Experimento R2 Centro de Massa 2015

Universidade São Judas Tadeu
Faculdade de Tecnologia e Ciências Exatas
Cursos de Engenharia
Laboratório de Física
Centro de Massa e Centro de Gravidade
Autor: Prof. Luiz de Oliveira Xavier
12
1
M
xcm =
∫ xdm
y(cm)
y
Área
y cm =
1
M
∫ ydm
ycm
X(cm)
xcm
0
BANCADA:
TURMA:
Aluno
Data:
R.A
- 2013 –
9
GRUPO:
NOTA:
Centro de Massa e Centro de Gravidade.
1. Introdução: O Centro de Massa (CM) é um conceito muito útil no estudo da quantidade de movimento (ou
momento p) de um objeto. Ao estudar um sistema de partículas sabemos que quando as forças externas ao sistema
não existem ou quando a soma das forças externas é nula,

F
∑ ext = 0 , a quantidade de movimento do CM do
sistema será preservada e permanecerá constante, Mesmo que existam forças internas, ou seja, forças de interação
entre as partículas, o momento do CM permanecerá constante. Podemos exemplificar pedindo que você imagine o
sistema solar. Se considerarmos que ele encontra-se isolado, longe o suficiente da estrela mais próxima de forma a
desprezar as forças gravitacionais externas, a quantidade de movimento (ou momento) do CM do sistema solar
permanecerá constante. Se o CM do sistema solar estiver parado, ele permanecerá parado ou se estiver com alguma
velocidade, no caso VCM, ela permanecerá constante. O CM do sistema obedecerá à 1a lei e permanecerá em inércia
de movimento. As forças gravitacionais entre o sol e os planetas são forças de interação que obedecem à 3a lei. São
forças internas ao sistema solar e anulam-se mutuamente por ação e reação. Mas onde ficaria o CM e qual seria a
sua massa? Precisamos apenas encontrar a localização do CM. A massa a ser considerada é apenas toda a massa do
sistema. Para o sistema solar, o valor escalar da quantidade de movimento associado ao seu CM (ou momento pCM)
poderia ser calculado por pCM = M.VCM , onde M é toda a massa do sistema solar. Mas onde ficaria então o CM afinal?
Bem, a massa do Sol é cerca de 99,86% da massa de todo o sistema solar! Com esta informação é fácil imaginar
porque o CM do sistema solar fica praticamente no centro do Sol. Matematicamente, o cálculo que leva ao
conhecimento das coordenados do CM do sistema leva em conta a massa e a coordenada de cada partícula. As
coordenadas do CM são obtidas por uma média ponderada entre as coordenadas das partículas. Os pesos para a
ponderação da média são as massas de cada partícula. Para um sistema de três partículas, por exemplo, teremos
para as coordenadas x,y e z do CM do sistema:
1
(x1m1 + x2 m2 + x3 m3 ) , y cm = 1 ( y1m1 + y 2 m2 + y3 m3 ) e z cm = 1 (z1m1 + z 2 m2 + z 3 m3 ) ,
M
M
M
onde a massa total do sistema é a soma da massa das três partículas: M = m1 + m2 + m3 .
xcm =
Para um objeto com distribuição contínua de massa, devemos calcular a massa total por meio da densidade
e a soma discreta acima assume uma forma integral:
1
M
1
M
1
∫ ydm e z = M ∫ zdm , onde a massa total será M = ∫ dm .
Não fique surpreso! O símbolo ∫ é um S e significa Soma e a componente dm representa uma quantidade
xcm =
∫ xdm ,
y cm =
cm
de massa, entenda como ∆m , porém infinitamente menor.
Na maioria dos objetos a força peso muitas vezes está presente. O peso está aplicado a cada partícula
pertencente ao objeto. O Centro de Gravidade (CG) é a coordenada onde podemos considerar aplicada toda a força
peso do corpo. Se a aceleração da gravidade g for constante em todos os pontos do objeto, então o CG coincidirá
com o CM. Para o exemplo anterior das três partículas considere que cada partícula está sujeita a uma aceleração da
gravidade diferente. Então teremos que calcular as coordenadas do CG como uma média ponderada onde o peso de
cada partícula será o próprio peso para a ponderação da média:
(
)
1
(x1 p1 + x2 p 2 + x3 p3 ) = x1m1 g1 + x2 m2 g 2 + x3 m3 g 3
(m1 g1 + m2 g 2 + m3 g 3 )
P
Se a gravidade é a mesma em todos os pontos, g1 = g 2 = g 3 = g , então é fácil perceber que xCG = xcm .
xCG =
Assim, as coordenadas do CG coincidirão com as coordenadas do CM.
A aceleração da gravidade muda muito pouco com a altitude e, portanto podemos considerar na prática o
CM=CG. O edifício Petronas Towers na Malásia possui 452 m de altura. A gravidade muda somente 0,014% entre o
valor na base e o valor no topo do edifício. Assim, o Centro de Gravidade das Torres está somente 2 cm abaixo do
Centro de Massa !
2. Arranjo experimental: Neste experimento você determinará teoricamente o CM de dois objetos planos
regulares. Determinará também o CG destes objetos por um método prático. Um cálculo simples de integral
também será utilizado para determinar o CM de um destes objetos. Você utilizará cartolina para produzir os objetos.
2.1 Método teórico: A determinação teórica do CM levará em conta a simetria dos objetos. Você deverá
considerar principalmente que a distribuição de massa é homogênea (a massa está distribuída por igual em toda a
superfície do objeto). De um dos lados da cartolina você usará um procedimento teórico para encontrar o centro
geométrico do objeto. Em um retângulo, por exemplo, este centro é obtido pelo cruzamento das diagonais
simplesmente. Em um triângulo, ele é obtido pelo cruzamento das linhas medianas que são as linhas que unem o
vértice à metade do lado oposto conforme é mostrado na figura 1 abaixo. Em um objeto composto por polígonos
regulares conforme a letra U na figura 2, o CM pode até ficar fora do objeto! Observe que na construção geométrica
do CM da letra U na Figura 2, o objeto foi dividido em três retângulos, todos com a mesma massa e o centro de
massa de cada retângulo forma um triângulo que fornecerá o CM do objeto pelo cruzamento das medianas.
CM
CM1
CM
CM2
CM3
Figura 1- No caso do triângulo, o CM é obtido pelo
cruzamento das três linhas medianas.
Figura 2 – Centro de massa da letra U. O objeto é dividido em tres
retângulos com massas iguais.
2.2 Método prático: Após determinar o Centro Geométrico dos objetos de massa homogênea, o que
corresponde ao Centro de Massa (CM), você utilizará o auxílio da gravidade local para determinar o Centro de
Gravidade (CG) dos objetos. Você utilizará um método prático conhecido como o método do fio de prumo. No local
do laboratório podemos considerar que a gravidade g é constante e, portanto os resultados práticos para o CG
devem coincidir com os resultados teóricos do CM. O método prático consiste em espetar o objeto plano feito de
cartolina em uma agulha. Permita que o furo seja adequado para que o objeto possa girar em torno da agulha
livremente, sem atrito. Fure em um ponto próximo à borda e gire o objeto para que ele realize algumas voltas em
torno do eixo da agulha livremente. Ótimo! Assim que ele parar de oscilar amarre na agulha, o fio de linha que
possui uma massa na outra extremidade. Este fio é também conhecido como fio de prumo. O fio de prumo passará
pelo Centro de Gravidade do objeto. Agora faça uma marca na cartolina na extremidade oposta ao furo, por onde
passa o fio de prumo. Observe a sequência na Figura 3 a seguir.
Figura 3 – Método prático para determinar o CG com o uso de um fio de prumo.
Retire o objeto da agulha e trace uma linha do furo até a marca feita do lado oposto. Esta linha passa pelo
Centro de Gravidade do objeto. Repita o processo para mais dois furos em outras extremidades e trace mais duas
linhas. As três linhas se cruzarão no CG experimental ou definirão um pequeno triângulo que conterá o CG e,
portanto, conterá também o CM. Fure com a agulha o ponto encontrado experimentalmente para o CG. Se o seu
ensaio for de boa qualidade, o CG deverá coincidir com o CM encontrado geometricamente do outro lado da
cartolina. Pendure o objeto por este furo e ele deverá permanecer em equilíbrio estático (o que implica não haver
oscilações em torno do eixo da agulha).
3. Material: 1 Cartolina, 1 tesoura, 1 régua, 1 fio de prumo com massa, 1 agulha no suporte.
4. Procedimento: Recorte na cartolina dois objetos conforme os esquemas em cada sistema de coordenadas
das Figuras 3 e 4 abaixo. Encontre o CM teórico e o CG prático.
4.1 Objeto 1: Recorte um triângulo semelhante ao famoso Triângulo Retângulo 3,4,5, porém com os dois
catetos de tamanho 9 cm e 12 cm conforme o desenho abaixo. As coordenadas do CM ( xcm , y cm ) deverão ser
encontradas numericamente conforme a orientação do sistema de coordenadas (x,y) da Figura 4 abaixo.
y(cm)
Preencha a Tabela 1 com as coordenadas obtidas para o CM pelo método
teórico (cruzamento das medianas) e para o CG pelo método prático (agulha e fio
de prumo).
12
(6) TABELA 1: Coordenadas do CM e do CG do triângulo retângulo.
Área
CM
Método Teórico
(cm)
CG
Método Prático
(cm)
X(cm)
0
9
Figura 4 – Triângulo retângulo e
o sistema de coordenadas (x,y).
xcm=
ycm =
xCG=
yCG =
4.2 Objeto 2: Para este ensaio recorte a letra U observada anteriormente na Figura 2, porém com o
tamanho e o formato mostrados no sistema de coordenadas abaixo:
y(cm)
Preencha a Tabela 2 com as coordenadas obtidas para o CM
pelo método teórico (geométrico) e para o CG pelo método prático
(agulha e fio de prumo).
12
(6) TABELA 2: Coordenadas do CM e do CG do objeto 2 (Letra U).
6
Área A
CM
Método Teórico
(cm)
CG
Método Prático
(cm)
Área A
Área A
xcm=
ycm =
xCG=
yCG =
X(cm)
0
3
9
12
Figura 5 - Sistema de coordenadas e as dimensões
do objeto 2 (Letra U).Os retângulos têm áreas iguais.
GRAMPEIE NO RELATÓRIO OS DOIS OBJETOS RECORTADOS NA CARTOLINA COM OS TRAÇADOS GEOMÉTRICOS
FEITOS PARA OBTER O CM TEÓRICO DE UM LADO DA CARTOLINA E O TRAÇADO EXPERIMENTAL PARA OBTER O
CG PRÁTICO COM O FIO DE PRUMO E AGULHA DO OUTRO LADO DA CARTOLINA. INDIQUE OS PONTOS PARA O CM
E PARA O CG.
4.3 Cálculo do CM utilizando a integral: Para o triângulo da Figura 4 você determinará o CM também por
meio do cálculo integral. Nesta técnica desenvolvida por Isaac Newton, o triângulo pode ser dividido em vários
retângulos verticais estreitos onde em cada um, o CM é encontrado pelo cruzamento das diagonais. Como o
triângulo é muito estreito, a coordenada x é a coordenada do CM. A coordenada y do CM fica na metade da altura
de cada retângulo. Observe o desenho da Figura 6 a seguir:
12
A densidade de massa do papel é uma constante σ . Assim, a
porção ∆m de massa para cada retângulo é: ∆m = σ .∆A ,
(massa(gramas)= σ (gramas/cm2). Área(cm2) ).
A massa total M é a soma da massa de todos os retângulos.
y(cm)
y
M = ∑ ∆m = ∑ σ .∆A = ∑ σ . y∆x , sendo a área do retângulo,
dada pelo lado vezes a base, ∆A = y∆x , onde ∆x é a largura estreita
do retângulo. A forma integral é escrita quando ∆x é infinitamente
pequeno: M = σ ∫ ydx , (substituindo ∑ por ∫ e ∆x por dx ). A
Área
ycm
coordenada y na integral é substituída pela equação da reta que define
X(cm)
0
xcm
9
Figura 6 – Divisão da área do triângulo em retângulos estreitos
para a soma integral.
o triângulo: y ( x) =
12
x o que fornece:
9
M =σ
4 9
xdx .
3 ∫0
Para um número N de retângulos calculamos o CM pela soma ponderada de todos:
xcm =
1
(x1m1 + x2 m2 + ... + x N m N )
M
e
1
(x1a1 + x2 a 2 + ... + x N a N )
A
e
y cm =
1
( y1m1 + y 2 m2 + ... + y N m N )
M
A densidade σ é constante aparecendo no numerador e no denominador cancelando-se mutuamente. O
cálculo fica apenas em função das áreas:
xcm =
y cm =
1
( y1a1 + y 2 a 2 + ... + y N a N )
A
Observe que o eixo x fornece retângulos desde a origem 0 cm até a coordenada 9 cm. A Soma dos
retângulos dá a massa do triângulo M = σ . A e comparando-se esta equação com a última equação no final do
4 9
4  92 02 
quadro da Figura 6 acima, a área do triângulo fica: A = ∫ xdx = 
−  = 54 cm2. O cálculo da integral foi:
0
3
3 2
2 
x2
, de xinicial = 0 até xfina l= 9.
xdx
=
∫
2
Ora, pode parecer complicado, mas todos nós sabíamos desde o início que a área do triângulo era a base
vezes a altura dividida por 2: A=(12 X 9)/2 = 54 cm2. Isso funciona!
Agora observe o desenvolvimento para o cálculo das integrais na Tabela 3 a seguir e realize a conta da última linha
da tabela 3 para as coordenadas do CM:
(2) TABELA 3: Cálculo das coordenadas do CM para o triângulo utilizando a integral.
xcm =
1
M
∫
9
0
x.dm =
σ 9
1 9
σ
x
.
.
dA
x. y.dx
=
σA ∫0
σ . A ∫0
1 9 4
4 

x. x..dx;  para y = x 
∫
A 0 3
3 

 1 4 9
=  ⋅  ∫ x 2 dx
 54 3  0
xcm =
xcm
y cm
2
y cm
1 4 1 9 2
=
⋅  ⋅
x .dx
54  3  2 ∫0
y cm
1  4  1  x3 
⋅  ⋅  
=
54  3  2  3  Inicial =0
y cm
1  4  1  93 03 
=
⋅  ⋅  − 
54  3  2  3
3
Final =9
xcm
3
 1 4  x 
=  ⋅  
 54 3   3  Inicial =0
xcm
3
03 
 1 4  9
=  ⋅  − 
3
 54 3   3
xcm =
σ 9 y 
1 9 y 
1 9 y 
  ⋅ dm =
 .σ .dA =
 . y.dx
∫
∫
0
0
σA  2 
σA ∫0  2 
M 2
1 9 y2
4 

= ∫
⋅ dx;  para y = x 
0
A
2
3 

y cm =
2
Final =9
2
y cm =
(1) O cálculo acima confirma o seu resultado anterior para o triângulo? (
) SIM
(
) NÃO
Referência: Coleção de Exercícios de Física – Prof. Luiz de Oliveira Xavier – Editora Universidade São Judas.