Numeros Racionais - WordPress.saturniz

Números racionais
6
11
12
5
5
1 1

2 3
5
2
7
2,34
4 1

3 7
2
3
5
NÚMEROS FRACCIONÁRIOS
A Sara quis fazer um painel que representasse as quatro
estações do ano.
Começou por dividi-lo em
duas partes geometricamente
iguais.
1
2
1
2
Cada uma destas partes do painel é uma metade do
painel.
1
E representa-se por:
2
A seguir, a Sara dividiu, por sua vez, cada uma das metades do
painel também em duas partes geometricamente iguais.
Obteve o painel dividido em quatro partes geometricamente
iguais.
Cada uma destas partes é a
quarta parte do painel.
Ou …
Cada uma destas partes é um
quarto do painel.
E representa-se por
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
.
Os números representados
1
1
por
e
são
2
4
números
fraccionários e a esta representação dá-se o nome de …
FRACÇÃO
A parte do painel que representa o
Inverno e o Verão corresponde a metade
do painel e é, por isso, representada
por:
1
1:2
ou
2
1
É o quociente exacto da divisão de 1 por 2.
2
Como,
1 : 2 = 0,5
1
2
logo …
= 0,5
0,5 é, também, o quociente exacto da divisão de 1 por 2.
Assim, o número fraccionário um meio pode representarse por:
1
2
(fracção)
0,5
(numeral decimal)
ou
Pensemos no número fraccionário um quarto.
1
4
=1:4
1 : 4 = 0,25
Logo,
1
4
1
4
1
4
e
1
4
= 0,25
1
4
Portanto, este número, um quarto, pode representar-se
por:
1
(fracção)
4
0,25
ou
(numeral decimal)
1
2
É um número fraccionário
1
2
A esta representação dá-se o nome de fracção.
1
2
Traço de fracção
Numerador
Termos da fracção
Denominador
1
2
Numerador
Termos da fracção
Denominador
1 é o numerador, representa o
número de partes que se consideram.
2 é o denominador, representa o
número de partes geometricamente
iguais em que se considera dividida a
unidade.
1
2
Leitura de fracções
1 Lê-se um meio
2
1
Lê-se um terço
3
3 Lê-se três quartos
4
12 Lê-se doze quintos
5
5 Lê-se cinco sextos
6
2
7
7
8
21
9
3
10
4
11
Lê-se dois sétimos
Lê-se sete oitavos
Lê-se vinte e um nonos
Lê-se três décimas
Lê-se quatro onze avos
Observa a figura que vai ser dividida em três partes
geometricamente iguais.
1
3
A parte pintada de vermelho corresponde a …
1
3
1
=1:3
3
1 : 3 = 0, 3333…
O quociente que vai aparecendo em cada momento
0,3 ; 0,33 ; 0, 333 ; 0,3333 e assim sucessivamente
É uma aproximação, por defeito, do quociente da
divisão de 1 por 3.
Como 0, 3333… não é um quociente exacto, não
podemos representar o número um terço por um
numeral decimal.
Por isso, representamo-lo por:
1
3
Estes novos números, os NÚMEROS FRACCIONÁRIOS,
vieram tornar sempre possível a operação divisão.
1
3
1
3
Representa um número menor, igual ou maior do
que a unidade (1)?
<1
Porque o numerador é menor do que o
denominador.
A esta fracção dá-se o nome de fracção própria.
Fracções que representam números inteiros
Observa os três rectângulos geometricamente
iguais, divididos em partes geometricamente
iguais.
Que fracção representa a parte pintada de
amarelo?
2
2
2
= 1
2
4
4
4
=1
4
8
8
8
=1
8
Cada uma das fracções:
2
2
4
4
8
8
Representam a unidade (1).
2:2=1
4:4=1
8:8=1
O numerador e o denominador de cada uma delas
são representados pelo mesmo número.
Observa a figura.
Que fracção representa a parte da
figura pintada a amarelo?
7
3
7
3
7
3
Representa um número menor, igual ou maior do
que a unidade (1)?
>1
Porque o numerador é maior do que o
denominador.
A esta fracção dá-se o nome de fracção imprópria.
Observa as figuras representadas.
Diz que fracção representa a parte pintada,
sabendo que cada uma delas está dividida em
partes geometricamente iguais.
3
3
4
2
6
2
16
4
3
= 1
3
4
= 2
2
6
= 3
2
16
= 4
4
Estas fracções
números inteiros.
representam
És capaz de definir uma regra que
permita verificar se uma fracção
representa um número inteiro?
Uma fracção representa um
número inteiro se o numerador
for múltiplo do denominador.
Observa as figuras representadas.
Diz que fracção representa a parte pintada,
sabendo que cada uma delas está dividida em
partes geometricamente iguais.
1
4
5
6
2
9
Será que estas fracções representam números
inteiros?
1
4
5
6
Não!
Representam números …
2
9
FRACCIONÁRIOS.
Porque …
Nestas fracções o numerador NÃO É múltiplo do
denominador.
O que é então um número racional?
3
3
1
4
6
2
Qualquer número que se possa representar por
uma fracção ou por uma razão é um número
racional.
NOTA: Razão é o mesmo que quociente.
Assim, qualquer número inteiro ou fraccionário é
um número racional.
Observa a recta numérica.
Coloca na recta os seguintes números racionais.
2
5
4
5
5
5
0
2
5
4 1
5
15
5
8
5
8
5
5
5
11
5
11
5
2
3
15
5
Agora já podemos preencher a tabela de dupla entrada
da divisão utilizando números inteiros.
:
0
0
1
2
3
4
5
-
0
0
0
0
0
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
2
5
3
5
1
-
1
2
1
2
-
2
1
-
3
3
2
1
4
2
4
3
1
4
5
5
5
2
5
3
5
4
1
3
4
-
5
-
Fracções equivalentes
A mãe da Sara fez duas deliciosas tortas de chocolate (que
são iguais).
À sobremesa, dividiu uma delas em quatro fatias iguais e a
outra em oito, tal como mostra a figura.
Torta A
Torta B
A Sara comeu uma
fatia da torta A e o
pai comeu duas
fatias da torta B.
Qual dos dois comeu maior porção de torta?
Torta A
Torta B
Que fracção da torta A comeu a Sara?
1
4
Que fracção da torta B comeu o pai da Sara?
2
8
Então qual dos dois comeu maior quantidade?
Comeram a mesma quantidade.
Vamos ver se é verdade...
Podemos concluir que:
1
4
2
8
Torta A
Torta B
1 2
=
4 8
1 2
=
4 8
Estas fracções representam a mesma porção…
Dizem-se, por isso, fracções equivalentes.
As fracções que representam o mesmo número chamamse fracções equivalentes.
Princípio de equivalência de fracções
Vamos observar as figuras:
4
12
2
6
1
3
Que fracção representa
a parte pintada, de cada
uma das figuras?
Podemos concluir que:
2
1
4
=
=
6
3
12
Repara que …
×2
×2
2
1
4
=
=
6
3
12
×2
×2
:2
:2
1
2
4
=
=
3
6
12
:2
:2
Princípio de equivalência de fracções:
Se multiplicarmos ou dividirmos os dois termos de uma
fracção pelo mesmo número, diferente de zero,
obteremos uma fracção equivalente à fracção dada.
Simplificação de fracções
:2
:2
1
2
4
=
=
3
6
12
:2
Utilizando o
1
3
É uma fracção irredutível.
:2
Princípio de equivalência de fracções
4
, mas de
Podemos obter uma fracção equivalente a
12
termos menores. Dizemos, por isso, que simplificámos a
4
fracção 12 .
:2
Simplificação de fracções
:2 :7
1
14
7
28
=
=
=
2
28 14
56
:2
Ou…
:2 :7
1
2
É uma fracção irredutível.
: 28
1
28
=
2
56
: 28
Porque:
: 28
Porque:
1
28
=
2
56
: 28
D28 = { 1, 2, 4, 7 ,14 , 28 }
D56 = { 1, 2, 4, 7, 8 ,14 , 28 ,56}
O máximo divisor comum entre 28 e 56 é o maior número
que é divisor comum destes números.
m.d.c.(28,56) = 28
ou
Porque:
: 28
1
28
=
2
56
: 28
28 2
14 2
7 7
1
2
28 = 2 × 7
56
28
14
7
1
2
2
2
7
3
56 = 2 × 7
O máximo divisor comum entre 28 e 56, decompostos em
factores primos é igual ao produto dos factores primos
comuns de menor expoente.
2
m.d.c.(28,56) = 2 × 7 = 28
Comparação e ordenação de números racionais
Fracções com o mesmo denominador
A Sara e a Joana estão a comer dois chocolates.
Sara
3
A Sara já comeu
Joana
1
A Joana já comeu
5
5
1
3
>
Qual é a mais gulosa? É a Sara, porque
5
5
De duas ou mais fracções com o mesmo denominador,
representa o maior número a que tiver maior numerador.
Comparação e ordenação de números racionais
Fracções com o mesmo numerador
A Sara e a Joana construíram 2 círculos em cartolina geometricamente
iguais.
Joana
Sara
A Joana pintou de amarelo
2 do círculo.
A Sara pintou de azul
4
2
6
do círculo.
2
2
>
4
6
De duas ou mais fracções com o mesmo numerador,
representa o maior número a que tiver menor denominador.
Qual das duas amigas pintou mais? Foi a Sara, porque
Comparação e ordenação de números racionais
Fracções denominador e numerador diferentes
A Sara e o João comeram o que falta dos dois chocolates.
Sara
João
Qual dos dois amigos comeu maior quantidade de
chocolate?
5
A Sara comeu
do chocolate.
8
2
O João comeu
do chocolate.
3
A Sara comeu 5 do chocolate e o João comeu 2 do chocolate.
8
5
8
2
3
(3)
(8)
3
M8: 0, 8, 16, 24, 32, …
M3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, …
Então, vamos escrever fracções equivalentes a
15
24
16
24
5
2
e
8
3
com denominador 24.
m.m.c.(8,3) = 24
5
8
<
porque
15
24
Logo
2
3
<
Então quem comeu mais chocolate?
16
24
Foi o
João!
Fracções decimais
7
100
4
10
3
1000
As fracções cujo denominador é uma potência de 10
são fracções decimais.
Fracções decimais
4
10
7
100
3
1000
= 0,4
= 0,07
= 0,003
Adição e subtracção de números racionais
Observa as figuras:
1
5
+
3
5
=
4
5
Adição e subtracção de números racionais
Observa as figuras:
4
5
-
3
5
=
1
5
Adição e subtracção de números racionais
1
5
+
3
5
=
4
5
4
5
-
3
5
=
1
5
Para adicionar ou subtrair dois números representados por
fracções com o mesmo denominador, adicionam-se ou
subtraem-se os numeradores e o denominador mantém-se.
Adição e subtracção de números racionais
5
3
+
=
6
4
(2)
(3)
10 9
+
=
=
12 12
19
=
12
m.m.c.(6,4) = 12
M6: 0, 6, 12, 18, 24, …
M4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, …
Então, vamos escrever fracções equivalentes a
5 e 3
4
6
com denominador 12.
Multiplicação de números racionais
A Maria comeu metade de um chocolate.
1
2
O Paulo comeu a quarta parte de um chocolate igual ao da
Maria .
1
4
Logo o Paulo comeu metade de metade do chocolate que a
Maria comeu .
Ou seja, o Paulo comeu
1
de
2
1
2
1
de
2
1
2
1 1
1
 
2 2
4
É o mesmo que
Como se multiplicaram estes
dois números?
Multiplicámos os numeradores e multiplicámos os
denominadores.
Então:
Para multiplicar dois números representados por
fracções, multiplicam-se os numeradores um pelo
outro e multiplicam-se os denominadores, também,
um pelo outro.
Vamos exemplificar:
4 5 4  5 20
10

 

7 2 7  2 14
7
Fracção irredutível
72
9
8 9 89

8   
7
7
1 7 1 7
Fracção irredutível
Continuando a exemplificar…
65
5
6
5
30

0,6  
 
1
3 10 3 10  3 30
4 7
4
 
 2
7 2
2
Generalizando…
ab
a b


cd
c d
Potência de um número racional
7 4 7  7  7  7  49  49  2401
3
8
2 2 2
2
222
  
  

27
3 3 3
3 3 3
3
2
 
3
3
2
É a base
3
3
É o expoente
Inverso de um número racional
Dado um número racional diferente de zero, é sempre
possível encontrar outro número que multiplicado pelo
primeiro dê de produto a unidade (1).
1
8 1
8
1
O inverso de 8 é
e vice-versa.
8
6 5
 1
5 6
6
5
e vice-versa.
é
O inverso de
5
6
Generalizando…
a b
 1
b a
Divisão de números racionais
A operação divisão é a operação inversa da multiplicação.
Exemplo:
8 × 7 = 56
56 : 8 = 7
2 7
 1
7 2
Então …
5 2 5 7 2 7
:   :
 
6 7 6 2 7 2
É o inverso de
2
7
5 7
35
  
6 2
12
1
2 7
1: 
7 2
Para dividir dois números racionais, diferentes de zero,
multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor
35
5 7
5 2
:   
12
6 2
6 7
Generalizando…
a b
:
 ad
c d
c
b