Funções Trigonométricas - Shirai

Funções Trigonométricas
Slides
Estudo da função seno
Estudo da função cosseno
Estudo da função tangente
As funções cossecante, secante e
cotangente
Funções trigonométricas
Funções trigonométricas inversas
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1
Estudo da função seno
x
sen x
0
0
/6
1/ 2
2/2
3/2
1
/4
f(x) = sen x
/3
/2
2/3
3/4
5/6

7/6
5/4
4/3
3/2
5/3
7/4
11/6
2
3/2
2/2
1/ 2
0
1/ 2
 2/2
 3/2
1
 3/2
 2/2
1/ 2
0
2
Estudo da função seno
Observações:
1ª) O domínio de f(x) = sen x é , pois para qualquer valor real de x
existe um e apenas um valor para sen x.
2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [1,1].
3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [1,1] 
imagem não é igual ao contradomínio.
, isto é, sua
4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x
temos o mesmo f(x). Por exemplo,

5
 3 
sen  sen
 sen     ...  1.
2
2
 2 
5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja xD(f) =
temos sen x = sen (x). Por exemplo,
 1
1
 
sen  sen      .
6 2
2
 6
3
Estudo da função seno
Periodicidade:
O período da função seno é de 2
e indicamos assim: p = 2
4
Estudo da função seno
Sinal:
A função é positiva para valores do
1º e 2º quadrantes e negativa para
valores do 3º e 4º quadrantes.
5
Estudo da função cosseno
f(x) = cos x
x
cos x
0
1
/6
3/2
2/2
1/ 2
0
1/ 2
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6

 2/2
 3/2
1
3/2
 3/2
 2/2
1/ 2
0
5/3
1/ 2
7/4
2/2
3/2
0
7/6
5/4
4/3
11/6
2
6
Estudo da função cosseno
Observações:
1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide
transladada /2 unidades para a direita. A maioria dos aspectos
relevantes da função cosseno são os mesmos da função seno.
2ª) O domínio é o mesmo: D =
3ª) A imagem é a mesma: Im = [1,1].
4ª) O período é o mesmo: p = 2.
5ª) A função cosseno não é nem injetiva nem subjetiva.
6ª) A função cosseno é par, pois temos cos x = cos (x).
7
Estudo da função cosseno
Sinal:
A função é positiva para valores do
1º e 4º quadrantes e negativa para
valores do 2º e 3º quadrantes.
8
Estudo da função tangente
x
cos x
0
0
/6
/4
f(x) = tg x
/3
/2
2/3
3/4
5/6

7/6
5/4
4/3
3/2
5/3
7/4
11/6
2
3/3
1
3

 3
1
 3/3
0
3/3
1
3

 3
1
 3/3
0
9
Estudo da função tangente
Observações:
1ª) Domínio: D =
2ª) Imagem: Im =

 x 

|x


 k, k   .
2

.
3ª) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva.
4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x =  tg (x).
5ª) Período: p = .
10
Estudo da função tangente
Sinal:
A função é positiva para valores do
1º e 3º quadrantes e negativa para
valores do 2º e 4º quadrantes.
11
As funções cossecante, secante e cotangente
1
cossec x 
, para sen x  0;
sen x
1
sec x 
, para cos x  0;
cos x
cos x
cotg x 
, para sen x  0;
sen x
1
cotg x 
, para sen x  0 e cos x  0.
tg x
12
Funções trigonométricas
x
sen x
y = 2 + sen x
0
0
20  2

2

1
2 1  3
0
20  2
3
2
2
f ( x)  2  sen x, com x  .
1 2   1  1
0
20  2
13
Funções trigonométricas
f ( x)  cos 2x, com x  .
x
2x
0 0
 
4 2


2
3 3
4 2
 2
y = cos 2x
1
0
1
0
1
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Funções trigonométricas inversas
Para admitir a inversa, a função deve ser bijetora.
Dada a função x = sen y, a função inversa será y = arcsen x.
Dada a função x = cos y, a função inversa será y = arccos x.
Dada a função x = tg y, a função inversa será y = arctg x.


1

Se   x  e x  arcsen , então x  .
2
2
2
6

2
3
Se 0  x   e x  arccos  
,
então
x

.

4
 2 


5
Se   x  e x  arctg  3 , então x  .
2
2
3


15