matemática é matemática -os

Trigonometria na
Circunferência
ARCOS E ÂNGULOS
ARCOS E ÂNGULOS
A
Seja uma circunferência de
centro O sobre a qual tomados dois
pontos distintos, A e B.
M
O
B
Em relação a A, B e M temos duas possibilidades:

O percurso mais curto entre A e B;

O percurso mais longo entre A e B.
O
Ângulo central
Na construção de um arco existe um ângulo
central correspondente a cada arco tomado.
B
Arco AB
O
A
Ângulo central
MEDIDAS DE UM ARCO
Angular
É igual à
correspondente.
medida
do
ângulo
central
Observe que a
medida angular não
depende do raio.
90º
180º
360º
270º
Submúltiplos
GRAU :
1
o
MINUTO :
1
'
SEGUNDO :
1
"
EQUIVALÊNCIAS
1  60 1  60 1  3600
o
'
'
1volta=
"
o
360
o
"
Radiano
Um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento é igual
ao do raio da circunferência.
Indicamos, abreviadamente por rad.
B
Arco de
comprimento r
r
O
1 rad
A
med(AB) = 1 rad.
A medida de um arco em radiano é o quociente entre o
comprimento do arco (L) e o raio da circunferência que o
contém (r)
 L
med(AB) 
r
Exemplo: Qual a medida em radianos, de um arco de
comprimento 8 cm pertencente a uma circunferência de 2 cm
de raio?
Sol:
A medida do arco em radianos é:
L 8
  4 rad
r 2
Em uma circunferência o comprimento total é 2r
Logo a medida em radianos da circunferência toda é:
2r
 2 rad
r
90º 

rad
2
0
180º   rad
360º  2 rad
270º 
3
rad
2
EXERCÍCIOS
1) Determinar, em radianos, a medida equivalente a
1200:
Resolução:
Lembrando que π rad equivale a 1800, basta resolver a
regra de três:
rad
graus
π
1800
x
1200
x
x
180 = 120π
= 120π : 6
180 : 6
x = 2π
3
rad
2) Determinar, em graus, a medida equivalente a π rad:
6
Resolução:
Resolvendo a regra de três:
rad
π
π
6
graus
1800
x
3) Determinar, em graus, a medida equivalente a 1 rad:
Resolução:
Resolvendo a regra de três:
rad
π
graus
1800
x
1
x = 180
rad
π
Fazendo π = 3,14 temos:
x = 180
3,14
graus
x =~ 57
0
4) Determinar, em graus, a medida do ângulo formado
pelos ponteiros de um relógio às 8h 20min.
11
12
1
10
2
9
3
8
4
7
6
5
Sol:
11
12
1
10
2
9
x
3
120º
8
7
6
4
5
A cada 60 min o ponteiro das horas percorre 30º
60 min
30º
20 min
x

x
120 + 10 = 130º
600
 10 º
60
MEDIDAS DE UM ARCO
Linear
É a medida do comprimento do arco.
Comprimento de um Arco
B
L
r
O

r
Comprimento
A
2r
L
Arco em Graus
360º

Exemplo: Numa circunferência de raio r = 30 cm, qual é o
comprimento de um arco que subentende um ângulo central de
60º? Considere  = 3,14.
Sol:
Comprimento
B
O
60º
30cm
360º
2r
L
30cm
Arco em Graus
L
A

L
2r  
360 º
2  30    60 º 3600  
L

360 º
360
L  10    10  3,14  L  31,4
Exemplo: O Pêndulo de um relógio tem comprimento 0,5 m e
executa o movimento, de A para B, indicado na figura. Determine o
comprimento do arco AB que a extremidade do pêndulo descreve.
Sol:
0,5m
60 º 
30º 30º

rad
3

L
 L
  
3 0,5
3 r
A
B
L
1

0,5
L
2
3
3
1 1

  L  m
2 3
6
ARCOS CÔNGRUOS
• São arcos que têm
mesma origem e
mesma extremidade.
B
A
• A diferença entre dois
arcos côngruos é
sempre um múltiplo de
2.
• Forma
geral:
x=+
2k
ou
x =  + k.360º
 é extreminadade do
arco
K é número de voltas completas
no ciclo
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
y
B
P
+
1
A’
A
O
1
x
B’