TEOREMA DE PITÁGORAS - Castelo

TEOREMA DE PITÁGORAS
CONCEITOS
DEMONSTRAÇÃO
APLICAÇÕES
SAIR DO PROGRAMA
GLOSSÁRIO
Adjacente
Agudo
Ca
Altura
Ex
Amplitude
Pi
Ângulo
Se
Área
Base
MENU
GLOSSÁRIO
(continuação)
Cateto
Complementar
Desigualdade triangular
Equação
Equilátero
Equivalente
Escaleno
GLOSSÁRIO (continuação)
Externo
Giro
Hipotenusa
Incógnita
Interno
Isósceles
Obtuso
GLOSSÁRIO (continuação)
Pitágoras
Primeiro grau
Raiz
Razão de semelhança
Recto
Resolver
Segundo grau
GLOSSÁRIO (continuação)
Semelhante
Solução
Suplementar
Teorema
Teorema de Pitágoras
Triângulo
Vértice
Adjacente ( lado ou ângulo )
« situado junto a outro »
Agudo
( ângulo )
Amplitude menor que 90
e
maior que 0 0.
0
Altura
( triângulo )
 Altura é o segmento de recta que une um
vértice de um triângulo ao lado que lhe fica
oposto, na condição a seguir indicada.
A altura e o lado correspondente formam um
ângulo de 90 0.
Assim um triângulo tem três alturas .
Amplitude
( ângulo )
 À medida de um ângulo chamamos amplitude .
 A amplitude pode ser designada em graus,
grados ou radianos.

180
0 (graus) =
200 grados =  radianos
Ângulo
 Porção do plano situada entre duas semi-
rectas com a mesma origem .
Área
 A área do triângulo rectângulo é igual
a metade do produto dos comprimentos
dos catetos.
cateto1 cateto2
Área 
2
Base
 Num triângulo rectângulo um dos catetos
serve de base e o outro cateto serve de
altura, visto eles serem perpendiculares.
Cateto
 Num triângulo rectângulo os lados que
formam o ângulo recto chamam-se catetos.
Complementar
 Dois ângulos dizem-se complementares
quando a soma das suas amplitudes
for de 90 0 .
Desigualdade triangular
 Num triângulo qualquer lado terá um
comprimento, inferior à soma dos
comprimentos dos outros dois mas,
superior à sua diferença .
Equação
 Uma equação é uma expressão proposicional
que tem pelo menos uma letra ( incógnita )
e o sinal de igual ( = ) .
Equilátero
 Um triângulo diz-se equilátero quando tem
todos os lados com o mesmo comprimento.
Equivalente
 Dois polígonos ( triângulos, etc... ) dizem-se
equivalentes quando têm a mesma área.
Escaleno
 Um triângulo chama-se escaleno se tiver os
comprimentos dos lados todos diferentes .
Externo
 Num triângulo o ângulo suplementar do
ângulo interno, no mesmo vértice, diz-se
externo .
Assim a soma do ângulo interno com o
ângulo externo correspondente dá um
ângulo raso ( 180 0).
Giro
 Um ângulo giro é aquele que tem uma
amplitude de 360 0.
Hipotenusa
 Num triângulo rectângulo ( aquele que
tem um ângulo interno de 90 0 ), ao lado
oposto ao ângulo recto chamamos hipotenusa.
Incógnita
 Numa equação ou inequação à entidade
desconhecida chamamos incógnita,
representa-se por uma letra.
Interno
 Ângulo interno de um triângulo é qualquer um
dos três ângulos situados no interior da
superfície formada pelos seus lados .
Isósceles
 Um triângulo diz-se isósceles se tiver dois lados
de comprimentos iguais.
Nota: Por ter dois lados iguais também terá
dois ângulos iguais ( opostos aos lados
que são iguais ) .
Obtuso
Amplitude maior que 90
e
menor que 180 0.
0
Oposto
« em frente ao outro »
Pitágoras
Pitágoras foi um famoso
filósofo da Grécia antiga.
Presume-se que tenha
vivido entre 580 e 504
a.C.
Primeiro grau
 Uma equação diz-se do primeiro grau se
o expoente da incógnita for 1 .
Raiz ( ou Solução )
 Um valor diz-se raiz ou solução de uma
equação se substituído pelo letra e
( cumprindo as operações indicadas )
originar uma proposição de valor lógico
verdadeiro .
Razão de semelhança
 Razão de semelhança de uma
transformação geométrica é o quociente
entre um comprimento de determinado
segmento de recta transformado e o
correspondente comprimento do segmento
de recta original.
Recto

Um ângulo diz-se recto se tiver uma
amplitude de 90 0.
Resolver
 Resolver uma condição ( equação,
inequação, etc. ) é encontrar um valor que
torne a condição numa proposição de valor
lógico verdadeiro .
Esse valor encontrado chama-se solução ou
raiz da condição.
Segundo grau
 Uma equação ( inequação ) diz-se do
segundo grau se o expoente da incógnita
for 2 .
Semelhante
 Duas figuras dizem-se semelhantes
se tiverem ângulos iguais e lados
correspondentes proporcionais .
Solução
 Solução ( ver raiz ou solução )
Suplementar
 Dois ângulos dizem-se suplementares
se a soma das suas amplitudes for de
180 0.
Teorema
 Teorema é uma proposição que exige uma
demonstração . A demonstração é efectuada por
dedução lógica a partir de proposições já
demonstradas ou consideradas verdadeiras
(
Hipóteses ) até se atingir a Tese, que é o, que se
pretende demonstrar.
Teorema de Pitágoras
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos .
c
a
b
c2 = a2 + b2
Triângulo
 Triângulo é um polígono com três lados .
Vértice
 Vértice é o ponto de encontro de dois lados
adjacentes de um polígono ou o ponto de
encontro de três planos concorrentes .
Demonstração ( nós )
52 = 42 + 32
25 = 16 + 9
5
4
3
Demonstração ( áreas )
25
16
4
5
3
9
Teorema de Pitágoras ( enunciado )
a
Num triângulo rectângulo
o quadrado da hipotenusa
é igual
à soma dos quadrados
dos catetos .
c
b
Menu
C2 = b2 + a2
APLICAÇÕES
PROBLEMAS RESOLVIDOS
PROBLEMAS PROPOSTOS
MENU PRINCIPAL
Problemas resolvidos ( I )
Calcular AC .
X2 = AB2 + BC2
x
A
C
B
X2 = 1,82 + 0,62
X2 = 3,24 + 0,36
X2 = 3,6
X = 3,6
X = 1,9 m
Problemas resolvidos ( II )
4
2
(4
2 )2 = X2 + X2
32 = 2X2
X
16 = X2
X
X=4
Problemas resolvidos ( III )
13
X
12
132 = X2 + 122
X= 132 - 122
X=5
Problemas resolvidos ( IV )
4
4
h
4
h =
42 - 22
Nota : Num triângulo equilátero a
altura ( h ) em relação a qualquer
dos lados parte do ponto médio desse
lado para o vértice oposto a ele .
Problemas resolvidos ( V )
B
A
Pretende-se calcular o comprimento da diagonal
principal [AB] de um paralelepípedo de
dimensões 10, 6, 3 em metros .
AB = 102 + 62 + 32
AB = 11,79 m
Problemas Propostos ( 1 )
C
X
6
B
A
8
O valor de X2 é igual a ?
82 + 62
82 - 62
PARABÉNS !
ESTUDASTE A L I Ç Ã O !
E R R A S TE !
TENS QUE TE APLICAR MAIS !
Nota : Num triângulo rectângulo o quadrado da hipotenusa
é igual à soma do quadrado dos catetos .
Problemas Propostos ( 2 )
C
X
3
A
B
4
O valor de X é igual a ?
7
5
PARABÉNS !
ESTUDASTE A L I Ç Ã O !
ERRASTE !
TENS QUE TE APLICAR MAIS !
Nota : Num triângulo rectângulo a hipotenusa é igual à raiz
quadrada da soma dos quadrados dos catetos .
Problemas Propostos ( 3 )
C
X
2
A
2
B
O valor de X é igual a ?
8
4
PARABÉNS !
ESTUDASTE A L I Ç Ã O !
E R R A S TE !
TENS QUE TE APLICAR MAIS !
Nota : Num triângulo rectângulo a hipotenusa é igual à raiz
quadrada da soma dos quadrados dos catetos .
Problemas Propostos ( 4 )
C
8
2 8
A
X
B
O valor de X é igual a ?
16
4
PARABÉNS !
ESTUDASTE A L I Ç Ã O !
E R R A S TE !
TENS QUE TE APLICAR MAIS !
Nota : Num triângulo rectângulo a hipotenusa é igual à raiz
quadrada da soma dos quadrados dos catetos .
Problemas Propostos ( 5 )
C
10
6
A
X
B
O valor de X2 é igual a ?
102
-
62
102 + 62
PARABÉNS !
ESTUDÁS–TE A LIÇÃO!
E R R A S TE !
TENS QUE TE APLICAR MAIS !
Nota : Num triângulo rectângulo o quadrado de um cateto é
igual á diferença entre o quadrado da hipotenusa e o
quadrado do outro cateto .
Problemas Propostos ( 6 )
C
5
X
A
B
4
O valor de X é igual a ?
1
3
PARABÉNS !
ESTUDASTE A L I Ç Ã O !
E R R A STE !
TENS QUE TE APLICAR MAIS !
Nota : Num triângulo rectângulo o quadrado de um cateto é
igual á diferença entre o quadrado da hipotenusa e o
quadrado do outro cateto .
Problemas Propostos ( 7 )
C
X
2 32
A
8
B
O valor de X é igual a ?
64
32
PARABÉNS !
ESTUDASTE A L I Ç Ã O !
E R R A STE !
TENS QUE TE APLICAR MAIS !
Nota : Num triângulo rectângulo um cateto é igual á raiz
quadrada da diferença entre o quadrado da hipotenusa
e o quadrado do outro cateto .
Problemas Propostos ( 8)
10
10
h
O valor de h será igual a ?
10
75
15
PARABÉNS !
ESTUDASTE A L I Ç Ã O !
E R R A STE !
TENS QUE TE APLICAR MAIS !
Nota : Num triângulo rectângulo um cateto é igual á raiz
quadrada da diferença entre o quadrado da hipotenusa
e o quadrado do outro cateto . O cateto da base tem de
medida 5 unidades de comprimento .
Problemas Propostos ( 9 )
B
A
Pretende-se calcular o
comprimento da diagonal
principal [AB] de um
paralelepípedo de dimensões
12, 7, 3 em metros .
AB = ?
AB = 122 + 72 + 32
AB = 122 - 72 - 32
PARABÉNS !
ESTUDASTE A L I Ç Ã O !
E R R A STE !
TENS QUE TE APLICAR MAIS !
Nota: Consulta os exercícios resolvidos VI .
Problemas Propostos ( 10 )
Pretende-se calcular o
comprimento da diagonal
principal [AB] de um cubo de
aresta 7 .
AB = ?
AB =
3×
72
AB =
72 +72 - 72
PARABÉNS !
ESTUDASTE A L I Ç Ã O !
E R R A STE !
TENS QUE TE APLICAR MAIS !
Nota: Consulta os exercícios resolvidos VI .
Problemas Propostos ( 11 )
Um pedreiro deseja verificar se as duas tábuas da caixilharia da porta são
perpendiculares. Ele marca o ponto A, o ponto C a 80 cm do ponto A e o
ponto B a 60 cm do ponto A. Com uma fita métrica ele verifica que do
ponto C ao ponto B dista 100 cm e afirma que as tábuas são
perpendiculares. A sua afirmação é verdadeira ou falsa ?
A
B
verdadeira
C
falsa
PARABÉNS !
ESTUDASTE A L I Ç Ã O !
Nota : 602 + 802 = 1002
E R R A STE !
TENS QUE TE APLICAR MAIS !
Nota : 602 + 802 = 1002
Problemas Propostos ( 12 )
x = 0,80 m e y = 4,96 m
x = 1,60 m e y = 3,36 m
x = 1,60 m e y = 0,80 m
PARABÉNS !
ESTUDASTE A L I Ç Ã O !
MENU
E R R A STE !
TENTA NOVAMENTE !