um quadrado é um quadrilátero equilátero, tentemos alguma coisa no triângulo equilátero! 60 60 60 30 2 3 Desenhe um triângulo equilátero, digamos que a medida de seus lados seja agora 2 dm. Note que temos 3 ângulos congruentes e medindo 60º . agudos Agora, traçando uma de suas alturas, obtemos dois triângulos retângulos de catetos medindo 1 dm e 3 dm. Logo, as hipotenusas desses triângulos retângulos medem 2 dm. 60 60 . 1 Assim, observando que cada um desses triângulos retângulos tem um dos ângulos agudos medindo 60º e, consequentemente, outro ângulo agudo medindo 30º, podemos calcular os valores de seno, cosseno e tangente de 30º e 60º. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Triângulos Equiláteros! Deste modo, com as medidas do triângulo retângulo ao lado, podemos calcular os valores de seno, cosseno e tangente de 60º. 30 2 3 Logo, temos que: sen(60o ) cateto oposto 3 hipotenusa 2 60 . 1 cos(60o ) tg (60o ) cateto adjacente 1 hipotenusa 2 cateto oposto 3 3 cateto adjacente 1 De modo análogo, calculamos os valores de seno, cosseno e tangente de 60º. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Triângulos Equiláteros! Agora, focalizando no ângulo de obtemos: cateto adjacente 1 sen(30o ) hipotenusa 2 cos(30o ) tg (30o ) cateto oposto 3 hipotenusa 2 30 30º, 2 3 60 . 1 cateto oposto 3 cateto adjacente 3 O mesmo raciocínio poderia ser feito para um outro triângulo equilátero qualquer, tomando uma outra medida para seus lados. Agora, suponha que o triângulo equilátero tenha um lado medindo 1 dm e calcule os valores de seno, cosseno e tangente desses ângulos. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Tabelas das Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis: 30º, 45º e 60º Coletando os resultados obtidos anteriormente, somos capazes de produzir uma pequena tabela trigonométrica para os ângulos 30º, 45º e 60º: 30o 45o 60o sen 1 2 cos 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 tg 3 3 1 3 Pronto, como essa tabela em mãos podemos retornar ao problema: Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o De volta ao problema: 30o 45o 60o sen 1 2 cos 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 tg 3 3 1 3 Com a tabela em mãos, Pedro substituiu os valores e obteve o seguinte resultado: 20 tg (45o ) tg (60o ) 20 1 3 20 3 3 1 x 10 3 3 1 o o tg (60 ) tg (45 ) 3 1 3 1 Usando 3 1,73 , Pedro obteve que x 17,3 2,73 47,23 m Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Dica Legal! Aqui vai uma dica legal para vocês. Não é politicamente correta, mas ajuda muito. sen cos tg Comece escrevendo tabela em branco. a 30o 45o 60o 11 2 Na primeira linha escreva 1, 2 e 3. 222 2 333 2 222 2 33 3 2 1 1 2 Na segunda linha escreva 3, 2 e 1. 3 3 1 3 Para a tangente, divida o valor do seno pelo valor do cosseno! Tire as raízes quadradas de todos. Divida todos por 2. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Hora do Filme! Ficou alguma dúvida? Antes de resolver alguns problemas e exercícios, vamos assistir a um vídeo do youtube para revisar o que acabamos de aprender! Clique no link a baixo para assistir ao filme: http://www.youtube.com/watc h?v=mba6Ea0jE_0 Imagem: (a) gnokii / Pipoca / Creative Commons Public Domain Dedication. (b) Chris / Tira de filme / GNU Free Documentation License. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Exercícios Resolvidos 1. (UCSal-BA) Na figura abaixo tem-se o triângulo ABC, cujos ângulos internos têm as medidas indicadas. C 60° 30° A M B Se M é o ponto médio de AB e AC= 10 cm, qual é a medida do segmento AM ? Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Solução C 60° Como no triângulo retângulo ABC temos que a hipotenusa AC mede 10 cm, usamos a razão trigonométrica: cos(30o ) AB AB AC 10 AB 3 10 2 30° A AB 5 3 cm Agora, como M é o ponto médio do segmento medida do segmento AM é dada por: AM AB 2 AM 5 3 cm 2 M AB , concluímos que a B Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Exercícios Resolvidos 2. Um paralelogramo tem lados de medida 8 cm e 12 cm, e um de seus ângulos internos mede 120º. Calcule sua área. 12 cm Solução 8 cm h 120° 60° sen (60o ) h 3 8 2 h4 3 Area 12 4 3 48 3 cm 2 Deste modo, concluímos que a área do paralelogramo é sen 48 3 cm 2 Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Exercícios Resolvidos 3. (UNIPAR-PR) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem a e 3a, respectivamente, então o cosseno do ângulo oposto ao menor lado é: 10 a) 10 2 2 b) 3 c) Solução 1 3 d) x 2 a 2 (3a) 2 2 3 x 2 8a 2 e) x 2 2 a Assim, calculamos que: 3a a cos( ) a x 2 2 a 2 2 3 a 3 2 2 Letra (b) Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Exercícios Resolvidos 4. (UNISAL-BA) Na figura abaixo, tem-se um trapézio isósceles cujos lados têm medidas indicadas. 4 2 2 a 6 A medida do ângulo assinalado é: a) 60º b) 45º c) 30º d)22º 30’ e) 15º Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Solução 4 2 4 2 a 2 a . 1 2 6 6 Usando o fato de que o trapézio é isósceles, obtemos que: cos( ) 1 60o 2 Assim temos que a resposta correta é a letra (a). Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Agora é a sua vez! Use a tabela das razões trigonométricas fundamentais dos ângulos notáveis 30o 45o 60o sen 1 2 cos 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 tg 3 3 1 3 e resolva os seguintes problemas: Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Exercícios Propostos 1. (MACK-SP) Na figura, determine o valor de AB: A 50 m D 30° 50 m 60° C B Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Exercícios Propostos 2. (VUNESP-SP) Na figura, os pontos C, D e B são colineares e os triângulos ABD e ABC são retângulos em B. Se a medida do ângulo ADB é 60º e a medida do ângulo ACB é 30º, demonstre que: a) AD=AC b) CD=2.DB A 30° C 60° B Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Exercícios Propostos 3. (UFPI-PI) Se um triângulo retângulo possui um ângulo interno que mede 30º, é sempre correto afirmar que: a) o cateto oposto a esse ângulo mede a metade da hipotenusa. b) o maior cateto mede o dobro do menor cateto. c) o triângulo é isósceles. d) o cateto oposto a esse ângulo mede o dobro da hipotenusa. e) O cateto adjacente a esse ângulo mede a metade da hipotenusa. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Exercícios Propostos 4. Utilizando as razões trigonométricas dos ângulos notáveis, mostre que a altura h de um triângulo equilátero de lado é dada por: . 3 h 2 5. Determine a medida do lado BC do seguinte triângulo: A 6 60° 45° C Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Respostas 1. AB= 75 m 3. (a) o cateto oposto a esse ângulo mede a metade da hipotenusa. 5. BC 6 3 2 (2) e (4) são demonstrações e podem ser encontradas em textos sobre trigonometria. Confira no seu livro! Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Nesta aula você aprendeu! Podemos associar a um ângulo 0 90 , um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos e, consequentemente, três razões trigonométricas fundamentais. Quando o ângulo agudo for um dos três ângulos 30º, 45º ou 60º podemos facilmente deduzir os valores de seno, cosseno e tangente destes, chamados ângulos notáveis. o Aprendeu uma dica para lembrar dos valores das razões trigonométricas fundamentais dos ângulos notáveis e aplicou estes valores para resolver diversos problemas do cotidiano. Matemática, 9º Ano do Ensino Fundamental Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o Referências Bibliográficas: [1] Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. & Morgado, A. C. Temas e problemas Elementares. Rio de Janeiro: 2a edição SBM, 2005. [2] Iezzi, G. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 3, Atual Editora. [3] Carmo, M. P. do, Trigometria e Números Complexos, SBM. [4] Machado, A. dos S. Matemática temas e metas: trigonometria e progressões. São Paulo: Atual, 1986. [5] Giovanni, J. R. &. Bonjorno, J. R. Matemática 1: Conjuntos, funções, trigonometria: ensino médio, São Paulo: FTD, 1992. [6] Dante, L. R. Contexto & Aplicações: ensino médio: volume único. São Paulo: Editora Ática, 2001 Tabela de Imagens n° do direito da imagem como está ao lado da foto slide 6a Pablo Alberto Salguero Quiles / Disponibilizado por Alberto Salguero / Teodolito: ferramenta utilizada para medir ângulos e inclinações Museo Geominero de Madrid (España) / GNU Free Documentation License. 6b Flickr / Trena: ferramenta utilizada para medir comprimentos e distâncias / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic 21a gnokii / Pipoca / Creative Commons Public Domain Dedication 21b Chris / Tira de filme / GNU Free Documentation License. link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Teodolito_ 25/09/2012 Museo_Geominero_de_Madrid_(España).jpg http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stanley_Po 26/09/2012 werLock_tape_measure.jpg?uselang=pt-br http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=F 27/09/2012 ile:Popcorn.svg&page=1&uselang=pt-br http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Filmstreife 27/09/2012 n.svg
