Slide 1 - Mural do Guiba

Aulão Tópicos UDESC
Matemática
Prof. Armstrong
24 de outubro de 2009
[email protected]
Geometria Analítica:
Circunferência
Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da
circunferência, a distância de C a P d(C,P) é o raio
dessa circunferência. Então:

Equação geral
Desenvolvendo a equação reduzida,
obtemos
a
equação
geral
da
circunferência:
 x  a  ²   y  b ²  r ²
x ²  2ax  a ²  y ²  2by  b²  r ²
x ²  y ²  2ax  2by  a ²  b²  r ²  0
Como exemplo, vamos determinar a
equação geral da circunferência de centro
C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
x  2
2
 ( y  3)  16
2
Desenvolvendo os quadrados
binômios (x – a)² e (y – b)², temos:
dos
x ²  4 x  4  y ²  6 y  9  10  0
x²  4 x  y ²  6 y  3  0
Posição de um ponto em relação a uma
circunferência
a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência

P é interior à circunferência
Elipse
Definição:
Considerando, num plano α , dois pontos
distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real
maior que a distância entre F1 e F2, chamamos
de elipse o conjunto dos pontos do plano α
tais que a soma das distâncias desses pontos a
F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Elementos
Elementos









Focos: os pontos F1 e F2
Centro: o ponto O, que é o ponto médio de
Semi-eixo maior: a
Semi-eixo menor: b
Semidistância focal: c
Vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
Eixo maior:
Eixo menor:
Distância focal:
Relação fundamental
a b c
2
2
2
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a)
Elipse com centro na origem e eixo maior
horizontal
Sendo c a semidistância focal, os focos da
elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
Aplicando a definição de elipse, obtemos
a equação da elipse:
b) Elipse com centro na origem e eixo maior vertical

Nessas condições, a equação da elipse é:
Hipérbole

Definição:
Considerando, num plano
α, dois pontos
distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real
menor que a distância entre F1 e F2 ,
chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos
do plano α tais que o módulo da diferença das
distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre
igual a 2a.
Elementos








Focos: os pontos F1 e F2
Vértices: os pontos A1 e A2
Centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto
médio de
Semi-eixo real: a
Semi-eixo imaginário: b
Semidistância focal: c
Distância focal:
Eixo real:
Eixo imaginário:
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número
real e tal que:
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) Hipérbole com centro na origem e
focos no eixo x
F1  c, 0 
F2  c, 0 
Aplicando a definição de hipérbole:
Aplicando a definição de hipérbole:
Obtemos a equação da hipérbole:
b) Hipérbole com centro na origem e focos no eixo y.
Nessas condições, a equação da hipérbole é:
Exercícios
1-Determine a distância entre o centro da
circunferência de equação
2
2
x  y  8x  6y  0
e o foco da elipse que tem abscissa
positiva, de equação
x2
25

y
2
16
1
Resolução
Equação da Circunferência:
2
2
x  y  8x  6y  0
C(–
4, 3)
Pela equação dada, temos que a elipse tem
centro na Origem do Sistema de
Coordenadas (0, 0) e como 25 >16, seu eixo
maior está contido no eixo das abscissas (x).
Desta forma: a = 5 e b =4.
Fazendo
a 2  b 2  c,2 teremos c = 3.
Então, o foco da Elipse que tem
abscissa positiva é F1(3, 0).
Logo:
2
d(C, F1 )  (4  3)  (3  0)
d(C, F1 ) 
49  9
Portanto:
d(C, F1 ) 
58 uc
2
2)(UDESC – 2008.2) Se as retas de equações x +
2y = –6 e 6x + y = 8 se interceptam no centro
de uma circunferência de raio unitário, a
equação dessa circunferência é:
a) x2+ y2+ 8x- 4y- 1= 0 .
b) x2+ y2+4x -8y +19 =0 .
c) x2+ y2-4x+ 8y- 19 =0 .
d) x2+ y2+ 4x- 8y- 1= 0 .
e) x2+ y2 -4x +8y -19= 0 .
Resolução
Resolvendo o sistema
 x  2 y  6 EQ1

 6 x  y  8 EQ 2
FazendoEQ 2   2 
 x  2 y  6

 12 x  2 y  16
 11x  22
x2
Substituindo x  2na equação 1 sai que
x  2 y  6
2  2 y  6
2 y  8
y  4
Dados da circunferência: C(2,-4) R=1
Equação reduzida:
x  a    y  b   R
2
2
x  2   y  4  1
2
2
2
x  4 x  4  y  8 y  16  1
2
2
x  y  4 x  8 y  19  0
2
2
3)Determine os focos e os vértices no
eixo real da hipérbole cuja equação é
25x² - 4y² = 100.
Resolução
Dividindo a equação por 100,temos:
25 x ²  4 y ²  100
2
2
x
y

1
4 25
a2
b5

Para calcularmos a semi-distância focal,
fazemos
c  a b
2
2
c  4  25
2
c  29
2

Os focos são os pontos

F1  29 ,0


F2

29 ,0

Os vértices são os pontos
A1  2,0
A2 2,0
Exercícios
1)Determine a equação da elipse cujo
centro coincide com o centro da
2
2
x

y
 6x  0
circunferência
passa pelo ponto P(2, 27 ), tem
excentricidade 32 e cujo eixo
6
maior é paralelo ao eixo y .
2)Calcule a área do triângulo ABC, em
que os vértices A e B são os focos da
hipérbole de equação
9 x  4 y  36
2
2
e o vértice C é o centro da
circunferência de equação .
x  2x  y  3 y  1
2
2
3) Os pontos A (3,0) e B (0,3) são vértices de um
triângulo; o terceiro vértice é o ponto M,
interseção das retas de equações
 2x – 3y + 9 =0
 7x – 3y – 21 = 0.
Encontre a equação da elipse cujo centro é o
ponto C(0,0) , o semi-eixo maior é a altura do
triângulo ABM relativa ao lado AB, e a
excentricidade
2
e
2
VALEU, GALERA!
GRANDE ABRAÇO A
TODOS E UM ÓTIMO
FINAL DE SEMANA!
Prof. Armstrong