Produto de duas matrizes

Matrizes especiais
Matriz linha
Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por
exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
Matriz coluna
matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma
única coluna. Por exemplo, do tipo 3 x 1.
Matrizes especiais
Matriz Nula
Todos os Elementos são nulos
Matrizes especiais
Matriz Quadrada
Igual número de Linhas e Colunas
Matrizes especiais
Matriz Quadrada
Diagonal Principal
Diagonal Secundária
i+j =n+1
1+4 = 4+1
2+3 = 4+1
3+2 = 4+1
4+1 = 4+1
e
Diagonal Secundária
Diagonal Principal
i=j
1=1
2=2
3=3
4=4
Matrizes especiais
Matriz Identidade
Matriz em que a diagonal principal é composta apenas
pelo número 1 e todos os outros elementos são
compostos pelo número 0
Matrizes especiais
Matriz transposta
A transposta de uma matriz é a matriz obtida pela troca
das linhas pelas colunas da matriz original, de modo que
a coluna j da matriz original passe a ser a linha j da
matriz transposta e a linha i da matriz original passe a
ser a coluna i da matriz transposta.
A= m x n
AT= n x m
Exemplos:
Matriz Transposta
Matrizes especiais
Matriz simétrica
Uma matriz é dita simétrica se ela for igual à sua
transposta.
A=
AT =
Uma matriz A, simétrica, é necessariamente quadrada e
aij = aji.
Exemplos:
Matriz simétrica
Matrizes especiais
Matriz anti-simétrica
Uma matriz é dita anti-simétrica se ela for simétrica à sua
transposta. A = - AT
A=
AT =
- AT =
Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica
são necessariamente nulos.
Matriz anti-simétrica
Exemplos:
Operações envolvendo Matrizes
Igualdade de matrizes
Soma de matrizes
Duas matrizes podem ser adicionadas se e somente se
elas forem da mesma ordem.
Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente.
O resultado da soma será uma matriz com a mesma
dimensão das matrizes originais.
Simbolicamente, temos que, se C = A + B, então cij = aij
+ bij, para todo i e j.
Subtração de matrizes
Duas matrizes podem ser subtraídas se e somente se
elas forem da mesma ordem.
Subtração de matrizes = subtrair seus elementos individualmente.
O resultado da subtração será uma matriz com a
mesma dimensão das matrizes originais.
Simbolicamente, temos que, se C = A - B, então cij = aij - bij, para todo i e j.
Subtração de matrizes
Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar,
multiplicando-se cada elemento da matriz por este escalar.
Multiplicação de uma matriz por uma constante
Basta multiplicar todos os elementos da matriz pela constante
Subtração de matrizes
Subtração entre duas matrizes é equivalente a somar a
primeira com o produto da segunda pelo escalar -1.
Então E - F = E + (-F). Por exemplo.
F multiplicada por -1
Subtração de matrizes
Exemplo:
Produto de duas matrizes
O produto de duas matrizes somente pode ser efetuado se o
número de linhas da matriz à esquerda for igual ao número
de colunas da matriz à direita.
O produto de matrizes é, em geral, não comutativo, ou seja,
dadas duas matrizes A e B e seu produto, AB, o produto BA
pode não existir e, se existir, pode não ser igual a AB.
O produto de duas matrizes tem o número de linhas da
matriz à esquerda e o número de colunas da matriz à
direita. Ou seja, sendo C = AB, se A é m x n e B é n x p, C é
m x p.
Produto de duas matrizes
Produto de duas matrizes
Exemplo:
Produto de duas matrizes
Exemplo:
Produto de duas matrizes
Exemplo:
Produto de duas matrizes
Exemplo:
Produto de duas matrizes
Exemplo:
Produto de duas matrizes
Exemplo:
Produto de duas matrizes
Exemplo:
Produto de duas matrizes
Exemplo:
1) Determine X e Y de modo que se tenha:
2) Determine X,Y,Z e t
de modo que se tenha:
3) Calcule:
3.1 C = A+B
3.2 D = A-B
4) Dadas:
Calcule:
4.1) D = A+B
4.2) E = A+C
4.3) F = A+C
4.4) G = A+B+C 4.5) H = A+B-C 4.6) I = A-B-C
4.7) J = (A+B) +(C-B)
4.8) k = (A+C) +(B-C)
5) Dadas:
Determine a matriz X tal que X+A = B-C
6) Determine a matriz X tal que:
7) Calcule:
7.1 C = 4A
7.2 D = (1/3) B
7.3 E = ½ C + 2D
8)Calcule a, b,c para que:
9) Calcule: (Exercício Resolvido)
10) Calcule:
11) Calcule:
12) Calcule:
13) Calcule:
14.1 AB
14.2 (AB)C
14) Resolva a Equação Matricial (Exercício Resolvido):
Solução:
15) Calcule: a, b, c d
16) Calcule: x e y
17) Calcule: X
t
18) Calcule A .B
19) Calcule x,y e z para que a Matriz A seja simétrica
20) Calcule x,y e z para que a Matriz A seja anti-simétrica