FORÇA GRAVITACIONAL A força gravitacional é a força mútua de atracção entre dois corpos quaisquer do Universo A lei da gravitação de Newton afirma que toda a partícula do Universo atrai qualquer outra partícula com uma força que é directamente proporcional ao produto das massas das partículas e inversamente proporcional ao inverso do quadrado da distância entre elas. m1m2 Fg G 2 u r onde G é a constante gravitacional universal No SI G 6.67 1011 Nm2 / kg 2 A MASSA INERCIAL que aparece na segunda lei de Newton e que tem a ver com a resistência ao movimento e a MASSA GRAVITACIONAL que aparece na lei da gravitação universal são as mesmas. A força gravitacional entre duas partículas é atractiva F12 F21 F12 F21 1 ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE Podemos reescrever a lei da gravitação Universal de Newton usando a segunda lei de Newton Fg mgu Fg onde g é a aceleração da gravidade Comparando com a expressão da lei da gravitação de Newton mM T mgu G 2 u r obtemos MT g G 2 r O peso de um corpo na Terra é a força com que a Terra atrai a massa com que esse corpo é feito. Foi Newton que esclareceu a diferença entre a MASSA e o PESO de um corpo 2 EXEMPLOS DE FORÇA GRAVITACIONAL r 3 CENTRO DE MASSA dv d dx d 2 x a 2 dt dt dt dt A aceleração instantânea de uma partícula é SISTEMA DE 2 PARTÍCULAS F1 F12 F21 F2 Para o sistema de duas partículas, temos F1 F2 F onde F é a força externa resultante que actua sobre o sistema m1a1 m2 a2 F d 2 m1 x1 m2 x2 F 2 dt d 2 x1 d 2 x2 m1 2 m2 2 F dt dt (1) 4 CENTRO DE MASSA (cont) Definimos xCM m1 x1 m2 x2 m1 m2 Substituindo na equação (1) portanto m1 x1 m2 x2 (m1 m2 ) xCM d 2 m1 x1 m2 x2 F 2 dt (1) obtemos d 2 xCM F (m1 m2 ) (m1 m2 )aCM 2 dt d 2 xCM ou F M MaCM 2 dt onde M=m1+m2 é a massa total do sistema O sistema se comporta como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa) e a força externa agisse sobre ele. xCM M F d 2 xCM F M dt 2 5 Exemplo 18. Calcular o centro de massa dos seguintes sistemas de duas partículas. xCM m1 x1 m2 x2 m1 m2 x1 (a) x2 xCM xCM mx1 mx2 2m xCM x1 x2 2 (b) x1 m1 m2 x x2 xCM x m1 m2 muito pequeno xCM m1 x1 m2 x2 m1 x1 m1 m2 m1 xCM x1 muito pequeno 6 EXEMPLO Centro de massa 7 No caso particular em que dxCM vCM cte. dt F 0 d 2x a 2 0 dt m = 80 kg m = 60 kg Exemplo 19. Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles? Só há forças internas ao sistema o centro de massa tem velocidade constante. xCM m1 x1 m2 x2 m1 m2 xCM 0 80 kg 12 m 60 kg m 5.1 m 80 60 Os patinadores se encontrarão a 5.1 m da posição inicial do patinador da esquerda. O resultado não depende das forças exercidas por eles uma vez que são forças internas 8 CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS NUMA DIMENSÃO xCM m1 x1 m2 x2 mN xN 1 m1 m2 mN M N m x i 1 i i CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS EM TRÊS DIMENSÕES ou 1 rCM M mi ri N i 1 CENTRO DE MASSA PARA CORPOS CONTÍNUOS E UNIFORMES Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral: onde 9 A posição do centro de massa de um sistema pode ser determinada como a posição média da massa do sistema 10