paralelogramo

Quadriláteros
Disciplina: Geometria
Professor: Mauri Cunha do Nascimento
Cap. 4 - Quadriláteros
4.12 definição. Um quadrilátero é um polígono de
quatro lados.
Uma diagonal é um segmento que une dois vértices não consecutivos.
4.13 Definição. Um paralelogramo é um quadrilátero em que os
lados opostos são paralelos.
4.14 Teorema. Em um paralelogramo valem as seguintes
propriedades:
a) Cada diagonal separa um paralelogramo em dois triângulos
congruentes. Isto é, se ABCD é um paralelogramo, então ABC 
CDA e ABD  CDB.
b) Dois lados opostos quaisquer em um paralelogramo são
congruentes.
c) Dois ângulos opostos quaisquer em um paralelogramo são
congruentes.
d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são
Suplementares.
a) Cada diagonal separa um paralelogramo em dois
triângulos congruentes. Isto é, se ABCD é um
paralelogramo, então ABC  CDA e ABD  CDB
AB//CD, AC transversal ânguloBAC≅ânguloDCA
AD//BC, AC transversal ânguloDAC≅ânguloBCA
Pelo caso ALA, ABC≅ CDA.
Analogamente, ABD≅ CDB.
b) Dois lados opostos quaisquer em um
paralelogramo são congruentes.
Da congruência dada em (a), ABC≅ CDA, temos
AB≅CD e BC≅DA
c) Dois ângulos opostos quaisquer em um
paralelogramo são congruentes.
Da
Dacongruência
congruênciadada
dadaem
em(a),
(a),ABD≅
ABC≅CDB,
CDA,temos
temos
ânguloBAD≅ânguloDCB
ânguloABC≅ânguloCDA
Assim, os lados opostos são congruentes e também
os ângulos opostos são congruentes.
d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um
paralelogramo são suplementares.
• A reta CD é transversal às retas paralelas AD e BC.
• Logo, m(d) =m(e) (são ângulos correspondentes).
• m(c) + m(e) = 180 (par linear).
• Assim, m(c)+m(d)=180, ou seja, os ângulos
dos vértices C e D são suplementares.
• De modo análogo, demonstra-se que os demais pares
de ângulos consecutivos são complementares.
4.15 Corolário. Se r e s são retas paralelas e se P e
Q são dois pontos quaisquer em r, então as
distâncias de P e Q a s são iguais.
As retas PP’ e QQ’ são perpendiculares à reta s. Logo, PP’//QQ’.
Como r//s, então PQ//P’Q’.
Assim, PQQ’P’ é um paralelogramo. Logo, os lados opostos
são congruentes: PP’ = QQ’. Ou seja, D(P,s) = d(Q,s).
4.16 Definição. A distância entre duas retas
paralelas é a distância de qualquer ponto de uma
delas à outra.
4.17 Teorema.
a) Dado um quadrilátero em que ambos os pares de
lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é
um paralelogramo.
b) Se dois lados de um quadrilátero são paralelos e
congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.
c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam,
então o quadrilátero é um paralelogramo.
a) Dado um quadrilátero em que ambos os pares de
lados opostos são congruentes, então o quadrilátero
é um paralelogramo.
Pelo caso LLL, ABD≅CDB.
Logo, os ângulos ABD e CDB (respectivamente, ADB e CBD)
são congruentes.
Assim, os ângulos ABD e CDB (respectivamente, ADB e CBD)
são congruentes, e são alternos internos em relação à
transversal BD. Portanto, AB // CD (respectivamente, AD // BC).
Assim, ABCD é um paralelogramo.
b) Se dois lados de um quadrilátero são paralelos e
congruentes, então o quadrilátero é um
paralelogramo.
Os ângulos DAC e BCA são congruentes (alternos internos:
AC é transversal às paralelas AD e BC).
Pelo caso LAL, BCA ≅  DAC.
Logo, AB ≅CD.
Pelo caso (a), ABCD é um paralelogramo.
c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam,
então o quadrilátero é um paralelogramo.
Os ângulos o.p.v. são congruentes.
Pelo caso LAL APD≅CPB e APB≅CPD.
Logo, AD≅CB e AB≅CD.
Por (a), ABCD é um paralelogramo.
4.18 Teorema. O segmento com extremidades nos
pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo
ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento.
Seja D tal que M-N-D e MN=ND.
Os ângulos ANM e CND são o.p.v.,
Portanto, congruentes
Pelo caso LAL, ANM≅CND.
Logo CD≅AM(≅BM) e também
os ângulos AMN ≅ CDN
Considerando a reta MD transversal às retas AM e CD,
os ângulos alternos internos são congruentes, portanto
as retas CD e AM são paralelas
Assim, no quadrilátero MDCB, os lados BM e CD são paralelos
e congruentes. Portanto, MDCB é um paralelogramo.
4.18 Teorema. O segmento com extremidades nos
pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo
ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento.
Assim, no quadrilátero MDCB, os lados BM e CD são paralelos
e congruentes. Portanto, MDCB é um paralelogramo.
Logo, os lados opostos BC e MD são congruentes:
BC = MD = MN + ND = MN + MN = 2MN.
Ou seja, MN = BC/2.
4.19 Definições.
a) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
b) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
c) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Paralelogramo
Losango
Retângulo
Quadrado
4.20 Teorema.
a) Se um paralelogramo tem um ângulo reto, então tem quatro
ângulos retos, e o paralelogramo é um retângulo.
b) Em um losango, as diagonais são perpendiculares e se
bisseccionam.
c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam
e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango.
a) É consequência do Teorema 4.14.
b) Observe que ABC ≅ ADC
e são isósceles, o mesmo valendo
para ABD ≅ CBD.
A partir disso, verifique que as diagonais
se bisseccionam e são perpendiculares.
c) Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam
e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango.
Pelo caso LAL, AMB≅CMB≅CMD≅AMD.
Logo, AB≅BC≅CD≅AD. (1)
Assim, pelo Teorema 4.17, ABCD é um paralelogramo. (2)
De (1) e (2), ABCD é um losango.
Deixamos para os alunos a justificativa de algumas passagens
a partir de resultados anteriores do livro texto.
Livro texto: Geometria Euclidiana Plana e
Construções Geométricas
Eliane Quelho Frota Rezende e
Maria Lúcia Bontorim de Queiroz
Editora da UNICAMP