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Exemplo 15. Calcular a tensão nos fios e a aceleração dos blocos. Não há atrito entre o bloco e a superfície. Os fios e a roldana são ideais. N T N m g 1 Bloco 1 x y T m1 g F 0 N m g F ma T m a y 1 x F Bloco 2 y x m ay m2 g T m2 a m2 g T m2 g m2 a Como T T , igualamos (1) e (2) m1a m2 a m2 g a m2 g m1 m2 1 (2) m1a m2 g m2 a (m1 m2 )a m2 g T m1 a m1 m2 g m1 m2 (1) OUTRO MODO DE VER O PROBLEMA N m1 g T T Tratamos m1 e m2 como um corpo só com uma força interna T. Nesse caso, T não precisa aparecer no diagrama dos blocos isolados. m2 g (m1 m2 )a m2 g m2 a g m1 m2 Trata-se na verdade de um problema unidimensional ! A TERCEIRA LEI DE NEWTON A TERCEIRA LEI DE NEWTON transmite a noção de que as forças são sempre interacções entre dois corpos: F12 “Se dois corpos interagem, a força exercida pelo corpo 1 sobre o corpo 2 é igual em módulo , mas oposta em direcção à força F21 exercida pelo corpo 2 sobre o corpo 1”: Exemplo F12 F21 As forças F e F21 12 F12 constituem um par acção-reacção As forças do par ação-reação: têm mesmo módulo e mesma direcção, e sentidos opostos nunca actuam no mesmo corpo nunca se cancelam F21 1. O boxeador pode golpear um saco massivo com uma força considerável. 2. Com o mesmo golpe ele pode exercer apenas uma pequenina força sobre um lenço de papel no ar. (1) Figura 1. O punho golpeia o saco (e produz uma cavidade no saco) enquanto o saco golpeia o punho de volta (e interrompe o movimento do punho). Ao atingir o saco, há uma interacção com o saco que envolve um par de forças. O par de forças pode ser muito grande. (2) Figura 2. O punho do boxeador pode apenas exercer tanta força sobre o lenço de papel quanto o lenço é capaz de exercer sobre o punho. Outros exemplos da 3ª Lei de Newton PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO (OU LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR) Na ausência de forças externas, a quantidade de movimento permanece constante (o momento total de um sistema isolado permanece constante) Supomos duas partículas que interagem entre si. De acordo com a terceira lei de Newton p1 m1v1 e F21 F12 formam um par acção e reacção e F12 F21 Podemos expressar essa condição como m1 F12 F21 0 dp1 dp 2 d ( p1 p2 ) 0 dt dt dt F12 F21 p2 m2v2 m2 p1 p2 ptotal constante (num instante t) Exemplo 16. Suponha que um peixe nada em direcção a outro peixe menor. Se o peixe maior tem uma massa de 5 kg e nada com velocidade de 1 m/s na direcção de um peixe de 1 kg que está parado (v=0), qual será a velocidade do peixe grande logo após o almoço? Desprezamos o efeito da resistência da água. O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço pantesdo almoço pdepoisdo almoço constante MV mv MV 'mv ' constante (5 kg)(1 m/s) (1 kg)(0) (5 kg 1 kg)V ' 5 kg m/s (6 kg)V ' 5 kg m/s (6 kg)V ' V ' (5 / 6) m/s V ' 0.8 m/s FORÇA GRAVITACIONAL A força gravitacional é a força mútua de atracção entre dois corpos quaisquer do Universo A lei da gravitação de Newton afirma que toda a partícula do Universo atrai qualquer outra partícula com uma força que é directamente proporcional ao produto das massas das partículas e inversamente proporcional ao inverso do quadrado da distância entre elas. m1m2 Fg G 2 u r onde G é a constante gravitacional universal No SI G 6.67 1011 Nm2 / kg 2 A MASSA INERCIAL que aparece na segunda lei de Newton ( f ma ) e que tem a ver com a resistência ao movimento e a MASSA GRAVITACIONAL que aparece na lei da gravitação universal são as mesmas. A força gravitacional entre duas partículas é atractiva F12 F21 F12 F21 ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE Podemos reescrever a lei da gravitação Universal de Newton usando a segunda lei de Newton Fg mgu Fg onde g é a aceleração da gravidade Comparando com a expressão da lei da gravitação de Newton mM T mgu G 2 u r obtemos MT g G 2 r O peso de um corpo na Terra é a força com que a Terra atrai a massa com que esse corpo é feito . Foi Newton que esclareceu a diferença entre a MASSA e o PESO de um corpo EXEMPLOS DE FORÇA GRAVITACIONAL r CENTRO DE MASSA dv d dx d 2 x a 2 dt dt dt dt A aceleração instantânea de uma partícula é SISTEMA DE 2 PARTÍCULAS F1 F12 F21 F2 Para o sistema de duas partículas, temos F1 F2 F onde F é a força externa resultante que actua sobre o sistema m1a1 m2 a2 F d 2 m1 x1 m2 x2 F 2 dt d 2 x1 d 2 x2 m1 2 m2 2 F dt dt (1) CENTRO DE MASSA (cont) Definimos xCM m1 x1 m2 x2 m1 m2 Substituindo na equação (1) portanto m1 x1 m2 x2 (m1 m2 ) xCM d 2 m1 x1 m2 x2 F 2 dt (1) obtemos d 2 xCM F (m1 m2 ) (m1 m2 )aCM 2 dt d 2 xCM ou F M MaCM 2 dt onde M=m1+m2 é a massa total do sistema O sistema se comporta como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa) e a força externa agisse sobre ele. xCM M F d 2 xCM F M dt 2 Exemplo 17. Calcular o centro de massa dos seguintes sistemas de duas partículas. xCM m1 x1 m2 x2 m1 m2 x1 (a) x2 xCM xCM mx1 mx2 2m xCM x1 x2 2 (b) x1 x2 xCM muito pequeno xCM m1 x1 m2 x2 m1 x1 m1 m2 m1 m1 m2 x xCM x1 muito pequeno x m1 m2 EXEMPLO Centro de massa No caso particular em que dxCM vCM cte. dt F 0 d 2x a 2 0 dt m = 80 kg m = 60 kg Exemplo 18. Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles? Só há forças internas ao sistema o centro de massa tem velocidade constante. xCM m1 x1 m2 x2 m1 m2 xCM 0 80 kg 12 m 60 kg m 5.1 m 80 60 Os patinadores se encontrarão a 5.1 m da posição inicial do patinador da esquerda. O resultado não depende das forças exercidas por eles uma vez que são forças internas CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS NUMA DIMENSÃO xCM m1 x1 m2 x2 mN xN 1 m1 m2 mN M N m x i 1 i i CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS EM TRÊS DIMENSÕES ou 1 rCM M mi ri N i 1 CENTRO DE MASSA PARA CORPOS CONTÍNUOS E UNIFORMES Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral: onde A posição do centro de massa de um sistema pode ser determinada como a posição média da massa do sistema
