introdução ............................................................................. 2 ângulos e

INTRODUÇÃO ............................................................................. 2
ÂNGULOS E ARCOS NA CIRCUNFERÊNCIA ............................ 2
UNIDADES PARA MEDIR ANGULOS ......................................... 4
CICLO TRIGONOMÉTRICO ...................................................... 11
ASSOCIANDO NÚMEROS A PONTOS DO CICLO .................. 11
ARCOS CONGRUENTES .......................................................... 12
PRIMEIRA DETERMINAÇÃO .................................................... 13
SENO E COSSENO DE ÂNGULOS MAIORES QUE 90º .......... 24
LEI DOS SENOS........................................................................ 26
LEI DOS COSSENOS ................................................................ 29
RESPOSTAS ............................................................................. 34
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 35
No final das séries de exercícios podem aparecer
sugestões de atividades complementares. Estas
sugestões referem-se a exercícios do livro
“Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo
FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto
durante o triênio 2015-2017.
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se
referem ao volume 2.
MATEMÁTICA I
1
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
INTRODUÇÃO
Na apostila anterior, vimos uma
ideia básica de Trigonometria. A partir de
agora vamos ampliar os conceitos de
seno, cosseno e tangente. Nesse novo
contexto, o triângulo retângulo será
insuficiente
para
as
definições
necessárias. Assim, vamos definir um
novo “ambiente” para a trigonometria: o
ciclo trigonométrico.
Essa nova interpretação dos
conceitos trigonométricos tem aplicações
notáveis. A principal delas é no estudo de
fenômenos periódicos como a oscilação
de um pêndulo, movimento dos planetas
em
torno
do
Sol,
movimentos
ondulatórios, etc.
Vamos também conhecer outra
unidade para medir ângulos: o radiano.
Vamos, nesta apostila, conhecer
os conceitos fundamentais para este
estudo.
̂
𝑨𝒓𝒄𝒐 𝑨𝑩
Â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 𝑨Ô𝑩

A sequência de imagens a seguir, ilustra
bem a ideia do comprimento da
circunferência.
Essas imagens juntas formam
um GIF que pode ser visto,
animado, no link:
www.vidigal.ouropreto.ifmg.
edu.br/comprimento-dacircunferencia/
ÂNGULOS E ARCOS NA
CIRCUNFERÊNCIA

Comprimento: o comprimento da
circunferência é dado a partir de seu
raio por C = 2r.
Arco geométrico: é uma das partes de
uma circunferência delimitada por
dois pontos, inclusive.
I
Nesta primeira
imagem está
destacado um par
de eixos ortogonais
e um segmento em
vermelho que será
o raio (radiano) da
circunferência.
II
Girando o raio para
formar a
circunferência

Arco ou ângulo central: Todo arco de
circunferência tem um ângulo central
que o subtende.
CÁSSIO VIDIGAL
2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
III
Girando o raio para
formar a
circunferência
VIII
O ângulo central
delimitado por este
arco tem a medida
de 1 radiano
(1 rad)
IV
A circunferência
formada e o raio
em destaque
IX
Repedindo, na
sequência, o
ângulo central,
obtemos 2
radianos (2 rad)
V
Agora mudamos o
raio de posição
mantendo o seu
comprimento
X
Mais um radiano e
temos, agora, 3
radianos (3 rad)
VI
Agora o mesmo
raio na vertical
pronto para “deitar”
sobre a
circunferência
XI
Este arco pequeno
em vermelho
equivale a
aproximadamente
0,14 raio. 3 raios
mais 0,14 raios
temos  radianos
( rad)
VII
“Deitado” sobre a
circunferência, o
raio destaca um
arco igual ao seu
comprimento.
XII
Se em meia volta
temos  rad, em
uma volta
completa, temos 2
rad.
MATEMÁTICA I
3
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS


Medida de um arco: é a medida do
ângulo central que o subtende
independente do comprimento do raio
da circunferência.
 rad
180 º
rad
2

rad
12
15 º


Ex.1: Transformar 45º em radianos:
Resolução: vamos aplicar regra de três
simples sabendo que  rad equivale a
180º.
 rad
180 º
x
45 º
Grau: O arco unitário mais utilizado é
1
o grau que corresponde a 360 da
circunferência na qual se encontra o
arco a ser medido. Dessa forma, uma
circunferência tem 360º (graus ).
x
45 º  rad
180 º
x
Radiano: É o arco unitário cujo
comprimento é igual ao raio da
circunferência na qual se encontra o
arco a ser medido. Como o
comprimento da circunferência é
dado por C = 2r, há uma volta
completa em 2 rad (radianos).
Assim, 45 º 

4

4
rad
rad
Ex.2: Transformar

rad em graus:
6
Resolução: neste caso, basta lembrar
que  rad = 180º e substituir  por 180º.
Desta forma, é possível estabelecer uma
correspondência entre graus e radianos:

6
Assim,
CÁSSIO VIDIGAL
90 º


Medir é comparar o objeto a ser
medido com uma grandeza unitária e no
caso de ângulos não é diferente.

360 º

Comprimento de um arco: o
comprimento de um arco é dado em
uma medida linear (por exemplo,
centímetros, metros, etc.) em função
do ângulo central que o subtende e do
comprimento
do
raio
da
circunferência que o contém.
UNIDADES PARA MEDIR
ANGULOS

2 rad
4

6
rad 
 rad
6

180 º
 30 º
6
rad  30 º .
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c) 90º
01) Converta para radianos:
a) 60º
d) 135º
b) 30º
e) 270º
MATEMÁTICA I
5
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
f) 300 º
g) 330º
02) Converta em graus:
5
rad
a)
4
CÁSSIO VIDIGAL
b)
2
rad
3
c)
3
rad
2
d)
6

16
rad
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
e)
3
rad
5
03) Observe a figura abaixo:
O arco MN tem comprimento de 18 cm e
o raio da circunferência é 6 cm.
Determine em radianos e em graus a
medida do ângulo central .
f)
5
rad
6
MATEMÁTICA I
7
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
04) Um pêndulo tem 18 cm de
comprimento e, no seu movimento, suas
posições extremas formam um ângulo de
50º. Qual é o comprimento do arco que a
extremidade pêndulo descreve?
CÁSSIO VIDIGAL
05) O maior ponteiro de um relógio mede
12 cm. Qual o comprimento do arco que
a extremidade deste ponteiro percorre
durante 20 minutos?
8
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
06) Qual o ângulo entre os ponteiros de
um relógio que marca:
a) 3h 30min
c) 2h 42min
b) 9h 45min
MATEMÁTICA I
9
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
07)
08)
As duas polias da figura giram juntas por
estarem ligadas por uma correia
inextensível. Quantos graus deve girar a
menor para que a maior dê uma volta
completa?
Na figura acima, enquanto a
tartaruga pronunciava a pergunta, o
coelho distanciou 16,66m na pista
circular de 31,83m de raio. Determine a
medida, em graus, do arco descrito pelo
coelho neste intervalo de tempo.
CÁSSIO VIDIGAL
10
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
1. Ao número real x = 0, associamos o
ponto A, chamado de ORIGEM DO
CICLO;
CICLO TRIGONOMÉTRICO
O ciclo trigonométrico é uma
circunferência de raio unitário montada
sobre um sistema de eixos ortogonais
com centro na origem orientada no
sentido
anti-horário a
partir da
intersecção com o ramo positivo do eixo
horizontal.
2. A um número real x qualquer,
associamos um ponto P, final do
seguinte percurso sobre o ciclo:
 Partimos da origem A
 Se x > 0, percorremos o ciclo no
sentido anti-horário, chamado de
sentido positivo.
 Se x < 0, percorremos o ciclo no
sentido horário, chamado sentido
negativo;
 O comprimento total do percurso é
igual a | x |.
O sistema de eixos divide o ciclo
em quatro quadrantes.
A figura abaixo mostra
características descritas acima:
as
3. O ponto P, final do percurso, está
associado ao número x. Dizemos que
P é a imagem de x no ciclo.
No ciclo a seguir estão destacadas as

3
imagens dos números ,  ,
e 2 .
2
2
ASSOCIANDO NÚMEROS A
PONTOS DO CICLO
Cada número real x está
associado à um ponto do ciclo
trigonométrico.
Para
fazer
esta
associação,
adotamos
algumas
convenções. Acompanhe no ciclo da
figura:
Os pontos destacados acima,
além da própria origem do ciclo, não
estão em nenhum dos quadrantes. No
exemplo a seguir estão outros pontos,
agora fora dos eixos.
MATEMÁTICA I
11
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
Ao número
_____________________________

está associado o ponto P.
3
ARCOS CONGRUENTES
Observe, no ciclo a seguir, as

13
imagens de
e
no ciclo
6
6
trigonométrico:

 2
3
associado o ponto P.
Ao
Toda vez que um ponto é imagem
de dois arcos diferentes como foi o caso

13
de
e
, chamamos estes arcos de
6
6
côngruos ou congruentes.. Note que
todos os arcos côngruos diferente entre
si de um número múltiplo de 2 que é
exatamente o comprimento de uma volta.
também
está

 2  2 , mais uma vez está
3
associado o mesmo ponto P.
Ao número
Imaginando o ponto como um
móvel que se desloca sobre a
circunferência no sentido anti-horário,
teríamos que, na primeira figura ele

deslocou-se
ou 60º de A até P.
3
Veja, na próxima página, uma
situação que exemplifica o caso:
CÁSSIO VIDIGAL
número
12
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Na segunda figura, o ponto
deslocou-se uma volta inteira ( 2 ou

360º) mais
ou 60º, ou seja, deslocou3
7
se
ou 420º.
3
Na terceira figura, o ponto
deslocou-se duas voltas inteiras ( 2  2

ou 2  360 º ) e mais
ou 60º, ou seja,
3
13
deslocou-se
ou 780º.
3
Ex.2: Escrever a expressão geral dos
3
arcos côngruos a
rad.
4
Supondo que o ponto deslocasse
k voltas inteiras, o número associado à
extremidade B do arco AB será escrito da
seguinte forma:
_____________________________
Resolução:
A expressão geral é x  2k .
3
Como x 
, temos como expressão
4
3
geral
 2k , com k  Z
4
PRIMEIRA DETERMINAÇÃO
𝜋
+ 𝑘 ∙ 2𝜋 𝑜𝑢 60° + 𝑘 ∙ 360°, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ ℤ
3
Esta
expressão
forma
geral

extremidade .
3
é chamada
dos
arcos
A primeira determinação de um
arco é o menor arco não negativo
congruente ao arco dado, ou seja, é a
primeira imagem do arco no sentido antihorário a partia da origem do ciclo.
de
de
Veja nos exemplos a seguir:
A partir desta ideia, podemos
definir:
Ex.1: Qual a primeira determinação do
arco de 1320º?
Dois arcos são côngruos quando
suas medidas se diferem de um
múltiplo de 2 ou 360º.
Resolução:
Para encontrar a primeira determinação,
devemos dividir o arco dado por 360º. O
resto indicará a resposta procurada.
Ex.1: Escrever a expressão geral dos
arcos côngruos a 45º.
Resolução:
A expressão geral é   k  360 º .
Como   45 º , temos, como expressão
geral 45 º  k  360 º , com k  Z .
MATEMÁTICA I
13
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
Assim, 1320 º  240 º3  360 º
e a
primeira determinação é 240º.
Ex.2: Qual a primeira determinação do
arco de -750º?
10)
Localize,
mesmo
que
aproximadamente, a imagem de cada um
dos
números
abaixo,
no
ciclo
trigonométrico a seguir:
Resolução:
a)
Assim,
 750 º  330 º3  360 º
primeira determinação é 330º.
e

rad
3
11
c)
rad
6
8
e)
rad
3
a
5
rad
4
2
d)
rad
3
17 
f)
rad
6
b)
09)
Localize,
mesmo
que
aproximadamente, a imagem de cada um
dos
números
abaixo,
no
ciclo
trigonométrico a seguir:
a) 60º
b) 300º
c)120º
d) 240º
e) 405º
f) 840º
11) Indique a primeira determinação de
cada um dos arcos a seguir:
a) 685º
CÁSSIO VIDIGAL
14
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b) 780º
e) -400º
c) 1140º
f) -1310º
d) 850º
MATEMÁTICA I
g)
15
15 
rad
2
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
h)
10 
rad
3
i)
23 
rad
6
j)
k)
9
rad
2
l)
17 
rad
4
21
rad
5
12) Escreva a expressão geral dos arcos
congruentes aos arcos dados (dica:
encontre, antes, a primeira determinação
de cada arco)
a) 800º
CÁSSIO VIDIGAL
16
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b) 420º
13) Dê a expressão geral, em radianos,
dos arcos de extremidades nos pontos
indicados:
a)
c) 1640º
d)
9
rad
4
b)
e)
19 
rad
3
f)
33 
rad
5
MATEMÁTICA I
17
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
c)
b) Quais das quatro manobras descritas
têm giros que tornam a posição do skate
na reentrada da rampa igual à posição de
reentrada de um “stall 180”? Jutifique sua
resposta com base em conhecimentos
matemáticos.
14) No skate, muitas manobras do vert
(rampa em forma de U) têm no nome
números que indicam a rotação do skate
ou do atleta. Uma manobra como o “180
ollie frontside” consiste num giro de meiavolta do skate e do atleta no ar quando o
conjunto sai da rampa, voltando para ela
com o skate em uma nova posição.
Considerando apenas o nome das
manobras abaixo:
I) fakie 360
II) 540 McTwist
III) 720 McHawk
IV) 900 kwist
a) Descreva a rotação do skate em cada
caso:
CÁSSIO VIDIGAL
15) Convertendo
7
rad
4
em graus,
quanto obtemos?
18
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
16) Qual o comprimento de um arco
correspondente a um ângulo central de
60º contido numa circunferência de
1,5cm de raio?
18) Qual a expressão geral dos arcos
14
côngruos a
?
3
19) Em qual quadrante está a
extremidade do arco de 960º? E do arco
23 
rad ?
de
3
17) Qual a primeira determinação de
2650º?
MATEMÁTICA I
19
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
20) Observe a figura a seguir:
21) Ao projetar prédios muito altos, os
engenheiros devem ter em mente o
movimento de oscilação típico de
arranha-céus. Um prédio de 400m de
º
1 
altura pode oscilar até   . Qual o
2 
comprimento do arco descrito no ponto
mais alto de um prédio como este?
(Use  = 3,1)
No ciclo estão representadas as
extremidades de quatro arcos: M, N, P e
Q.
As
retas
tracejadas
são
perpendiculares entre si.
a) Escreva a expressão geral de cada um
dos arcos em radianos.
b) Escreva uma única expressão geral
que contenha os quatro pontos.
CÁSSIO VIDIGAL
20
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
23) “A imagem, no ciclo trigonométrico,
da soma de dois ou mais arcos coincide
com a imagem da soma da primeira
determinação dos arcos”.
A afirmativa acima é falsa ou verdadeira?
Justifique.
22) Qual a medida, em radianos do arco
descrito pelo ponteiro maior de um
relógio quando o menor descreve um

arco de
rad ?
12
MATEMÁTICA I
21
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
As questões 24 a 28 vão levar você a
deduzir uma fórmula interessante.
Faça as questões, em sequência, sem
saltar nenhum item.
24) No círculo abaixo, desenhe o ponteiro
DAS HORAS de um relógio quando são
zero horas.
25) No círculo abaixo, desenhe o ponteiro
DAS HORAS de um relógio quando são
zero horas.
Na mesma figura, destaque a posição do
ponteiro DAS HORAS 20 MINUTOS
depois deste instante?
Na mesma figura, desenhe o ponteiro
DAS HORAS agora marcando 7 horas.
a) Qual o ângulo, em graus, que
representa o deslocamento do ponteiro?
a) Qual o ângulo, em graus, que
representa o deslocamento do ponteiro?
b) Esse deslocamento é proporcional ao
número de horas?
b) Esse deslocamento é proporcional ao
número de minutos?
c) Qual a expressão que descreve a
quantidade de graus do deslocamento
deste ponteiro em função da quantidade
de minutos?
c) Qual a expressão que descreve a
quantidade de graus do deslocamento
deste ponteiro em função da quantidade
de horas?
CÁSSIO VIDIGAL
22
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
26) No círculo abaixo, desenhe o ponteiro
DOS MINUTOS de um relógio quando
são zero horas.
27) Qual o ângulo entre os ponteiros do
relógio quando são 7 horas e vinte
minutos?
Na mesma figura, desenhe o ponteiro
DOS MINUTOS, 20 minutos depois.
a) Qual o ângulo, em graus, que
representa o deslocamento do ponteiro?
b) Esse deslocamento é proporcional ao
número de minutos?
c) Qual a expressão que descreve a
quantidade de graus do deslocamento
deste ponteiro em função da quantidade
de minutos?
MATEMÁTICA I
23
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
28) Demonstre a fórmula que determina
o ângulo entre os ponteiros de um relógio
dadas suas posições. A seguir, descreva
como utilizar tal fórmula.
SENO E COSSENO DE
ÂNGULOS MAIORES QUE 90º
Vamos lidar, aqui, com senos e
cossenos de ângulos que medem mais
de 90º (até 180º). Como ainda não
conceituamos tais informações, vamos
trabalhar de forma prática e, na apostila
11, fundamentaremos tais conceitos.
Temos que saber, em princípio,
que:
𝑠𝑒𝑛90° = 1
𝑐𝑜𝑠90° = 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝑥)
𝑠𝑒 90° ≤ 𝑥 ≤ 180°
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠(180° − 𝑥)
𝑠𝑒 90° ≤ 𝑥 ≤ 180°
Ex. Vamos
cos120º.
determinar
sen120º
e
Resolução:
sen120º  sen 180º 120º  
 sen 60º 
3
2
cos120º   cos 180º 120º  
  cos60º  
Assim: sen120º 
CÁSSIO VIDIGAL
24
1
2
3
1
e cos120º  
2
2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
30) Obtenha o valor de cada uma das
expressões:
a) sen20º  sen160º  cos44º  cos136º
29) Obtenha o valor de:
a) sen135º
b) cos135º
c) sen150º
b) sen10º  cos50º  cos130º  sen170º
d) cos150º
MATEMÁTICA I
25
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
Ex.2: Num triângulo ABC, o lado BC
mede 5cm, A = 48º e B 25º. Calcular a
medida aproximada do lado AB. (Utilize a
LEI DOS SENOS
Em todo triângulo, os lados são
proporcionais aos senos dos ângulos
opostos a eles.
tabela que está na página 16 da apostila 9.)
Resolução:
Pela Lei dos Senos
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶
𝐵𝐶
𝐴𝐶
𝐴𝐵
=
=
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝐶
Do enunciado, temos o lado BC (5cm) e
queremos o lado AB, logo precisamos
dos ângulos A e C.
𝐴̂ + 𝐵̂ + 𝐶̂ = 180°
48° + 25° + 𝐶̂ = 180°
𝐶̂ = 107°
Ex1. Em um triângulo isósceles, a base
mede 6cm e o ângulo oposto à base
mede 120º. Calcule a medida dos outros
dois lados do triângulo.
Aplicando a lei dos senos
Resolução:
𝐵𝐶
𝐴𝐵
=
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝐶
5
𝐴𝐵
=
𝑠𝑒𝑛 48° 𝑠𝑒𝑛 107°
Pela Lei dos senos
6
𝑥
=
𝑠𝑒𝑛 120° 𝑠𝑒𝑛 30°
6
=
𝑥
1⁄
2
√3⁄
2
𝑥√3
=3
2
𝑥 √3 = 6
6 √3
𝑥=
∙
√3 √3
𝑥 = 2√3
Resposta: 2√3 cm
CÁSSIO VIDIGAL
26
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
(Observe a nota de rodapé1 )
5
𝐴𝐵
=
0,743 0,956
𝐴𝐵 =
5 ∙ 0,956
0,743
AB = 6,43
Resposta: o lado AB mede 6,43 cm
32) Num triângulo ABC são dados
A = 45º, B = 30º e a + b = 2  1 . Calcule
o valor de a.
31) No triângulo da figura abaixo,
encontre as medidas de b e c
1
Como vimos na página 24 desta
apostila,
𝑠𝑒 90° ≤ 𝑥 ≤ 180°,
então
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝑥)
MATEMÁTICA I
27
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
b)
c)
33) Use da tabela da página 16 da
apostila 9 e determine o valor aproximado
de x em cada caso:
a)
CÁSSIO VIDIGAL
34) A figura mostra um triângulo
isósceles de base BC. Calcule a medida
da base BC admitindo-se conhecidos m,
 e .
28
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
35) Na figura, calcule o comprimento do
segmento AB em função de m e .
LEI DOS COSSENOS
Em todo triângulo, o quadrado de
qualquer um dos lados é igual à soma
dos quadrados dos outros dois, diminuída
do dobro do produto desses lados pelo
cosseno do ângulo por eles formado.
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴
Ex.1: Calcule o comprimento do lado AB
no triângulo abaixo:
Resolução:
Da lei dos cossenos:
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝐶
𝑐 2 = 102 + 182 − 2 ∙ 10 ∙ 18 ∙ cos 120°
1
𝑐 2 = 100 + 324 − 360 ∙ (− )
2
𝑐 2 = 424 + 180
𝑐 = √604
𝑐 = 2√151
Resposta: O lado AB mede 2√151 u.c.
MATEMÁTICA I
29
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
Ex.2 O ângulo agudo de um losango
mede 20º e seus lados medem 5cm.
Quanto mede a diagonal menor deste
losango?
Resolução:
d 2  52  52  2  5  5  cos 20º
37) Calcule x na figura abaixo:
d 2  25  25  50  0,94
d2  3
d 3
d  1,7cm
Resposta:
a diagonal menor mede
aproximadamente 1,7cm
38) Na figura abaixo, são dados (em
centímetros) os comprimentos dos lados
a, b além da medida do ângulo C. Calcule
o comprimento do lado c.
a4
b3 2
C  45º
36) Calcule o comprimento da diagonal
maior do losango do exemplo 2 acima.
CÁSSIO VIDIGAL
30
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
39) Dois lados consecutivos de um
paralelogramo medem 10cm e 14 cm e
formam um ângulo de 60º. Determine:
a) A medida das diagonais.
b) A área do paralelogramo.
MATEMÁTICA I
40) Duas forças de intensidade F1 = 8N e
F2 = 12N formam entre si um ângulo de
60º. Qual a intensidade de R resultante
destas forças?
31
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
41) Um corredor A está numa reta r e
corre sobre ela no sentido AX. Um
corredor B não está sobre r e, correndo
em linha reta, pretende alcançar A.
Sendo a partida simultânea, que direção
deve tomar B se as velocidades de
ambos são conhecidas?
Considere BÂX = 110º, velocidade de A
igual a 8 m/s e velocidade de B igual a
9m/s. Determine o ângulo que a trajetória
de B deve fazer com a reta BA para\que
o encontro seja possível.
CÁSSIO VIDIGAL
42) Quanto vale o ângulo do vértice de
um triângulo isósceles cuja base tem
comprimento igual a um terço da medida
dos lados congruentes?
32
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
43) Na figura, Bé ponto médio de DE e
ABCD é um retângulo de lados DC = 1 e
AD = 2. Determine AE.
MATEMÁTICA I
33
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
e) 320º
3
rad
g)
2
11
rad
i)
6
RESPOSTAS
01)
02)

rad
3

c) rad
2
3
rad
e)
2
11
rad
g)
6

rad
6
3
rad
d)
4
5
rad
f)
3
a)
b)
a) 225º
c) 270º
e) 108º
3 rad ou (540/)º
04)
Aproximadamente 15,7 cm
05)
Aproximadamente 25,2 cm
06)
a) 75º
c) 171º
30º
08)
600º
12)
b) 120º
d) 11º 15’
f) 150º
03)
07)
k)

rad
2
f) 130º
4
rad
h)
3

rad
5

l) rad
4
j)
a)   80 º k  360 º , com k  Z
b)   60 º k  360 º , com k  Z
c)   200 º k  360 º , com k  Z
d)  
e)  

4
 2k , com k  Z

 2k , com k  Z
3
3
 2k , com k  Z
f)  
5
13)
b) 22,5º ou 22º 30’
a)  
b)  

6
 2k , com k  Z

 k , com k  Z
4
5
 2k , com k  Z
c)  
6
09)
14)
a) Fakie 360: giro de uma volta
completa.
540 McTwist: giro de uma volta
completa mais meia-volta.
720 McHawk: giro de duas voltas
completas.
900 kwist: giro de duas voltas
completas mais meia-volta.
b) 540 McTwist e 900 kwist
15)
325º
10)
16)
17)
11)
a) 325º
c) 60º
CÁSSIO VIDIGAL

2
cm
130º
b) 60º
d) 130º
34
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
18)

2
 2k , com k  Z
3
19)
III Quad. e IV Quad.
20)
a)
M: 
39)
40)
41)

 2k , com k  Z
3
5
N: 
 2k , com k  Z
6
4
P: 
 2k , com k  Z
3
11
Q: 
 2k , com k  Z
6
 k
, com k  Z
b)   
3 2
42)
43)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE,
Luiz
Roberto;
Matemática, Volume único. São Paulo,
Atica, 2005.
IEZZI,
Gelson
e
outros;
Matemática, Volume único. São Paulo,
21)
3,44 metros.
22)
 rad
Atual, 2002.
IEZZI,
Gelson
e
outros;
23)
Fundamentos da Matemática Elementar,
24)
Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição,
25)
1977.
PAIVA,
26)
Manoel;
Matemática;
Volume 1. São Paulo, Moderna, 1995.
27)
28)
A figura da página 09 (exercício 07) foi extraída
29)
do livro Matemática, Volume único de Gelson
30)
Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn e
Roberto Périgo.
31)
32)
Link para os vídeos sugeridos:
33)
Pág. 27
www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/leidos-senos
34)
35)
Pág. 30
www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/leidos-cossenos
36)
37)
38)
MATEMÁTICA I
35
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS