Slide 1 - Prof2000
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Matrizes DEFINIÇÃO K corpo p,q números naturais Uma matriz p×q (ou matriz do tipo (p,q)) é um quadro (ou tabela de dupla entrada) de escalares do tipo a11 a12 ... a1q a a ... a 21 22 2q A a a ... a p2 pq p1 com p linhas e q colunas de elementos a ij K . O elemento a ij chama-se termo ou coeficiente da matriz. O índice i corresponde à linha, o índice j à coluna. Também se usa a notação A a ij . Matrizes DEFINIÇÃO (Igualdade de Matrizes) Duas matrizes A a ij e B bij de p linhas e q colunas são iguais se os seus coeficientes a ij e b ij são iguais para cada i=1,...,p e j=1,...,q. DEFINIÇÃO Uma matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas chama-se matriz quadrada. Matrizes Numa matriz quadrada p×p, os elementos a11, a22, …, app são os da diagonal principal. Uma matriz quadrada em que os elementos que não são da diagonal principal são iguais a zero chama-se matriz diagonal. Se todos os elementos forem iguais a zero, a matriz diz-se nula. Os elementos aij e aji que se dispoem simetricamente relativamente à diagonal principal chamam-se opostos. Uma matriz quadrada diz-se triangular superior (inferior) se aij=0 quando i>j (aij=0 quando i<j). Uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais chama-se matriz escalar. Se forem iguais a 1 chama-se matriz identidade. Matrizes DEFINIÇÃO Se A a ij é uma matriz quadrada, a matriz transposta de A, AT, é a matriz que se obtem substituindo cada elemento pelo seu oposto e mantendo os da diagonal principal. Assim, A T a ji . a11 a12 a a 22 21 A a p1 a p2 ... a1p ... a 2p ... a pp a11 a 12 T A a1p a 21 a 22 a 2p ... a p1 ... a p2 ... a pp Matrizes DEFINIÇÃO Dada uma matriz A cujos elementos são números complexos, a matriz conjugada de A, A , é a matriz que se obtem substituindo cada elemento de A pelo seu conjugado. DEFINIÇÃO Dada uma matriz A cujos elementos são números complexos, a matriz associada de A ou matriz transposta hermítica de A, AH, é a matriz que se obtem transpondo a conjugada de A. (isto é, A A H T AT ) Matrizes ADIÇÃO DE MATRIZES DEFINIÇÃO A a ij e B bij duas matrizes p×q com coeficientes no corpo K. A matriz soma, A+B, é definida como sendo a matriz a ij bij obtida adicionando os elementos correspondentes de A e B. NOTA A soma A+B só está definida quando A e B são do mesmo tipo, isto é, quando A e B têm o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Matrizes MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR DEFINIÇÃO A a ij matriz p×q com coeficientes no corpo K, K. A matriz A é definida como sendo a matriz a ij obtida multiplicando o escalar pelos coeficientes de A. Matrizes TEOREMA O conjunto M das matrizes p×q com coeficientes no corpo K é um espaço vectorial sobre K. Matrizes MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES DEFINIÇÃO A a ij matriz p×q com coeficientes no corpo K. B bij matriz q×r com coeficientes no corpo K. A matriz produto AB cij é uma matriz p×r cujos coeficientes cij q são definidos por cij a ik b kj com i=1,...,p e j=1,...,r. k 1 (isto é, para se obter o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna de AB, multiplicamos ordenadamente os elementos da i-ésima linha de A pelos da j-ésima coluna de B e adicionamos os resultados, cij a i1b1j a i2 b 2 j ... a iq bqj Matrizes MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES NOTA Duas matrizes que podem ser multiplicadas (isto é, em que o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda) dizem-se encadeadas. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Sempre que os produtos estiverem definidos, tem-se: (I) ( A B ) C = A ( B C ) - associativa (II) A ( B + C ) = A B + A C - distributiva (A+B)C=AC +B C Matrizes TEOREMA O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n (isto é, matrizes n×n) com coeficientes no corpo K com as operações de adição e multiplicação definidas é um anel com unidade não comutativo. Matrizes DEFINIÇÃO Uma matriz A Mn(K) diz-se invertível se existe B Mn(K) tal que A B = B A = In. NOTA A matriz B quando existe é única. Representa-se por A-1, inversa de A. Matrizes PROPOSIÇÃO Se A e B são matrizes invertíveis e o produto AB está definido (isto é, as matrizes são encadeadas) então: (I) AB é invertível 1 1 (II) AB B A 1 Generalizando, Se A1, A2,..., Ap são matrizes invertíveis e o produto A1A2...Ap está definido então: (I) A1A2...Ap é invertível (II) A1A 2 ...A p A p1...A 21A11 1 PROPOSIÇÃO Se A é invertível, AT também o é e A T 1 A . 1 T Matrizes Matrizes DETERMINANTE DEFINIÇÃO F=1,2,...,n} Uma permutação de F é uma bijecção de F sobre F. O conjunto de todas as permutações de F com a operação de composição de funções forma um grupo que se chama Grupo Simétrico e se representa por Sn. DEFINIÇÃO 2 ... n 1 Seja a permutação . 1 2 ... n Diz-se que ocorre uma inversão em ou que o par ((i),(j)) constitui uma inversão se i<j e (i)>(j). Matrizes DETERMINANTE DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE INVERSÕES Para cada elemento do contradomínio de , verificar quais os elementos que o precedem e que são maiores do que ele. ls é o número de elementos que precedem s e que são maiores do que s, sendo s um elemento qualquer do contradomínio de . n O número de inversões da permutação é l ls . s 1 Matrizes DETERMINANTE DEFINIÇÃO O número (1)l em que l é o número de inversões da permutação chama-se sinal da permutação e representa-se por (). DEFINIÇÃO Uma permutação diz-se par ou ímpar conforme o seu número de inversões é par ou ímpar, ou seja, conforme o seu sinal é +1 ou 1. Matrizes DETERMINANTE DEFINIÇÃO A a ij matriz n×n com coeficientes em K O determinante da matriz A é o elemento de K definido pela expressão det A a Sn 1,1 a 2, 2 ...a n, n Matrizes DETERMINANTE EXEMPLO (n=2) a11 a12 A a a 22 21 n! 2! 2 1 2 1 2 S2 1 id; 2 1 2 2 1 det A a S2 1,1 a 2, 2 1 a11a 22 1 a12 a 21 a11a 22 a12 a 21 1 1 2 1 Matrizes DETERMINANTE EXEMPLO (n=3) a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32 a13 a 23 a 33 n! 3! 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3 S3 1 id; 2 ; 3 ; 1 2 3 1 3 2 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 ; 5 ; 6 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 4 5 1 2 3 6 1 Matrizes DETERMINANTE det A a S3 1,1 a 2, 2 a 3, 3 1 a1,11 a 2,1 2 a 3,1 3 2 a1,2 1 a 2,2 2 a 3,2 3 3 a1,3 1 a 2,3 2 a 3,3 3 4 a1,4 1 a 2,4 2 a 3,4 3 5 a1,5 1 a 2,5 2 a 3,5 3 6 a1,6 1 a 2,6 2 a 3,6 3 a11a 22 a 33 a12 a 23a 31 a13a 21a 32 a11a 23a 32 a12 a 21a 33 a13a 22 a 31 Matrizes DETERMINANTE REGRA DE SARRUS (para o cálculo do determinante de uma matriz 3×3) a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32 a13 a 23 a 33 A seguir à última coluna, reescrevem-se as duas primeiras colunas da matriz. a11 a12 a13 a11 a12 a a a a a 22 22 23 21 21 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Matrizes DETERMINANTE REGRA DE SARRUS São positivos os produtos dos elementos ligados pelas linhas a vermelho, com a direcção da diagonal principal; São negativos os produtos dos elementos ligados pelas linhas a azul, com a direcção da diagonal não principal. det A a11a 22 a 33 a12 a 23a 31 a13a 21a 32 a11a 23a 32 a12 a 21a 33 a13a 22 a 31 NOTA Em vez de acrescentarmos à direita as duas primeiras colunas podemos acrecentar em baixo as duas primeiras linhas e a regra mantem-se. Matrizes DETERMINANTE TEOREMA Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K. Então, det AT = det A. Matrizes DETERMINANTE PROPRIEDADE 1 Seja A a ij uma matriz n×n sobre o corpo K. Se a linha i de A (1in), a i1 ,...,a in é a soma dos n-úplos a i1 ,...,a in e a i1 ,...,a in , então o determinante de A é igual à soma dos determinantes que se obtêm de A substituindo a linha i respectivamente por a i1 ,...,a in e a i1 ,...,a in , isto é: a11 det a i1 a i1 a n1 a11 a in a in det a i1 a n1 a nn a1n a1n a11 a in det a i1 a n1 a nn a1n a in a nn Matrizes DETERMINANTE PROPRIEDADE 2 Seja A a ij uma matriz n×n sobre o corpo K. Se a linha i de A (1in) é o produto do escalar pelo n-úplo a i1 ,...,a in , então o determinante da matriz A é igual ao produto de pelo determinante da matriz que se obtêm de A substituindo a linha i por a i1 ,...,a in , isto é: a11 det a i1 a n1 a1n a11 a in det a i1 a n1 a nn a1n a in a nn Matrizes DETERMINANTE COROLÁRIO (da Propriedade 2) Se a matriz A tem uma linha ou coluna de zeros, então det A = 0. Matrizes DETERMINANTE PROPRIEDADE 3 Seja A a ij uma matriz n×n sobre o corpo K. Designemos por A' a matriz que se obtem de A trocando as linhas i e j de A (respectivamente as colunas i e j de A), ij, 1i,jn. Então det A' = det A. Matrizes DETERMINANTE COROLÁRIO (da Propriedade 3) Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det A = 0. Matrizes DETERMINANTE TEOREMA Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K. Designemos por A' a matriz que se obtem de A adicionando à linha (coluna) i o produto do escalar pela linha (coluna) j. Então det A' = det A. Matrizes DETERMINANTE Matrizes DETERMINANTE Observação: Quando se efectua a condensação de uma matriz, as transformações que podem ocorrer no seu determinante são: - Mudança de sinal, se houver troca de linhas (ou colunas) um número ímpar de vezes; - Multiplicação por um escalar não nulo, se se multiplicar uma linha (ou coluna) por um escalar não nulo. Matrizes DETERMINANTE TEOREMA (Critério de invertibilidade de uma matriz) Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K. A é invertível se e só se det A 0. TEOREMA O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da sua diagonal principal. TEOREMA Se A e B são duas matrizes n×n sobre o corpo K, então det (AB) = det A det B Matrizes DETERMINANTE DEFINIÇÃO Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K. Chama-se menor de A associado ao elemento aij ao elemento de K det A(i|j). A(i|j) é o determinante da matriz que se obtem de A retirando a linha i e a coluna j DEFINIÇÃO Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K. Chama-se complemento algébrico do elemento aij da matriz A ao elemento de K (1)i+j det A(i|j). Representa-se por Aij. Matrizes DETERMINANTE TEOREMA DE LAPLACE O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos complementos algébricos. COROLÁRIO A soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos complementos algébricos dos elementos de uma fila paralela, pela mesma ordem, é nula. Matrizes MATRIZ INVERSA DEFINIÇÃO Chama-se matriz adjunta de uma matriz quadrada A à matriz que se obtem transpondo A e substituindo em seguida cada elemento pelo seu complemento algébrico. a11 a12 a a 22 21 A a n1 a n 2 a1n a 2n a nn A11 A adjA 12 A1n A 21 A 22 A 2n A n1 An2 A nn Matrizes MATRIZ INVERSA TEOREMA A adjA adjA A det A I n 1 Se det A 0, então A adjA det A 1 Matrizes MATRIZ INVERSA DEFINIÇÃO Uma matriz quadrada A com coeficientes num corpo K diz-se regular (ou não singular) se det A 0. TEOREMA Uma matriz quadrada com coeficientes num corpo é invertível se e só se é regular. Matrizes MATRIZ INVERSA DEFINIÇÃO Uma matriz quadrada real invertível A diz-se ortogonal se a inversa coincide com a transposta. DEFINIÇÃO Uma matriz quadrada complexa invertível A diz-se unitária se a inversa coincide com a transposta da conjugada. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ Seja A a ij uma matriz m×n sobre o corpo K. L1 a11 a12 a1n Li a i1 a i2 a in L m a m1 a m2 Linhas da matriz A a mn As linhas da matriz A podem ser identificadas com vectores do espaço vectorial Kn. Li vector cujas coordenadas são a i1 ,a i2 ,...,a in na base canónica de Kn. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ A dependência linear das linhas de uma matriz goza das seguintes PROPRIEDADES P1 Se em L1,...,Lm algumas das linhas forem linearmente dependentes, então todas o são. P2 Se em L1,...,Lm alguma linha é nula (isto é, totalmente formada por zeros), então as linhas são linearmente dependentes. P3 L1,...,Li,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo sucede com L1,...,Li,...,Lm, escalar não nulo. P4 L1,...,Li,...Lj,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo sucede com L1,...,Li+Lj,...,Lj,...,Lm. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ P5 As linhas L1,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo acontece com as que se obtêm somando a uma delas uma combinação linear das restantes. (consequência de P3 e P4) P6 As linhas L1,...,Lm são linearmente dependentes se e só se alguma delas é combinação linear das restantes. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ Analogamente para colunas. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ OPERAÇÕES ELEMENTARES sobre as linhas de uma matriz O1 Troca entre si de duas linhas. O2 Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero. O3 Substituição de uma linha pela que dela se obtem adicionandolhe o produto de outra por um escalar. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ Analogamente para colunas. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ TEOREMA A dependência ou independência linear das linhas (ou colunas) de uma matriz não é alterada por nenhuma das seguintes operações (chamadas operações elementares): O1 Troca (entre si) de duas filas paralelas (linhas ou colunas). O2 Multiplicação de uma fila por um escalar diferente de zero. O3 Substituição de uma fila pela que dela se obtem adicionando-lhe o produto de outra fila paralela por um escalar. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ É possível, efectuando apenas operações elementares, transformar qualquer matriz numa matriz diagonal em que os primeiros elementos da diagonal principal são iguais a 1 (podendo eventualmente serem todos) e os restantes (que podem eventualmente não existir) são iguais a 0. É o que se chama condensar uma matriz. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ Condensando uma matriz obtemos uma matriz do tipo 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 com r elementos iguais a 1 na diagonal principal que se pode representar por I r 0 0 0 onde Ir representa a matriz identidade de ordem r e os zeros significam que os restantes elementos da matriz são todos nulos. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ DEFINIÇÃO Característica de uma matriz é o número máximo de filas (linhas ou colunas) linearmente independentes. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ Descrição do processo de Condensação de uma matriz (caso geral) Seja A=[Aij] uma matriz m×n, de característica r (a determinar). Se A=0 (matriz nula), não há filas linearmente independentes e a característica é igual a zero. Se A0, executam-se sobre A as seguintes operações elementares: 0 (i) A A a ij , com a11 por operações do tipo O1 ( A Ase a11 0). Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ a i1 (ii) A B bij , com b1j a1j e bij a ij a1j , i2 a11 por operações do tipo O3. Ficará bi1=0 (i2) e ao elemento a'11, abaixo do qual todos os elementos ficaram iguais a zero, chamaremos elemento redutor. (iii) B B bij , com b1j b1j e b22 0 por operações do tipo O1 ( B Bse b 22 0). (iv) B C cij , com ci2 0 , i3 por operações do tipo O3 e tomando b22 como elemento redutor. E assim sucessivamente até chegar à última linha não nula. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ Matrizes INVERSÃO DE UMA MATRIZ TEOREMA Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K, invertível. Então é possível condensar a matriz A utilizando apenas transformações elementares em linhas (ou em colunas). Além disso, a matriz que se obtem de In efectuando em In, pela mesma ordem, as transformações elementares em linhas (ou em colunas) que permitiram condensar A é a inversa de A.
