resumo de lógica MATEMÁTICA

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RACIOCÍNIO LÓGICO
CONTEÚDO: LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES
01 - INTRODUÇÃO
A Lógica é uma ciência com características matemáticas, mas está fortemente ligada à Filosofia. Ela
cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar
humano.
Aristóteles, filósofo grego (384?-322a.C) em sua obra "Órganon", distribuída em oito volumes,
foi o seu principal organizador.
Através da Lógica pode-se avaliar a validade ou não de raciocínios que têm por base premissas
(afirmações supostamente verdadeiras) iniciais.
Os exemplos abaixo mostram desenvolvimento de raciocínios lógicos:
Raciocínio I - (1ª premissa) Todo homem é mortal.
(2ª premissa) Sócrates é mortal.
Conclusão: Sócrates é homem.
Raciocínio II- (1ª premissa) Todo homem é mortal.
(2ª premissa) Sócrates é homem.
Conclusão: Sócrates é mortal.
À primeira vista, todos os dois raciocínios parecem verdadeiros. Entretanto, o primeiro é falso,
pois: Sócrates pode perfeitamente ser o gatinho da minha vizinha. Já, o segundo raciocínio é
universalmente verdadeiro.
Quais são as regras para a validação de uma conclusão a partir de afirmações anteriores? Este é
um dos principais objetivos deste curso.
George Boole (1815-1864), em seu livro "A Análise Matemática da Lógica", estruturou os
princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra
Booleana.
No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores,
dando origem aos atuais computadores.
Desde 1996, nos editais de concursos já inseriam o "Raciocínio Lógico" em suas provas. Hoje,
a maioria dos concursos apresenta questões de Raciocínio Lógico, entre eles os concursos para
Auditor-Fiscal e Técnico da Receita Federal, Fiscal do Trabalho, Analista e Técnico de Finanças e
Controle, Tribunal de Contas da União (TCU) e Tribunais de Contas Estaduais, Especialista de
Políticas Públicas e Gestão Governamental (MPOG), Analista de Planejamento e Orçamento (MPOG),
Assistente de Chancelaria (MRE), Auditor de Tributos Estaduais e Municipais, Analista do Serpro,
Analista e Técnico do MPU, Banco do Brasil, IBGE, Caixa Econômica Federal, Polícia Federal
(Delegado, Perito, Escrivão, Agente e Papiloscopista).
Pode, à primeira vista, parecer complexa a disciplina "Raciocínio Lógico". Entretanto, ela está
ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mãos à obra.
02 - PROPOSIÇÕES
(01)
(02)
(03)
(04)
(05)
(06)
São variadas as formas de se expressar. Vejamos algumas delas:
Feliz ano novo!
Chove.
Quando começam as férias?
x é maior que 27.
Três mais dois.
Paris é a capital da França.
Todos os exemplos acima têm um significado, entretanto, apenas o exemplo cinco não
apresenta sentido completo. O exemplo (5), por não ter um sentido completo é denominado
EXPRESSÃO. Aos demais exemplos chamamos de SENTENÇAS.
Define-se então:
1
sentença é uma forma de se expressar que apresenta um sentido completo.
As sentenças que apresentam uma variável, como a de número 04 é denominada SENTENÇA
ABERTA. Quando não existe a variável, a sentença é dita SENTENÇA FECHADA, como as
apresentadas nos itens 01, 02, 03 e 06.
Uma sentença fechada que permite um dos julgamentos falso ou verdadeiro é
denominada PROPOSIÇÃO.
Isto é: proposições são sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual
tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.
03 – OS PRINCÍPIOS OU AXIOMAS DA LÓGICA MATEMÁTICA OU FORMAL
A Lógica Formal tem como base dois princípios ou axiomas: (1) Princípio da não contradição e
(2) Princípio do terceiro excluído, que assim são enunciados:
AXIOMA Nº 1 – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO
“Uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, falsa e
verdadeira.”
AXIOMA Nº 2 – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO
“Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa. Não acontecendo
nunca uma terceira opção.”
A seguir estão apresentados alguns exemplos:
As proposições: (1) o número 21 é ímpar; (2) o inteiro 3 é menor que o inteiro 5, são
verdadeiras.
As proposições: (3) 5 está compreendido entre 9 e 15; (4) A Terra ilumina o Sol, são falsas.
De acordo com os princípios acima, uma proposição, admite um e apenas um dos valores
VERDADEIRO (V) ou FALSO (F).
O julgamento F ou V atribuído à proposição é denominado valor lógico da proposição.
Se “p” é uma proposição indicaremos V(p) o valor lógico da proposição “p”. Assim, V(p) = V
se p for verdadeira ou V(p) = F se p for falsa. Considerando as proposições dos exemplos anteriores
tem-se: V(p) = V(q) = V e V(r) = V(s) = F.
4 – PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS
Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta
(também denominada molecular).
As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases
formadas por apenas uma oração.
As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.
Exemplos: (1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria é bonita: (3) r: 3 + 4 > 12.
Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples.
Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição
composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...).
Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples
entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.
Exemplos:
(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é
estudioso e q: Maria é bonita.
2
(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q:
Maria é estudiosa.
(6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x 2 + 1 = 5.
(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a.
5 – OS CONECTIVOS
Para se formar proposições compostas a partir de proposições simples são usadas palavras ou
termos denominados conectivos.
Na Lógica Matemática, os conectivos usados são:
- NEGAÇÃO: indicado por um dos símbolos ~ (til) ou
Se p : A Lua é um satélite da Terra, a negação de p é:
 (cantoneira).
~p ou p que se lê
“A Lua não é um satélite da Terra” ou
“Não é verdade que a Lua é um satélite da Terra”.
Encontra-se também a notação p' para representar a negação da proposição p.
A negação é também classificada, por convenção, como proposição composta.
- CONJUNÇÃO: “e” - simbolizado por .
Sejam as proposições simples p: Chove e q: faz frio.
A proposição composta P(p,q) formada a partir do conectivo
P: p  q que significa “chove e faz frio”.
- DISJUNÇÃO: “ou” - simbolizado por
é
.
Se p: 3 + 4 > 5 e q: 3 – 1 = 2, a composta P(p, q) formada ao usar o conectivo
é
P: p  q, que se lê P: 3 + 4 > 5 ou 3 – 1 = 2.
Na disjunção as duas proposições não são contraditórias.
- DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: “ou” simbolizado por  .
Na disjunção exclusiva, as duas proposições não podem ocorrer ao mesmo tempo.
Tomando por exemplo, as proposições p: Mário é mineiro e q: Mário é baiano, obtém-se a
composta:
P(p, q) = p
 q que se traduz por Mário é mineiro ou Mário é baiano.
Deve-se observar que Mário não pode ser mineiro e baiano ao mesmo tempo, por este motivo usase a disjunção exclusiva  e não a disjunção .
É costume na linguagem usual escrever: "Ou Mário é mineiro ou Mário é baiano".
- CONDICIONAL: se...então... simbolizado por .
A partir das proposições simples p: A e B são dois ângulos opostos pelo vértice e q: A e B são iguais,
obtém-se a composta:
P(p, q) = p  q,
que significa “se A e B são dois ângulos opostos pelo vértice então A e B são iguais”
ao usar a condicional.
- BICONDICIONAL ...se e somente se... simbolizado por .
Sejam p: chove e q: faz frio.
A composta usando a bicondicional é
P(P, q) = p  q,
onde se lê: chove se e somente se faz frio.
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