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AXIOMATIZAÇÃO
Equipe: André Augusto Kaviatkovski, Daniel Elias Ferreira,
Vinicius Zaramella
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Sistema Dedutivo:
•Sistemas Dedutivos são métodos utilizados na lógica e em
outras ciências para se inferir conseqüências lógicas a partir
de um conjunto de fórmulas tomadas a priori.
•Existem várias formas de se realizar inferências
entre esses métodos estão os Sistemas de Deduções
Naturais, Métodos dos Tableaux analíticos e Axiomatizações.
•Quando um Sistema Dedutivo infere uma fórmula A de uma
teoria , escreve-se  Ⱶ A, chamado de seqüente e
constituído do antecedente (ou hipótese)  e do
conseqüente (ou conclusão) A.
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Axiomatização:
• O axioma era um importante elemento do método lógico
dedutivo dos gregos, tal método era utilizado na
apresentação da geometria euclidiana, tratava-se na época
de axiomatizar uma teoria, a teoria geométrica.
•as axiomatizações foram utilizadas em tentativas de prover
um fundamento seguro para a matemática.
•Em lógica, porém, compreende-se axiomatização como uma
forma lógica de inferência.
•uma axiomatização possui dois elementos distintos:
axiomas e regras de inferência.
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Axioma:
•Um axioma é aceito como verdade e serve como ponto
inicial para dedução e inferências de outras verdades
(dependentes de teoria).
•Um axioma não é necessariamente uma verdade autoevidente, mas apenas uma expressão lógica formal usada
em uma dedução, visando obter resultados mais facilmente.
•Axiomatizar um sistema é mostrar que suas inferências
podem ser derivadas a partir de um pequeno e bem-definido
conjunto de sentenças.
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Regras de inferência:
•As regras de inferência possuem como características:
I)Se a Hipótese inicial for verdadeira, então a Conclusão é
verdadeira.
II) As premissas de um sistema de inferência são regras
sem hipóteses.
III) Permitem inferir novas fórmulas a partir de formulas já
inferidas.
•No caso da axiomatização da lógica proposicional clássica
será utilizado o Modus Ponens:
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Modus Ponens:
•A partir de A  B e A, infere-se B.
•O argumento tem duas premissas:
-A condição "se - então", nomeadamente que A implica B.
-A é verdadeiro.
•Destas duas premissas pode ser logicamente concluído que
B tem de ser também verdadeiro.
EXEMPLO:
- Se chover, então fico em casa.
- Choveu.
- Então fico em casa.
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Fonte: WIKIPEDIA. Modus Ponens. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens>. Acesso em: 21 mar. 2009.
Substituição:
•A substituição de um átomo p por uma fórmula B em uma
fórmula A é representada por A[p := B].
•A definição formal de substituição se dá por indução
estrutural sobre a fórmula A, sobre a qual se processa a
substituição, da seguinte maneira:
1. p[p := B] = B
2. q[p := B] = q, para q ≠ p.
3. (A) [p:=B]= (A [p:=B]).
4. (A1  A2) [p := B] = (A1 [p := B])  (A2 [p := B]), para 
 {,,}
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Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 35.
.
Substituição:
Exemplo:
(p  (p  q))[p := (r  s)]
= p[p := (r  s)]  (p  q)[p := (r s)]
= (r  s)  (p[p := (r  s)]  q[p := (r  s)])
= (r  s)  ((r  s)  q)
•Quando uma fórmula B é resultante da substituição de um
ou mais átomos da fórmula A, dizemos que B é uma
instância da fórmula A.
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Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 35.
.
Dedução, teoremas:
•
(1)
Axiomas da lógica proposicional clássica:
p  (q  p);
(2)
(p  (q  r))  ((p  q)  (p  r));
(1)
p  (q  (p  q));
(2)
(p  q ) p ;
(3)
(p  q ) q ;
(1)
p  (p  q);
(2)
q  (p  q);
(3)
(p r)  ((q  r)  ((p  q)  r));
(1)
(p q)  ((p  q)  p);
(2)
 p  p .
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Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 36 .
Dedução, teoremas:
•
Dedução: uma seqüência de fbf A1, A2 … An tal que
cada fbf na seqüência é um axioma ou pode ser obtida
das mesmas por meio das regras de inferência.
•
Teorema: uma fbf A tal que existe uma dedução A1, A2
… An = A . Neste caso escreve-se Ⱶ A .
•
A axiomatização possui a propriedade da substituição
uniforme, isto é, se A é um teorema e se B é uma
instância de A, então B também é um teorema
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Fonte: KAESTNER, Celso A. A. Disponível em: <http://www.dainf.cefetpr.br/~kaestner/Logica/SistemasDedutivos.ppt>. Acesso em: 18 mar. 2009.
Dedução, teoremas:
•
“Pode-se ainda definir o conceito de fórmula dedutível de uma
teoria (conjunto de fbf);
•
Diz-se que A é dedutível a partir de uma teoria  se há
uma dedução, ou seja seqüência de fbf A1, A2 … An = A
tal que cada fbf na seqüência é:
1.
uma fbf da teoria ;
2.
uma instância de um axioma;
3.
pode ser obtida das fórmulas anteriores por meio
das regras de inferência;”
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Fonte: KAESTNER, Celso A. A. Disponível em: <http://www.dainf.cefetpr.br/~kaestner/Logica/SistemasDedutivos.ppt>. Acesso em: 18 mar. 2009.
Exemplo de axiomatização:
•Dedução do teorema I = A  A.
•
(2), onde p := A, q := A  A e r := A. Assim
temos:
1. (A  ((A  A)  A))  ((A  (A  A))  (A  A)).
•
(1), onde p := A, q :=A  A.Obtemos assim:
2. A  ((A  A)  A).
• Aplicando Modus Ponens 1, 2, obtemos a fórmula 3:
3. ((A  (A  A))  (A  A).
• (1) onde p := A e q := A:
4. A  (A  A).
• Aplicando Modus Ponens 3, 4, obtemos a fórmula 5:
5. A  A.
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Fonte: Adaptado de CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação.
São Paulo: Thomson, 2006. p. 38.
Teorema da dedução:
•O teorema da dedução diz que: , A Ⱶ B se e somente se
 Ⱶ A  B.
•É capaz de transformar uma dedução que poderia ser
complexa em uma dedução bastante simples.
•Exemplo:
• B= (A  B)  ((C  A)  (C  B))
• A  B, C  A, C Ⱶ B. Tomamos como Hipótese as
fórmulas:
1–AB
2–CA
3 – C.
•Aplicamos agora o Modus Ponens 2,3 e obtemos a fórmula:
4–A
•Por fim, aplicamos o Modus Ponens 1,4 e obtemos a
fórmula:
5–B
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Referências:
CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO,
Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 33 –
41.
KAESTNER, Celso A. A. Disponível em:
<http://www.dainf.cefetpr.br/~kaestner/Logica/SistemasDedutivos.ppt>.
Acesso em: 18 mar. 2009.
WIKIPEDIA. AXIOMA. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma>.
Acesso em: 13 mar. 2009.
WIKIPEDIA. Modus Ponens. Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens>. Acesso em: 21 mar. 2009.
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