Força gravitacional, centro de massa

FORÇA GRAVITACIONAL
A força gravitacional é a força mútua de atracção entre dois corpos quaisquer do
Universo
A lei da gravitação de Newton afirma que toda a partícula do Universo atrai qualquer
outra partícula com uma força que é directamente proporcional ao produto das
massas das partículas e inversamente proporcional ao inverso do quadrado da
distância entre elas.

m1m2 
Fg  G 2 u
r
onde G é a constante gravitacional universal
No SI G  6.67 1011 Nm2 / kg 2
A MASSA INERCIAL que aparece na segunda lei de Newton e que tem a ver com a
resistência ao movimento e a MASSA GRAVITACIONAL que aparece na lei da
gravitação universal são as mesmas.
A força gravitacional entre duas partículas é
atractiva


F12   F21

F12

F21
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
Podemos reescrever a lei da gravitação Universal de
Newton usando a segunda lei de Newton


Fg  mgu

Fg
onde g é a aceleração da gravidade
Comparando com a expressão da lei da
gravitação de Newton

mM T 
mgu  G 2 u
r
obtemos
MT
g G 2
r
O peso de um corpo na Terra é a força com
que a Terra atrai a massa com que esse
corpo é feito.
Foi Newton que esclareceu a
diferença entre a MASSA e o PESO
de um corpo
EXEMPLOS DE FORÇA GRAVITACIONAL
r
CENTRO DE MASSA
dv d  dx  d 2 x
a
   2
dt dt  dt  dt
A aceleração instantânea de uma partícula é
SISTEMA DE 2 PARTÍCULAS
F1
F12
F21
F2
Para o sistema de duas partículas, temos
 

F1  F2  F
onde

F é a força externa resultante que actua sobre o sistema
 m1a1  m2 a2  F
d 2 m1 x1  m2 x2 
F
2
dt
d 2 x1
d 2 x2
 m1 2  m2 2  F 
dt
dt
(1)
CENTRO DE MASSA (cont)
Definimos
xCM 
m1 x1  m2 x2
m1  m2
Substituindo na equação (1)
portanto

m1 x1  m2 x2  (m1  m2 ) xCM
d 2 m1 x1  m2 x2 
F
2
dt
(1)
obtemos
d 2 xCM
F  (m1  m2 )
 (m1  m2 )aCM
2
dt
d 2 xCM
ou F  M
 MaCM
2
dt
onde M=m1+m2 é a massa total do sistema
O sistema se comporta como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM
(centro de massa) e a força externa agisse sobre ele.
xCM
M

F
d 2 xCM
F M
dt 2
Exemplo 18. Calcular o centro de massa dos seguintes sistemas de duas partículas.
xCM
m1 x1  m2 x2

m1  m2
x1
(a)
x2
xCM
xCM
mx1  mx2

2m
 xCM
x1  x2

2
(b)
x1
x2
 xCM
muito pequeno
xCM 
m1 x1  m2 x2 m1 x1

m1  m2
m1
m1  m2
x
 xCM  x1
muito pequeno
x
m1  m2
EXEMPLO
Centro de massa
No caso particular em que

dxCM
 vCM  cte.
dt
F 0
d 2x
a 2 0
dt
m = 80 kg
m = 60 kg
Exemplo 19. Dois patinadores no gelo (sem atrito
com o chão) encontram-se inicialmente a uma
distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de
uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles
se encontram? O resultado depende das forças
exercidas por eles?
Só há forças internas ao sistema  o centro de massa tem velocidade constante.
xCM
m1 x1  m2 x2

m1  m2
 xCM 
0  80 kg  12 m  60 kg
m  5.1 m
80  60
Os patinadores se encontrarão a 5.1 m da posição inicial do patinador da esquerda.
O resultado não depende das forças exercidas por eles uma vez que são forças internas
CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS NUMA DIMENSÃO
xCM
m1 x1  m2 x2    mN xN
1


m1  m2    mN
M
N
m x
i 1
i i
CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS EM TRÊS DIMENSÕES
ou

1
rCM 
M

 mi ri
N
i 1
CENTRO DE MASSA PARA CORPOS CONTÍNUOS E UNIFORMES
Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em
porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:
onde
A posição do centro de massa de um sistema pode ser determinada como a
posição média da massa do sistema