escoamento não viscoso

1. INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM
MOVIMENTO
1.1. Introdução
Os movimentos dos fluidos se manifestam de várias maneiras
diferentes; alguns podem ser descritos facilmente ao passo que
outros, para sua descrição, necessitam de equações físicas
complexas.
Nas aplicações de engenharia é importante descrever os
movimentos dos fluidos do modo mais simples que se possa
justificar.
Muitas vezes precisões de ± 10% são aceitáveis, embora em
algumas aplicações, precisões maiores devam ser alcançadas.
As equações gerais do movimento fluido são muito difíceis de se
resolver.
Sendo assim, é da responsabilidade do engenheiro saber quais
passos de simplificação podem ser empregados; o que requer
experiência e mais importante, compreensão da física envolvida.
Algumas hipóteses comuns usadas para simplificar uma dada
situação do escoamento são relacionadas às propriedades do fluido.
a) Inviscito.
u

y
b) Incompressível.
É sabido que a compressibilidade de um gás em movimento
deve ser levada em conta, se as velocidades são muito elevadas
(M > 0,3).
A velocidade do vento, simplesmente, não é alta o suficiente.
1.2. Descrição do Movimento dos Fluidos
Tem como objetivo procurar uma formulação matemática mais
simples.
1.2.1. Descrições lagrangiana e euleriana
Fluido  meio contínuo
Discretização do fluido em partículas isoladas de volume d
(muito pequeno, mas com um grande número de moléculas)
No estudo da mecânica das partículas, no qual a atenção é
focalizada nas partículas individuais, o movimento é observado em
função do tempo.
 
s  s ( x 0 , y0 , z 0 , t )
 posição da partícula
 
V  V(x0 , y0 , z0 , t )  velocidade da partícula
 
a  a ( x 0 , y0 , z 0 , t )
 aceleração da partícula
 
s0  s0 ( x 0 , y0 , z 0 )
 ponto inicial (“rótulo” = nome da partícula)
Esta descrição é conhecida como descrição lagrangiana.
Joseph L. Lagrange (1736-1813)
Na descrição lagrangiana as partículas individuais são
acompanhadas ao longo do escoamento como função do tempo.
Esta tarefa torna-se difícil uma vez que o número de partículas é
muito grande, no escoamento de um fluido.
Uma alternativa é fixar pontos no espaço e observar a evolução das
propriedades do escoamento, nestes pontos, em função do tempo.
 
V  V ( x , y, z , t )
 velocidade do escoamento
   ( x , y, z , t )
 massa específica do fluido
A região do escoamento que está sendo observada é chamada de
“campo de escoamento”.
Esta descrição é conhecida como descrição euleriana.
Leonard Euler (1707 – 1789).
Se:

V
p

 0;
 0;
 0 etc.
t
t
t
O escoamento é dito permanente.
Neste escoamento as propriedades não variam com o tempo em um
mesmo ponto.
Contudo, podem variar de um ponto a outro do escoamento.
1.2.2. Trajetória, linha de emissão e linha de corrente
• Trajetória – caminho percorrido por uma partícula ao longo do
escoamento.
• Linha de emissão – linha instantânea, formada pela união de
partículas que passaram sucessivamente, por um mesmo ponto
no escoamento.
• Linha de corrente – é uma linha no escoamento que possui a
seguinte propriedade: o vetor velocidade de cada partícula que
ocupa um ponto na linha de corrente é tangente à LC.
Partícula de fluido

d r  elemento de LC

V  vetor velocidade
Y

S  vetor posição
LC
X
Z
 
 
V  d r  0  V r sen
• Tubo de corrente – é um tubo (imaginário), cujas paredes são
formadas por linhas de correntes (LC).
1.2.3. Aceleração

V( t )
Y
Partícula no
Instante t.
X
Partícula no
Instante t + t.

V( t  t )
Z
A aceleração é dada pela derivada temporal da velocidade.

 dV
a
dt
ponto de vista lagrangiano (diretamente).
Trajetória
Já no ponto de vista euleriano é necessária uma discussão.
Seja o vetor velocidade:
 

 
V  V( x, y, z, t )  u i  v j  wk
“descrição euleriana”.
Considerando a regra da cadeia para a derivação,




 V
V
V
V
dV 
dx 
dy 
dz 
dt
x
y
z
t
Ou seja:





dV  V dx V dy V dz V
a



dt
x dt y dt z dt t
Mas:
dx
 u,
dt
dy
v
dt
e
dz
 w,
dt
desta forma:





V
V
V V
au
v
w

x
y
z t
Esta é uma equação vetorial e corresponde a três equações
escalares. Ou seja:
ax  u
u
u
u u
v w 
x
y
z t
ay  u
v
v
v v
v
w

x
y
z t
w
w
w w
az  u
v
w

x
y
z t
Por sua vez, considerando o operador vetorial “nabla”
      

i
j k
x
y
z
e o produto escalar com o vetor velocidade
 



V  u  v  w
x
y
z
Usando esta notação vetorial, a expressão para o cálculo da
aceleração passa a ser escrita de uma forma mais compacta.

  
 V
a
 ( V  )V ponto de vista euleriano.
t
  
(V
 aceleração convectiva (alterações associadas à
V ) V
 aceleração local [(x, y, z) = fixo; posição fixa]
mudança de posição)
t
Observe que esta é uma derivada especial, uma vez que é tomada
acompanhando o movimento da partícula ao longo de sua trajetória.
Partícula no
Instante t.
Trajetória
Partícula no
Instante t + t.
Esta derivada recebe um nome especial, ou seja, “derivada
substancial”, sendo denotada pela letra D (maiúsculo).
Assim, a aceleração passa a ser escrita como:

 DV
a
Dt
obtida diretamente no ponto de vista lagrangiano.
A derivada substancial, também conhecida por derivada material, é
calculado no ponto de vista euleriano, pela expressão:
D


 
u
v w 
Dt
x
y
z t
A derivada substancial representa a relação entre a formulação
lagrangiana, na qual a quantidade depende do tempo (t) e a
formulação euleriana, na qual a quantidade depende da posição
(x, y, z,) e do tempo (t).
A derivada substancial pode ser usada com outras variáveis
dependentes, diferentes da velocidade.
Movimento relativo a um referencial não inercial
Considere [X,Y,Z] como sendo as coordenadas de um referencial
inercial e [x,y,z] as coordenadas de um referencial não inercial.
Uma partícula P pode ser observada destes dois referenciais.
Assim:
Y
P

R

V

r

S
X
Z
Referencial
inercial


  
R S r



DR DS Dr


Dt
Dt Dt

DR  
 R  VI
Dt

DS 
S
Dt
Absoluta

Dr D   

( x i  y j  zk )
Dt Dt

Dr Dx

Dt Dt



 Dy
 Dz

Di
Dj
Dk
i
j
kx
y
z

Dt jfixo
Dt k fixo
Dt
Dt
Dt
i fixo




 
 
 
Dr
 u i  v j  w k  x (  i )  y (  j )  z (  k )
Dt
Relativa
  
  
  
Dr
 V    ( x i  y j  zk )  V    r
Dt

   
VI  V  S    r Teorema de composição de velocidades.
Para se chegar ao teorema de composição de acelerações, basta
derivar mais uma vez a Eq. anterior. Assim:



DVI DV DS D  



(  r )
Dt
Dt
Dt Dt

DVI 
 
 VI  R  A  Aceleração da partícula vista do referencial
Dt
inercial (absoluta).


2
DS D S 
 2 S
Dt Dt
 Aceleração absoluta da origem do referencial
não inercial.


DV D  

( u i  v j  wk )
Dt Dt







DV Du
Dv
Dw
Di
Dj
Dk

i
j
ku
v
w



Dt
Dt i fixo
Dt jfixo
Dt kfixo
Dt
Dt
Dt




 
 
 
DV
 a x i  a y j  a z k  u (  i )  v (  j )  w (  k )
Dt

 
   
DV  
 a    ( u i  v j  wk )  a    V
Dt

 DV
a
 Aceleração da partícula vista do referencial não inercial
Dt r
(relativa).





D
D 
Dr
(  r ) 
 r 
Dt
Dt
Dt

D   
 r    r  Aceleração tangencial
Dt
 Dr 
  
 
  

   ( V    r )    V    (  r )
Dt
 
2  V
 Aceleração de Coriolis

 
  (  r )  Aceleração normal
Finalmente, tem-se o teorema de composição de acelerações.


 D2S
  

D  
A  2  2  r    (  V) 
r a
Dt
Dt


  


DS
D   Aceleração aparente
a*  2  2  r    (  V) 
r
Dt
Dt
2
De modo que:
 

A  a *a
1.2.4. Velocidade angular e vorticidade
O movimento geral de uma partícula fluida, pode ser decomposto
em movimentos mais simples. Ou seja:
• Movimento de translação (trivial);
• Movimento de rotação;
• Movimento de deformação angular;
• Movimento de deformação volumétrica.
Considere uma partícula pequena de fluido que ocupa um volume
infinitesimal, cuja face no plano xy é mostrada na Figura 3.6.
y
u
D
v
v dx
x 2
u dy
y 2
v
v
A
u
v dx
x 2
dy
B
C
u dy
y 2
dx
u
x
Figura 3.6 Partícula fluida elementar
A velocidade angular de rotação é definida como sendo a média
entre a velocidade angular de dois seguimentos de reta ortogonais
entre si, passando pela partícula.
O sentido positivo é dado pela regra da mão direita.
D
Ou seja, de x para y.
Para o seguimento AB
v  vA 
v dx
v dx 
v
 AB  B
 v 
 (v 
) dx 
x 2
x 2 
x
dx

Já, para o seguimento CD, fica:
CD  
u D  uC

u dy
u dy 
u
  u 
 (u 
) dy  
y 2
y 2 
y
dy

A
B
C
Logo, o componente da velocidade angular em z, será:
z 
1  v u 
  
2  x y 
Com procedimento análogo, chega-se aos componentes em x e y.
y
x 
1  w v 
 

2  y z 
1  u w 
y   

2  z x 
x
z
Sendo o vetor velocidade angular escrito como:




   x i   y j  z k
Por sua vez, a vorticidade é definida como sendo duas vezes a
velocidade angular, de modo que:
 w v 
x  
 ;

y
z 

 u w 
y   


z

x


Escoamento irrotacional
=>
e
 v u 
z    
 x y 
 
   0
Deformação angular:
A deformação angular é a taxa de variação do ângulo que o
segmento AB faz com o segmento CD.
Seu componente no plano xy é dada por:
xy 
1
AB  CD  
2
1  v u 
  
2  x y 
Os componentes para os planos xz e yz, ficam:
xz 
1  w u 
 

2  x z 
e
1  w v 
 yz  
 
2  y z 
Deformação Volumétrica:
A partícula fluida também pode ser esticada ou comprimida.
Se o ponto B está se movendo mais rapidamente que o A, a
partícula está esticando na direção x. Então:
 xx 
uB  uA 
u
u dx
u dx 
 u 
 (u 
) dx 
x 2
x 2 
dx
x

Nas direções y e z, vem:
 yy 
v
y
e
zz 
w
z
O tensor deformação pode ser escrito como:
 xx

   yx
 xy
 yy
 xz
 yz
 zx
 zy
 zz
Os termos da diagonal principal correspondem à deformação
volumétrica, ao passo que os termos fora desta diagonal
correspondem aos termos de deformação angular.
Para meios não polares, prova-se que o tensor deformação é
simétrico. Assim,
 xy   yx ;
 xz  zx
e
 yz  zy
Exemplo 3.1



O campo de velocidade é dado por V  2x i  yt j m/s, em que x e y
estão em metros e t está em segundos. Encontre a equação da
linha de corrente, passando por (2, -1) e o vetor unitário normal à
linha de corrente em (2, -1) em t = 4 s.
Solução:
O vetor velocidade é tangente à linha de corrente, de modo que:
 
V  dr  0
No instante t = 4 s, vem:





(2x i  4 y j)  (dx i  dy j)  (2x dy  4 y dx )k  0
OBS.
  
i jk
y
 

j  i  k

j

k

i
x
   
i  i  j j  0
z
Como o vetor unitário não é nulo, resulta:
2x dy  4 y dx

Integrando, vem:
ln y  2 ln x  ln C
dy
dx
 2
y
x
Esta equação pode ser reescrita como:
ln y  ln x 2  ln C  ln( x 2C)
Portanto:
x2y  C
=> Equação das linhas de corrente.
No ponto (2, -1), C = -4, resultando para a Eq. da LC que passa por
esse ponto,
x 2 y  4
O vetor unitário normal a LC é perpendicular ao vetor velocidade
neste ponto (2, -1). Assim, no instante t = 4 s, vem:





V  2x i  y t j  4 i  4 j
e:
 


 
V  n  (4 i  4 j)  ( n x i  n y j)  0
De modo que:
4n x  4n y  0

n x  n y

n  vetor unitário, então:
n2x  n2y  1  2n2x

1
2
nx 

2
2
Portanto, o vetor unitário normal à LC no ponto (2, -1) e t = 4 s, é:

n
2  
( i  j)
2
Exemplo 3.2
Um
 de velocidade num escoamento particular é dado por
 campo
2
V  20y i  20xy j m/s. Calcule a aceleração, a velocidade angular, o
vetor vorticidade e quaisquer componentes da taxa de deformação
não nulas no ponto (1, -1, 2).
Solução:



2
V  20y i  20xy j
u  20 y 2

 v  20xy
w  0

O tempo não aparece na equação, logo o escoamento é
permanente.
A aceleração pode ser calculada a partir da regra da cadeia:
=0



= 0

V
V
V V
au
v
w

x
y
z t




2
a  20y ( 20y j)  20xy (40y i  20x j)



2
3
2
a  800xy i  400( y  x y) j
Portanto, a aceleração no ponto (1, -1, 2) é:


a  800 i m2 /s
A velocidade angular no ponto (1, -1, 2) é calculada:
=0
x 
=0
1  w v 
   0

2  y z 
=0
u  20 y 2
v  20xy
w0
=0
y 
1  u w 
 
0
2  z x 
z 
1  v u  1
    ( 20y  40y)  30 rad /s.
2  x y  2
(y = -1).
O vetor velocidade angular no ponto (1, -1, 2) é então:


  30k rad /s
A vorticidade, como é o dobro da velocidade angular, é dada por:


  60k rad /s
Os componentes não nulos da taxa de deformação, são:
1  v u  1
xy      ( 20y  40y)  10 rad /s
2  x y  2
v
 yy 
 20x  20 rad /s.
y
1.3. Classificação de Escoamentos
1.3.1. Escoamentos uni, bi e tridimensionais
Na descrição euleriana o vetor velocidade, em geral, depende das
três coordenadas espaciais e do tempo, ou seja:
 
V  V ( x , y, z , t )
Observa-se que a velocidade depende das três coordenadas
espaciais, portanto, trata-se de um escoamento tridimensional.
Como depende do tempo é ainda, variado ou não permanente.
 
V  V( x, y, z )
Neste caso o escoamento é tridimensional e permanente.
A Fig. 3.7 mostra um exemplo de escoamento tridimensional.
Figura 3.7 Escoamento com ponto de estagnação
 
V  V( x, y, t ) 
 
 escoamento s bidimensionais
V  V( x, y) 
Por sua vez, escoamento unidimensional é aquele no qual o vetor
velocidade depende de apenas uma coordenada espacial.
Tais escoamentos ocorrem em tubulações longas e retas, ou entre
placas paralelas, como mostrado na Fig. 3.8.
a) em uma tubulação
b) entre placas paralelas
Figura 3.8 Escoamento unidimensional
u = u(r)  escoamento em tubos
u = u(y)  escoamento entre placas paralelas.
Escoamento uniforme
Quando a velocidade e outras propriedades do fluido são
constantes em uma mesma seção, como ilustra a Fig. 3.9.
Figura 3.9 Perfis de velocidades uniformes
Esta simplificação é feita quando a velocidade é essencialmente
constante em uma seção, fato que ocorre com muita freqüência na
engenharia.
1.3.2. Escoamentos viscosos e não viscosos
Os escoamento são classificados em:
Viscosos e
Não viscosos.
Em um escoamento viscoso os efeitos da viscosidade são
importantes e não podem ser desprezados.
Já em um escoamento não viscoso os efeitos da viscosidade
podem ser desprezados.
Com base em experiências, foi descoberto que a classe primária de
escoamentos que podem ser modelados como escoamentos não
viscosos é a de escoamentos externos, ou seja, escoamentos que
ocorrem fora de um corpo.
A Fig. 3.10 ilustra um escoamento externo.
Figura 3.10 Escoamento ao redor de um aerofólio
Camada Limite (CL)
Efeitos viscosos desprezíveis
V = Cte.
V
Camada limite
y
u = u(y)

x
Efeitos viscosos preponderantes
(escoamento viscoso)
 = espessura da CL (99% da variação de u).
Lei da viscosidade de Newton
du

dy
para
du
 pequeno
dy
  0.
1.3.3. Escoamentos laminares e turbulentos
laminar e
Escoamento viscoso
turbulento.
microscópica e
Agitação  mistura 
macroscópica.
Microscópica  nível de moléculas.
Macroscópica  nível de partículas.
Escoamento laminar: a agitação em nível macroscópico não se
faz presente.
As tensões de cisalhamento viscoso sempre influem em um
escoamento laminar.
O escoamento laminar pode ser dependente do tempo, como o que
ocorre na saída de uma bomba a pistão Fig. 3.11a, ou pode ser
constante Fig. 3.11b.
a) Escoamento não permanente
b) Escoamento permanente
Figura 3.11 Velocidade em função do tempo num escoamento laminar
Escoamento turbulento: ocorre grande troca de partículas entre
camadas adjacentes.
No escoamento turbulento quantidades como velocidade e pressão,
variam aleatoriamente com o tempo.
As quantidades físicas são, em muitas das vezes, descritas por
médias estatísticas, Fig. 3.12.
a) Escoamento não permanente
b) Escoamento permanente
Figura 3.12 Velocidade em função do tempo num escoamento turbulento
O regime de escoamento é identificado em função de um parâmetro
adimensional conhecido por número de Reynolds.
Osborne Reynolds (1842 – 1912).
Re 
V L V L



V – velocidade característica (m/s).
L – comprimento característico (m).
 – massa específica (kg/m3).
 – viscosidade dinâmica [kg/(ms)].
 – viscosidade cinemática (m2/s).
Número de Reynolds crítico  Recrít
Re < Recrít  escoamento laminar.
Escoamento em tubos:
V = velocidade média
L = D = diâmetro do tubo
Recrít  2000.
Placas planas paralelas:
L = h = distância entre as placas
Recrít  1500.
Escoamento na camada limite (Fig. 3.16).
T
Figura 3.16 Escoamento na CL sobre uma placa plana
L = x = distância sobre a placa (medida a partir do bordo de
ataque)
Re = Rex
Placa plana:
Recrít  5105 (rugosa) a 106 (lisa).
Exemplo 3.3
A tubulação de 2 cm de diâmetro da Fig. E3.3 é usada para
transportar água a 20º C. Qual a máxima velocidade média que
pode ocorrer na tubulação, garantindo um escoamento laminar?
Figura E3.3
Solução:
Água a 20º C, logo  = 10-6 m2/s.
Escoamento em tubos  Recrít  2000.
VD
Re 

Re   2000  106
 V

 0,100 m /s.
D
0,02
Velocidades tão pequenas, raramente são encontradas em
situações reais; portanto, o escoamento laminar é raramente de
interesse na engenharia, quando do escoamento de fluidos de baixa
viscosidade.
1.3.4. Escoamentos incompressíveis e compressíveis
Um dado escoamento é dito incompressível se, ao se acompanhar o
movimento de uma partícula ao longo de sua trajetória, o seu volume
não mudar com o tempo (ponto de vista lagrangiano).
D
0
Dt

dm
d
D
0
Dt
Como msis = Cte. e,
então:
 escoamento incompressível.
Portanto, em um escoamento incompressível a massa específica se
conserva ao longo da trajetória, escoamento conservativo.
O que não obriga que a massa específica seja constante em todo o
campo (constancia da massa específica).
Exemplo: escoamento estratificado.
Escoamentos incompressíveis:
• líquidos e
• gases a baixa velocidade.
Número de Mach. - Ernest Mach (1838 – 1916).
M
V
c
 número de Mach
c  velocidade de propagação do som (perturbação) no meio fluido
Para gases (perfeitos).
c  kRT
k
cp
cv
 constante adiabática
R  constante do gás
T  temperatura termodinâmica
Se M < 0,30  escoamento incompressível.
Escoamentos incompressíveis com gás:
• ventilação;
• ar condicionado;
• escoamentos atmosféricos; etc.
1.4. Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli decorre da aplicação da 2ª Lei de Newton a
uma partícula fluida.


dF  dm a
Lembrar que esta aceleração é uma aceleração inercial.
1a hipótese simplificadora:
Efeitos viscosos desprezíveis  escoamento inviscito
(forças de cisalhamento nulas; sem atrito viscoso).
2a hipótese simplificadora:
Escoamento ao longo de uma mesma LC.
Considere uma partícula infinitesimal cilíndrica, como mostra a
Fig. 3.17.
Figura 3.17 Partícula movendo-se ao longo de uma LC
Considerando a Eq. do movimento de Newton na direção da LC,
p dA  ( p 

p
ds)dA   g dAds cos    dA ds a s
s
p
  g cos    a s
s
DV
V V
as 
V

Dt s
s t
ou:
com:
aceleração da partícula na direção da LC.
3a hipótese simplificadora:
Escoamento permanente. Neste caso
V
0
t
e a aceleração resulta:
V 1 V 2
as  V

s 2 s
dh 
Observando a figura,

h
dh  ds cos  
ds
s

h
cos  
s
h
ds
s
vem:
Na Eq. de Newton,
p
h
1 V 2

g

s
s
2 s
4a hipótese simplificadora:
Escoamento incompressível   = Cte.
E a Eq. anterior reduz a:
 p V2
( 
 g h)  0
s  2
Portanto, pode-se escrever:
p V2

 g h  Cte.
 2
 Eq. de Bernoulli.
Daniel Bernoulli (1700 – 1782).
A constante de integração (conhecida por constante de Bernoulli),
varia, em geral, de uma a outra LC; permanecendo constante
quando o escoamento se dá ao longo de uma mesma LC.
Dividindo por “g” e aplicando entre os pontos 1 e 2, vem:
p1 V12
p 2 V22

 h1  
 h 2  Cte.  Eq. de Bernoulli.
 2g
 2g
p

 carga de pressão (m)
V 2  carga de velocidade ou dinâmica (m)
2g
h
 carga de posição (m)
p
h

 carga piezométrica (m)
p V2

 h  carga total (m)
 2g
Em termos de pressão,
V12
V22
p1  
  g h1  p 2  
  g h 2  Cte.
2
2
p
 pressão estática (N/m2)
V2
 pressão dinâmica (N/m2)

2
 g h  pressão de posição (N/m2)
 Eq. de Bernoulli.
V2
 pressão de estagnação (N/m2)
p
2
A Fig. 3.18 mostra alguns medidores de pressão.
(pressão de estagnação)
Figura 3.18 Medidores de pressão:
a) Tubo piezométrico (estático);
b) Tubo de pitot;
c) Tubo pitot estático.
A velocidade no ponto 1 pode ser determinada com a Eq. de
Bernoulli. Ou seja:
=0
2
1
2
2
p1 V
p2 V

 h1  
 h2
 2g
 2g
V1 
2
(p 2  p1 )

Os efeitos viscosos são geralmente muito pequenos e necessitam
de grandes distâncias para que se tornem significativos; portanto,
em situações como as mostradas na Fig. 3.19, os efeitos viscosos
podem ser desprezados.
Figura 3.19 Escoamentos interno não viscosos:
a) Escoamento em uma contração;
b) Escoamento a partir de um tanque pressurizado.
Não é sempre que escoamentos não viscosos apresentam uma boa
aproximação ao escoamento real.
Considere o escoamento não viscoso ao redor da esfera mostrada
na Fig. 3.20.
Figura 3.19 Escoamento ao redor de uma esfera:
a) Escoamento não viscoso;
b) Escoamento real.
Exemplo 3.4
Em uma tempestade, a velocidade do vento atinge 100 km/h.
Calcule a força agindo na janela de 0,90 m x 1,8 m de frente para a
tormenta, mostrada na Fig. E3.4. A janela está num edifício alto, tal
que a velocidade do vento não é reduzida pelos efeitos do solo.
Use  = 1,20 kg/m3.
V = 100 km/h
Figura E3.4
Dados:
V
b
h

100,0
0,900
1,800
1,200
km/h
m
m
kg/m3
27,78
m/s
Solução:
A janela de frente para a tormenta está em uma região de
estagnação, onde a velocidade do vento é reduzida a zero.
Trabalhando com pressões efetivas, a pressão no vento, em um
ponto à montante é zero (pressão atmosférica).
A Eq. de Bernoulli pode ser aplicada.
=0
2
1
=0
2
2
p1 V
p2 V

 z1  
 z2
 2g
 2g

V12 1,20  27,782
p2 

 463,0 N/ m 2 .
2
2
Conhecida a pressão na janela (estagnação), a força pode ser
calculada.
F  p  A  463,0  0,90 1,80  750,0 N.
Exemplo 3.5
A carga de pressão estática em uma tubulação de ar (Fig. E3.5) é
medida com um tubo piezométrico e acusa 16 mm coluna de água.
Um tubo de pitot na mesma localização indica 24 mm coluna de
água. Calcule a velocidade do ar a 20º C. Calcule também o número
de Mach e comente quanto a compressibilidade do escoamento.
Figura E3.5
Dados:
h1
h2
T
água
g
16,00
24,00
20°
1000
9,81
C
kg/m3
m/s2
mm ca mm ca
Solução:
De inicio, a partir da relação pressão altura, as pressões nos pontos
1 e 2, devem ser determinadas.
p1   h1  9,81103  0,016  157,0 Pa
p 2   h 2  9,81103  0,024  235,4 Pa
Considerando a Eq. de estado para um gás perfeito, a massa
específica do ar é calculada.
Lembrar que em sendo esta uma Eq. termodinâmica, a pressão e
temperatura devem estar em escalas absolutas.
Com pb = 101000 Pa (pressão barométrica – escala absoluta)
ar 
p
157,0  101000

 1,203
R T 287(20  273,0)
kg /m 3
Aplicando a Eq. de Bernoulli e tendo em conta que o ponto 2 é um
ponto de estagnação, vem:
2
1
2=
2
0
p1 V
p V

 z1  2 
 z2
 2g
 2g
2
2
V1 
(p 2  p1 ) 
(235,4  157,0)  11,42
ar
1,203
m/s
Com o objetivo de calcular o número de Mach, a velocidade de
propagação do som é calculada.
A relação de calores específicos para o ar é 1,40.
Já a constante do ar é 287,0 m2/s2/K.
c  k R T  1,40  287,0  (20  273)  343,1 m/s.
O número de Mach é calculado.
V 11,42
M 
 0,03329
c 343,1
M << 0,3. Logo o escoamento é incompressível.
Exemplo 3.7
Explique por que uma rebarba disposta junto ao orifício de entrada
do tubo piezométrico da Fig. 3.18a e situada à montante do
escoamento, resultará em uma leitura baixa da pressão.
(Pressão de estagnação)
Figura 3.18 Medidores de pressão:
a) Tubo piezométrico;
b) Tubo de pitot;
c) Tubo pitot estático.
Solução:
Uma rebarba no lado anterior da abertura do tubo piezométrico,
resultará em um escoamento na vizinhança da abertura, semelhante
àquele mostrado na Fig. E3.7.
Figura E3.7
Esta rebarba irá causar um descolamento na entrada do tubo
piezométrico.
Na face de montante da rebarba, haverá um ponto de estagnação,
com o conseqüente aumento de pressão.
Já, na face de jusante, haverá uma região de escoamento
descolado, causando uma diminuição da pressão na entrada do
orifício.
Assim, à entrada do orifício se terá uma pressão menor que a
pressão reinante na tubulação, fazendo com que a pressão lida
fique mais baixa.