Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240 Probabilidade e Processos Estocásticos EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 1. Espaço de Probabilidades: É uma Tripla , F , P 2. Espaço Amostral: É o conjunto dos resultados possíveis 3. Classe de Eventos: É a classe F de sub-conjuntos de que satisfaz: i) A F A C F ii) A i F ; i 1,2,.... iii) Ai F ; i 1,2,.... Ai F i 1 Ai F i 1 4. Medida de Probabilidade: É uma função P: F 0,1 tal que, para A F i) PA 0 ii) P 1 iii) A1 A 2 PA1 A 2 PA1 PA 2 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 5. Probabilidade Condicional: PA M PA M PM A A M M Exemplo: 1,2,3,4,5,6 1 P i , i 1,...,6 6 M 2,4,6 P 5 M 0 M 1,3,5 P 5 M M 1,3,5 1 3 2 P 3 M 3 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 5. Probabilidade Condicional: PA M PA M PM A A M M 6. Fórmula de Bayes: PA M PM PA M PM A PA PA M PA M PM A PA PM EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 7. Independência: A, B PA B PA PB A e B independentes 8. Variáveis Aleatórias: x : R R 0 x EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Exemplo: 1,2,3,4,5,6 35 par x 20 ímpar x $ -20 0 +35 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 9. Função Distribuição de Probabilidade: Fx P x Fx P x R 0 x EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 9. Função Distribuição de Probabilidade: Fx P x 10. Propriedades da Função Distribuição: a ) F 1 e F 0 b ) 1 2 F1 F 2 c ) F 0 F 0 d) F F e ) P 1 x 2 F 2 F1 11. Função Densidade de Probabilidade: fx dFx d EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 12. Distribuição Condicional de Probabilidade: Fx M P x M Exemplo: M x a P x M PM Fx | x a Px x a Px a > a x x a x a F x a 1 x a x x a x F x a x Fx Fx a Fx Fx | x a 1 Fx a EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 13. Funções de uma variável aleatória: y gx() g x R x R gx() g x y Fy P | y() EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 14. Média: mx E[x] xPd fx d d fx 0 x EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 14. Média: mx E[x] xPd fx d Pd fx x. f R 0 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 14. Média: mx E[x] xPd fx d Pd x. fx f R 0 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 15. Estatística conjunta de duas variáveis aleatórias: y y Fx , y , P | x , y x x 16. Propriedades de Fx,y: a ) Fx , y , 0 b) Fx , y , 0 c ) Fx , y , 1 d) P1 x() 2 , y() Fxy 2 , Fxy 1 , EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 17. Distribuição Marginal: Fx Fxy , Fy Fxy , 18. Independência de Variáveis Aleatórias: As variáveis aleatórias x e y são ditas independentes se, para A,B | x() A e | y() B são independentes, ou seja, P{x() A} {y() B} Px() A Py() B A x() B y() Fxy , Fx Fy fxy , fx fy EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 19. Função de duas variáveis aleatórias: z = g(x,y) z y g(.,.) y g(x,y) x x EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 19. Função de duas variáveis aleatórias: z = g(x,y) z y g(.,.) y g(x,y) Dz x x Fz P | z() P | g( x(), y()) fx, y , d d Dz EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Conexão Série S1 P min T1, T2 t S2 (, , P) P T1 t T2 t P T1 t P T2 t P T1 t T2 t t2 FT1(t) FT2 (t) FT1(t)FT2 (t) T2() FT i( t ) 1 e t t t1 T1() t FT ( t ) 1 et 1 et 1 et 1 et 1 e2t d dt Na área sombreada, o sistema conectado em série ficou inoperante antes do instante t f T ( t ) 2e2t ET 1 2 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Conexão Paralela S1 P max T1, T2 t S2 (, , P) P T1 t T2 t P T1 t P T2 t t2 FT1(t)FT2 (t) T2() FT i( t ) 1 e t t t1 T1() t FT ( t ) 1 e t 1 e t 1 e t d dt Na área sombreada, o sistema conectado em paralelo ficou inoperante antes do instante t f T ( t ) 2 e t 2 0.03 0.025 e 2 t 0.02 0.015 0.01 0.005 0 ET 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 3 2 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Conexão Stand By FT1(t ) P T1 T2 t S1 f T1, T 2 ( t1, t 2 ) f T1 ( t1 )f T1 ( t1 ) S2 (, , P) FT ( t ) t2 t t 2 t t 2 f t1, t 2 dt1 dt 2 f T1 t1 dt1 f T 2 t 2 dt 2 T 1 , T 2 FT1(t t 2 ) fT2 (t 2 )dt 2 T2() t d dt t1 T1() t fT (t ) d FT1 ( t t 2 ) f T 2 ( t 2 )dt 2 dt d dt1 FT1(t t 2 ) dt1 fT 2 (t 2 )dt 2 x z y dt fT1(t t 2 )fT2 (t 2 )dt 2 fT1 * fT2 (t) Na área sombreada, o sistema conectado em configuração stand by ficou inoperante antes do instante t f T i ( t ) e t z 0 e ( t t 2 ) et 2 dt 2 2 te t ET 2 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 20. Covariança: xy E ( x mx )( y m y ) ( mx )( m y )fx , y , dd 21. Distribuição Normal: x ~ N(m,Q), x Rn fx 1 T exp ( m ) Q ( m ) n 2 det Q 1 / 2 2 1 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 22. Processos Estocásticos: Coleção de variáveis aleatórias indexadas por parâmetro t Z ou R Exemplo de Processo Estocástico 2.5 2 1.5 1 x 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0 20 40 60 80 100 tempo 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 23. Caracterização de Processos Estocásticos: x t Para cada t fixo, x t é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de t fx t , t 1 , t 2 , t 3 fx t , x t , x t , , 1 2 3 t 1 , t 2 fx t 1 , x t2 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Caracterização de Processos Estocásticos: Para cada t fixo, x t é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de t fx t , t 1 , t 2 , t 3 fx t , x t , x t , , 1 2 3 t 1 , t 2 fx t 1 , x t2 x t5 x t1 x t3 x t4 x t2 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 23. Caracterização de Processos Estocásticos: x t Para cada t fixo, x t é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de t fx t , t 1 , t 2 , t 3 fx t , x t , x t , , 1 2 3 t 1 , t 2 fx t 1 , x t2 24. Processos Estacionários (no Sentido Estrito) Um processo xt(.) é dito ser estacionário se, n , t , t 1 , t 2 ,, t n fx t 1 ,, x tn 1 ,, n fx t1 t ,, x tn t 1 ,, n EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Exemplo: Processo Não-Estacionário 8 6 4 x 2 0 -2 -4 -6 -8 0 20 40 t 60 80 100 tempo 120 140 160 180 200 t EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Exemplo: Processo Não-Estacionário 10 8 6 x 4 2 0 -2 -4 0 20 40 60 t 80 100 tempo 120 140 160 180 200 t EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 25. Processos Estacionários no Sentido Amplo Um processo xt(.) é dito ser estacionário no sentido amplo se, fx t fx t t fx t 1 , x t2 , fx t1 t , x t 2 t , Estacionário no Sentido Amplo Estacionário no Sentido Estrito EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 26. Função de Auto-Correlação R xx t 1 , t 2 E x t 1 x t 2 No caso de processo estacionário no sentido amplo: R xx t 1 , t 2 R x t 2 t 1 R x t EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Função de Auto-correlação e Densidade Espectral de Potência 5 0 -5 0 1 1 0 0 -1 -1 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 1 1 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.5 0 -0.5 0 10 20 30 40 50 60 2 -1 0 10 20 30 40 50 60 40 -1 0 10 20 30 40 50 60 0 20 40 60 80 100 120 60 1.5 40 20 1 0.5 20 0 20 40 60 80 100 120 140 0 0 20 40 60 80 100 120 0 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 26. Função de Auto-Correlação R xx t 1 , t 2 E x t 1 x t 2 No caso de processo estacionário no sentido amplo: R xx t 1 , t 2 R x t 2 t 1 R x t 27. Ruído Branco t 1 t 2 x t 1 independente de x t 2 28. Ruído Gaussiano x t 1 e x t 2 conjuntamente gaussianas EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 26. Ruído Branco Gaussiano Se x e y são variáveis aleatórias conjuntamente normais de média 0, Exy 0 x independente de y Portanto, no caso do Ruído Branco Gaussiano Padrão R x t t Observação: independência não-correlação não-correlação independência EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Exemplo: Ruído em Sistemas Lineares uk yk hk k yk hk iui i0 Ruy ( j, k ) E [u j yk ] k E u j hk iui i0 k hk i E [ u j ui ] i0 k hk i Ruu ( j, i) i0 Ruu ( j, i) ji k Ruy ( j, k ) hk i ji hk j i0 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos uk yk hk qi * E (.) hi EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Resposta Impulso 350 G(s) 300 250 200 0 .4 150 h(k) 4 s 2 1 .2 s 4 n 2 G(z) 100 0.073 z 0.0674 z2 1.646 z 0.786 50 0 -50 -100 -150 0 5 10 15 k 20 25 30 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Exemplos de Processos Estocásticos EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Ruído Branco Gaussiano 15 10 5 0 -5 -10 -15 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Ruído Branco Gaussiano Nova Variança 15 10 5 0 -5 -10 -15 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Outlier 15 ? 10 ? 5 0 ? -5 -10 -15 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Novelty 15 ? 10 5 0 ? -5 -10 -15 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Alteração Brusca de Tendência 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos 15 10 ? 5 0 -5 -10 -15 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Sinal dependente de variável manipulada... 10 5 y(t) 0 -5 -10 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 y(t) u(t) S 1 0.5 u(t) 0 -0.5 -1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Ausência de Resposta pode ser Falha ... 10 5 y(t) 0 -5 -10 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 y(t) u(t) S 1 0.5 u(t) 0 -0.5 -1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Saturação 10 5 0 -5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Modelo AR: y(k)=0.8*y(k-1) + ruído Nova Variança do Ruído 6 4 2 0 -2 -4 -6 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Qual a distribuição do ruído? 6 4 2 N(0,2) 0 -2 -4 -6 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 6 4 2 U(-2,2) 0 -2 -4 -6 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Ruído aumentando com o tempo... 50 40 30 20 10 0 -10 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Falhas Intermitentes ... 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 EE-240/2009 Probabilidades e Processos Estocásticos Muito Obrigado! 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