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ESTATÍSTICA
Aula 4- Medidas de Posição
Prof. Dra. Denise Candal
ESTATÍSTICA
Conteúdo Programático desta aula
Medidas de Posição:
Média
Mediana
Moda
Quartis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Concentração de
Valores
Em uma distribuição, podemos
identificar tendências com relação a
maior concentração de valores.
Se esta concentração se localiza no
inicio, meio ou fim, ou ainda se
existe uma distribuição por igual.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as
tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as
tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência
Central
Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Percentis
As medidas de posição são estatísticas que
nos orientam quanto a posição em relação
ao eixo horizontal.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as
tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as
tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Dispersão
Medidas
De
Variabilidade
Ou
Dispersão
Amplitude Total
Variância
Desvio Padrão
Coeficiente de Variação
As medidas de dispersão mostram o grau de
afastamento dos valores observados em
relação àquele valor representativo.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as
tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as
tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Assimetria
As medidas de assimetria possibilitam analisar uma
distribuição de acordo com as relações entre suas medidas
de moda, média e mediana, quando observadas
graficamente.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as
tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as
tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medida de Curtose
Curtose é o grau de achatamento de uma distribuição com
relação a uma distribuição padrão, dita normal.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
• Dados não agrupados
• Dados agrupados sem
intervalos de classe
• Dados agrupados com
intervalos de classe
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
• Dados não agrupados
• Dados agrupados sem
intervalos de classe
• Dados agrupados com
intervalos de classe
A produção leiteira
diária de uma vaca,
durante uma semana,
foi de
10,14,13,15,16,18 e
12 litros.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
• Dados não agrupados
• Dados agrupados sem
intervalos de classe
• Dados agrupados com
intervalos de classe
Distribuição relativa a 34
famílias de quatro filhos.
Número de
fi
Meninos
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
∑=34
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
• Dados não agrupados
• Dados agrupados sem
intervalos de classe
• Dados agrupados com
intervalos de classe
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA
FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
total
FREQUÊNCIA
4
9
11
8
5
3
40
Dados fictícios.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as
tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as
tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência
Central
Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência
Central
Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Percentis
As medidas de posição são estatísticas que
nos orientam quanto a posição em relação
ao eixo horizontal.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência
Central
Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de tendência central são aquelas nas
quais os dados observados tendem a se
agrupar em torno dos valores centrais.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência
Central
Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Média: Dados não Agrupados
Média aritmética simples
x

x
Valores da variável
i
n
Número de valores
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Desvio em relação a Média
Desvio em relação a média (di): diferença entre cada
elemento de um conjunto de valores e a média
aritmética .
di  xi  x
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 1: Vaca
A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana,
foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros.
Determine a produção média da semana.
Determine também o desvio em relação a média dos valores
dados.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 1: Vaca
x

x
i
n
10  14  13  15  16  18  12
x
7
98
x
7
x  14
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
d1  x1  x  10  14  4
d 2  x2  x  14  14  0
x  14
d 3  x3  x  13  14  1
d 4  x4  x  15  14  1
d 5  x5  x  16  14  2
d 6  x6  x  18  14  4
d 7  x7  x  12  14  2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Média: Dados Agrupados
• Frequências indicam a intensidade de cada
variável: funcionam como fatores de
ponderação (média aritmética ponderada).
• Média Ponderada: é a média de um conjunto
de dados cujas entradas têm pesos
variáveis.
xw

x
w
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Média: Dados Agrupados Sem
Intervalos de Classe
Variável da i-ésima classe
x f

x
f
i i
i
Frequência absoluta da i-ésima classe
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Média: Dados Agrupados Com
Intervalos de Classe
Dados organizados em distribuição de freqüência
Ponto médio da i-ésima classe
x f

x
f
i i
i
Frequência absoluta da i-ésima classe
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 2: Filhos
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de
quatro filhos, considerando como variável o
número de filhos do sexo masculino. Determine a
média aritmética ponderada da distribuição.
Número de meninos
0
1
2
3
4
fi
2
6
10
12
4
∑=34
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 2: Filhos
Número de
meninos xi
0
1
2
3
4
f
i
2
6
10
12
4
∑=34
xi fi
x f

x
f
i i
i
∑=
Média ?
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 2: Filhos
Número de
meninos xi
0
1
2
3
4
f
i
2
6
10
12
4
∑=34
x f

x
f
i i
xi fi
0
6
20
36
16
∑=78
Média
i
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 2: Filhos
Número de
meninos xi
0
1
2
3
4
f
xf

x
f
i i
i
xi fi
i
2
6
10
12
4
∑=34
0
6
20
36
16
∑=78
78

 2,3
34
Média
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 3: Alturas
Determine a média
das alturas.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA
FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
FREQUÊNCIA
(cm)
150
154
158
162
166
170
‫—׀‬
‫—׀‬
‫—׀‬
‫—׀‬
‫—׀‬
‫—׀‬
154
158
162
166
170
174
total
Dados fictícios.
4
9
11
8
5
3
40
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
FREQUÊNCIA
PONTO
(cm)
fi
MÉDIO xi
xifi
150 ‫ —׀‬154
4
154 ‫ —׀‬158
9
158 ‫ —׀‬162
11
162 ‫ —׀‬166
8
166 ‫ —׀‬170
5
170 ‫ —׀‬174
3
total
40
∑=
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
No Excel
43
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
No Excel
44
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
FREQUÊNCIA
PONTO
(cm)
fi
MÉDIO xi
xifi
150 ‫ —׀‬154
4
154 ‫ —׀‬158
9
158 ‫ —׀‬162
11
162 ‫ —׀‬166
8
166 ‫ —׀‬170
5
170 ‫ —׀‬174
3
total
40
∑=
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
FREQUÊNCIA
PONTO
(cm)
fi
MÉDIO xi
xifi
150 ‫ —׀‬154
4
152
154 ‫ —׀‬158
9
156
158 ‫ —׀‬162
11
160
162 ‫ —׀‬166
8
164
166 ‫ —׀‬170
5
168
170 ‫ —׀‬174
3
172
total
40
∑=
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
FREQUÊNCIA
PONTO
(cm)
fi
MÉDIO xi
xifi
150 ‫ —׀‬154
4
152
608
154 ‫ —׀‬158
9
156
1404
158 ‫ —׀‬162
11
160
1760
162 ‫ —׀‬166
8
164
1312
166 ‫ —׀‬170
5
168
840
170 ‫ —׀‬174
3
172
516
total
∑=40
∑=6440
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
FREQUÊNCIA
PONTO
(cm)
fi
MÉDIO xi
xifi
150 ‫ —׀‬154
4
152
608
154 ‫ —׀‬158
9
156
1404
158 ‫ —׀‬162
11
160
1760
162 ‫ —׀‬166
8
164
1312
166 ‫ —׀‬170
5
168
840
170 ‫ —׀‬174
3
172
516
total
∑=40
∑=6440
xf

x
f
i i
i
6440

 161
40
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência
Central
Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência
Central
Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Moda
O valor da variável que aparece em maior frequência em
uma série de valores.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Moda: Dados não Agrupados
Um conjunto de dados pode ter:
• Nenhuma moda (amodal) – nenhum valor aparece mais
vezes que outros.
• Uma moda (unimodal)
• Duas ou mais modas (multimodal) – dois ou mais valores
de concentração.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Moda: Dados não Agrupados
O valor da variável de maior frequência
Exercício 1: Vaca
A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma
semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros.
Determine a moda.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Moda: Dados Agrupados Sem
Intervalo de Classe
O valor da variável de maior frequência
Exercicio 2:
Filhos
Moda?
Número de meninos
0
1
2
3
4
fi
2
6
10
12
4
∑=34
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Moda: Dados Agrupados Com
Intervalo de Classe
• Classe modal: a classe que apresenta maior frequencia.
• Moda bruta: valor resultante do método mais simples para o
cálculo da moda – toma-se o ponto médio da classe modal.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Graficamente, a moda é o valor de x para o qual y é máximo.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 2: Filhos
Considere a
distribuição
relativa a 34
famílias de
quatro filhos,
considerando
como variável o
número de filhos
do sexo
masculino.
Número de
meninos xi
0
1
2
3
4
f
i
2
6
10
12
4
∑=34
xi fi
0
6
20
36
16
∑=78
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 2: Filhos
Número de
meninos xi
0
1
Classe Modal 2
3
4
f
i
2
6
10
12
4
∑=34
xi fi
0
6
20
36
16
∑=78
Moda= 3
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
FREQUÊNCIA
PONTO
(cm)
fi
MÉDIO xi
xifi
150 ‫ —׀‬154
4
152
608
154 ‫ —׀‬158
9
156
1404
158 ‫ —׀‬162
11
160
1760
162 ‫ —׀‬166
8
164
1312
166 ‫ —׀‬170
5
168
840
170 ‫ —׀‬174
3
172
516
total
∑=40
∑=6440
Exercício 3: Alturas
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 3: Alturas
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
FREQUÊNCIA
PONTO
(cm)
fi
MÉDIO xi
xifi
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
total
4
9
11
8
5
3
∑=40
152
156
160
164
168
172
608
1404
1760
1312
840
516
∑=6440
Moda= 160
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência
Central
Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência
Central
Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana
• A mediana é um valor central de um rol, ou
seja, a mediana de um conjunto de valores
ordenados (crescente ou decrescente) é a
medida que divide este conjunto em duas
partes iguais.
• Dado um conjunto ordenado de valores,
mediana é o o valor situado de tal maneira que
este valor separa o conjunto em dois
subconjuntos com mesmo numero de
elementos.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana – Dados não Agrupados
• para n ímpar: o termo de ordem
n 1
2
• para n par: a media aritmética dos termos de ordem
e n 1
n
2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 1: Vaca
A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma
semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros.
10 12 13 14 15 16 18
1
2
3
4
5
6
7
mediana
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana – Dados Agrupados Sem
Intervalos de Classe
Valor da variável correspondente a frequência
acumulada imediatamente superior à metade da
soma das frequências.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 2: Filhos
Considere a
distribuição
relativa a 34
famílias de quatro
filhos,
considerando como
variável o número
de filhos do sexo
masculino.
Número de
meninos xi
0
1
2
3
4
f
i
Fi
2
6
10
12
4
∑=34
Moda=?
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 2: Filhos
Considere a distribuição
relativa a 34 famílias
de quatro filhos,
considerando como
variável o número de
filhos do sexo
masculino.
Moda=?
Frequencia acumulada
imediatamente superior a
Número de
meninos xi
0
1
2
3
4
f
f
i
2
6
10
12
4
∑=34
Fi
2
8
18
30
34
i
2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 2: Filhos
Considere a distribuição
relativa a 34 famílias
de quatro filhos,
considerando como
variável o número de
filhos do sexo
masculino.
Moda=?
Frequencia acumulada
imediatamente superior a
Número de
meninos xi
0
1
2
3
4
f
i
2
6
10
12
4
∑=34
Fi
2
8
18
30
34
34
 17
2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 2: Filhos
Considere a distribuição
relativa a 34 famílias
de quatro filhos,
considerando como
variável o número de
filhos do sexo
masculino.
Moda=?
Frequencia acumulada
imediatamente superior a
Número de
meninos xi
0
1
2
3
4
f
i
2
6
10
12
4
∑=34
Fi
2
8
18
30
34
34
 17
2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana – Dados Agrupados Com Intervalos
de Classe
• determinar as frequências acumuladas
• calcular
f
i
2
• identificar a classe mediana: a classe correspondente a
frequência acumulada imediatamente superior a  f i
2
• empregar a formula:
  fi
 *
 F (ant ) h

2


*
Md  l 
*
f
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
total
FREQUÊNCIA
fi
4
9
11
8
5
3
∑=40
FREQUENCIA
ACUMULADA Fi
identificar a classe mediana: a classe correspondente a
frequência acumulada imediatamente superior a  f i
2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
total
FREQUÊNCIA
fi
4
9
11
8
5
3
∑=40
FREQUENCIA
ACUMULADA Fi
4
13
24
32
37
40
f
i

2
40


2
 20
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
total 


FREQUÊNCIA
fi
4
9
11
8
5
3
fi
∑=40  *
FREQUENCIA
ACUMULADA Fi
4
13
24
32
37
40
f
i

2
40


2
 20
 F (ant ) h
2

20  134


*
Md  l 
 158 
 160,54
*
f
11
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência
Central
Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Percentis
A mediana, além de representar uma série de
valores com relação a posição central, separa
a série de valores em dois grupos que
apresentam o mesmo número de valores.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência
Central
Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Mediana
Quartis
Percentis
As separatrizes não são medidas de tendência central,
mas têm a ver com a segunda característica da
mediana. As separatrizes são medidas que se
baseiam em sua posição na série.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Fractis
• Números que dividem um conjunto ordenado de dados
em partes iguais.
• A mediana é um fractil, pois divide um conjunto
ordenado de dados em duas partes iguais.
• Os quartis, decis e percentis são outros tipos de fractis,
que dividem o conjunto de dados respectivamente em
quatro, dez e cem partes iguais.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
Quartis são os valores de uma série de dados ordenados
que a divide em quatro partes iguais.
0%
25%
50%
75%
Q1
Q2=Md
Q3
100%
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
 (Q1) Primeiro Quartil – valor cuja posição na série
é tal que a quarta parte (25%) dos dados é menor
do que ele e as três quartas partes restantes (75%)
são maiores que ele.
 (Q2) Segundo Quartil – coincide com a mediana.
(Q2=Md)
 (Q3) Terceiro Quartil – valor cuja posição na série
é tal que três quartas partes (75%) dos termos são
menores que ele e uma quarta parte (25%) é
maior.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela
substituição na formula da mediana de  f i por k  f i
4
2
onde k é o número de ordem do quartil.
  fi
 *
 F (ant ) h

2


*
Md  l 
f*
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela
substituição na formula da mediana de  f i por k  f i
4
2
onde k é o número de ordem do quartil.
  fi
 *
 F (ant ) h

4


*
Q1  l 
f*
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela
substituição na formula da mediana de  f i por k  f i
4
2
onde k é o número de ordem do quartil.
 2 f i
 *
 F (ant ) h

4


*
Q2  l 
f*
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela
substituição na formula da mediana de  f i por k  f i
4
2
onde k é o número de ordem do quartil.
 3 f i
 *
 F (ant ) h

4


*
Q3  l 
*
f
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
  fi
 *
 F (ant ) h

4


*
Q1  l 
f*
Primeiro Quartil
 2 f i
 *
 F (ant ) h

4


*
Q2  l 
f*
Segundo Quartil
 3 f i
 *
 F (ant ) h

4


*
Q3  l 
f*
Terceiro Quartil
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Decil
 Decis ( P1, P2,...P9) são os 9 valores que separam
uma série de dados em 10 partes iguais.
 Observação:
P5=Md
 Dados agrupados: o cálculo dos percentis se dá pela
f

substituição na formula da mediana de
2
k  fi
i
por
onde k é o número de ordem do percentil.
10
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Percentil
 Percentis ( P1, P2,...P99) são os 99 valores que
separam uma série de dados em 100 partes iguais.
 Observação:
P50=Md
P25=Q1
P75=Q3
 Dados agrupados: o cálculo dos percentis se dá pela
substituição na formula da mediana de
k  fi
100
 f por
i
2
onde k é o número de ordem do percentil.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
  fi
 *
 F (ant ) h

2


*
Md  l 
*
f
Mediana
 k  fi
 *
 F (ant ) h

4


*
Qk  l 
f*
Quartis
 k  fi
 *
 F (ant ) h

100


*
Pk  l 
f*
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 4: Dados não agrupados
Calcule os quartis da série:
{ 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 4: Dados não agrupados
{ 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }
 Ordenando:{ 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }
 O valor que divide a série acima em duas partes
iguais é igual a 9, logo a Md = 9 = Q2.
 Dois grupos de valores: {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 }
 Para o calculo do quartil 1 e 3 basta calcular as
medianas dos dois grupos de valores.
 Em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 , o quartil 1
 Em {10, 13, 15 } a mediana é =13 , o quartil 3
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 5: Dados não agrupados
Calcule os quartis da série:
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 5: Dados não agrupados
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }
 A série ordenada.
 Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5
 Quartil 1 = mediana da série à esquerda de Md :
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5 }
Q1 = (2+3)/2 = 2,5
 Quartil 3 = a mediana da série à direita de Md :
{6, 7, 9, 9, 10, 13 }
Q3 = (9+9)/2 = 9
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 6: Dados Agrupados
Determine os quartis.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA
FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
FREQUÊNCIA
(cm)
150
154
158
162
166
170
‫—׀‬
‫—׀‬
‫—׀‬
‫—׀‬
‫—׀‬
‫—׀‬
154
158
162
166
170
174
total
Dados fictícios.
4
9
11
8
5
3
40
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
total
FREQUÊNCIA
fi
4
9
11
8
5
3
∑=40
FREQUENCIA
ACUMULADA Fi
Classe mediana: a classe correspondente a frequência
acumulada imediatamente superior a  f i
2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
total
FREQUÊNCIA
fi
4
9
11
8
5
3
∑=40
FREQUENCIA
ACUMULADA Fi
4
13
24
32
37
40
f
i

2
40


2
 20
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
total 


FREQUÊNCIA
fi
4
9
11
8
5
3
fi
∑=40  *
FREQUENCIA
ACUMULADA Fi
4
13
24
32
37
40
f
i

2
40


2
 20
 F (ant ) h
2

20  134


*
Md  l 
 158 
 160,54
*
f
11
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
total 
f


FREQUÊNCIA
fi
4
9
11
8
5
3
∑=40  *
FREQUENCIA
ACUMULADA Fi
4
13
24
32
37
40
f
i

4
40


4
 10
 F (ant ) h
4

10  134


*
Q1  l 
 154 
 152,67
*
f
9
i
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
total
FREQUÊNCIA
fi
4
9
11
8
5
3
∑=40
FREQUENCIA
ACUMULADA Fi
4
13
24
32
37
40
3 f i

4
3.40


4
 30
 3 f i
 *
 F (ant ) h

4

30  244


*
Q3  l 
 162 
 165
*
f
8
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
total
Q1  152,57
FREQUÊNCIA
fi
4
9
11
8
5
3
∑=40
FREQUENCIA
ACUMULADA Fi
4
13
24
32
37
40
Q 2  Md  160,54
Q3  165
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS
(cm)
150 ‫ —׀‬154
154 ‫ —׀‬158
158 ‫ —׀‬162
162 ‫ —׀‬166
166 ‫ —׀‬170
170 ‫ —׀‬174
FREQUÊNCIA
fi
4
9
11
8
5
3
total
∑=40
0%
25%
50%
Q1
152,57
Q2=Md
160,54
FREQUENCIA
ACUMULADA Fi
4
13
24
32
37
40
75%
100%
Q3
165
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercícios
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
Considere a tabela abaixo de
nascidos vivos segundo
peso ao nascer. Determine
a média, a mediana e a
moda da distribuição.
PESO
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
4,0 ‫ —׀‬4,5
4,5 ‫ —׀‬5,0
Total
FREQUÊNCIA
3
16
31
34
11
4
1
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
• Com intervalo de classe
• Moda?
• Classe Modal: aquela que
apresenta maior
frequência.
• Ponto médio da classe
modal.
PESO
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
4,0 ‫ —׀‬4,5
4,5 ‫ —׀‬5,0
Total
FREQUÊNCIA
3
16
31
34
11
4
1
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
• Com intervalo de classe
• Moda?
• Classe Modal: aquela que
apresenta maior
frequência.
• Ponto médio da classe
modal.
PESO
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
4,0 ‫ —׀‬4,5
4,5 ‫ —׀‬5,0
Total
FREQUÊNCIA
3
16
31
34
11
4
1
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
• Com intervalo de classe
• Moda?
• Classe Modal: aquela que
apresenta maior
frequência.
• Ponto médio da classe
modal.
PESO
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
4,0 ‫ —׀‬4,5
4,5 ‫ —׀‬5,0
Total
FREQUÊNCIA
3
16
31
34
11
4
1
3,0  3,5 6,5
x4 

 3,25
2
2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
• Com intervalo de classe
• Média?
• Ponto Médio?
x f

x
f
i i
PESO
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
4,0 ‫ —׀‬4,5
4,5 ‫ —׀‬5,0
Total
FREQUÊNCIA
3
16
31
34
11
4
1
i
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
• Com intervalo de classe
• Média?
PESO
• Ponto Médio?
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
xi f i
4,0 ‫ —׀‬4,5
x
4,5 ‫ —׀‬5,0
fi


Total
fi
3
16
31
34
11
4
1
xi
xifi
∑=100
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
• Com intervalo de classe
• Média?
PESO
• Ponto Médio?
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
xi f i
4,0 ‫ —׀‬4,5
x
4,5 ‫ —׀‬5,0

f
i
Total
fi
3
16
31
34
11
4
1
xi
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
xifi
∑=100
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
x f

x
f
i i
i
300
x
3
100
PESO
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
4,0 ‫ —׀‬4,5
4,5 ‫ —׀‬5,0
fi
3
16
31
34
11
4
1
Total
∑=100
xi
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
xifi
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
∑=300
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
• Mediana?
• Classe mediana:
aquela
correspondente
a frequência
acumulada
imediatamente
superior a  f i
2
PESO
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
4,0 ‫ —׀‬4,5
4,5 ‫ —׀‬5,0
fi
3
16
31
34
11
4
1
Total
∑=100
xi
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
xifi
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
∑=300
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
• Mediana?
• Classe mediana:
aquela
correspondente
a frequência
acumulada
imediatamente
superior a  f i
2
f
2
i
100

 50
2
PESO
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
4,0 ‫ —׀‬4,5
4,5 ‫ —׀‬5,0
fi
3
16
31
34
11
4
1
Total
∑=100
xi
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
xifi
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
∑=300
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
• Mediana?
• Classe mediana:
aquela
correspondente
a frequência
acumulada
imediatamente
superior a  f i
2
f
2
i
100

 50
2
PESO
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
4,0 ‫ —׀‬4,5
4,5 ‫ —׀‬5,0
fi
3
16
31
34
11
4
1
Total
∑=100
xi
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
xifi
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
∑=300
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
Classe mediana: classe correspondente
a frequência
PESO
fi
acumulada
1,5 ‫ —׀‬2,0
3
imediatamente
2,0 ‫ —׀‬2,5
16
superior a
2,5 ‫ —׀‬3,0
31
3,0 ‫ —׀‬3,5
34
3,5 ‫ —׀‬4,0
11
4,0 ‫ —׀‬4,5
4
f i 100
1

 50 4,5 ‫ —׀‬5,0

2
2
Total
∑=100
xi
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
xifi
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
Fi
3
19
50
84
95
99
100
∑=300
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
OBSERVAÇÃO: Se existir uma frequência acumulada
exatamente igual a  f i
2
a mediana será o limite superior da classe
correspondente.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
Classe mediana: classe correspondente
a frequência
PESO
fi
acumulada
1,5 ‫ —׀‬2,0
3
imediatamente
2,0 ‫ —׀‬2,5
16
superior a
2,5 ‫ —׀‬3,0
31
3,0 ‫ —׀‬3,5
34
f i 100
3,5 ‫ —׀‬4,0
11

 50 4,0 ‫ —׀‬4,5
4
2
2
4,5 ‫ —׀‬5,0
1

Total
∑=100
xi
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
xifi
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
Fi
3
19
50
84
95
99
100
∑=300
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
PESO
1,5 ‫ —׀‬2,0
2,0 ‫ —׀‬2,5
2,5 ‫ —׀‬3,0
3,0 ‫ —׀‬3,5
3,5 ‫ —׀‬4,0
4,0 ‫ —׀‬4,5
4,5 ‫ —׀‬5,0
fi
3
16
31
34
11
4
1
Total
∑=100
xi
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
xifi
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
Fi
3
19
50
84
95
99
100
∑=300
  fi
 *
 F (ant ) h

2

50  190,5


*
Md  l 
 2,5 
 3,0
*
f
31
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e
Q3), a mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
1
2
3
4
5
7 ‫ —׀‬17
17 ‫ —׀‬27
27 ‫ —׀‬37
37 ‫ —׀‬47
47 ‫ —׀‬57
6
15
20
10
5
total
∑=56
Fi
classe mediana: a classe correspondente a frequência
acumulada imediatamente superior a  f i
2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e
Q3), a mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7 ‫ —׀‬17
17 ‫ —׀‬27
27 ‫ —׀‬37
37 ‫ —׀‬47
47 ‫ —׀‬57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
total
∑=56
f
2
i
56

 28
2
Classe mediana
classe mediana: a classe correspondente a frequência
acumulada imediatamente superior a  f i
2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e
Q3), a mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7 ‫ —׀‬17
17 ‫ —׀‬27
27 ‫ —׀‬37
37 ‫ —׀‬47
47 ‫ —׀‬57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
f


total
f
2
i
56

 28
2
Classe mediana
 *
 F (ant ) h
2

28  2110


*
Md  l 
 27 
 30,5
*
f
20
i
∑=56
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e
Q3), a mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7 ‫ —׀‬17
17 ‫ —׀‬27
27 ‫ —׀‬37
37 ‫ —׀‬47
47 ‫ —׀‬57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
f


total
f
4
i
56

 14
4
Classe Q1
 *
 F (ant ) h
4

14  610


*
Q1  l 
 17 
 22,33
*
f
15
i
∑=56
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e
Q3), a mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7 ‫ —׀‬17
17 ‫ —׀‬27
27 ‫ —׀‬37
37 ‫ —׀‬47
47 ‫ —׀‬57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56

f ∑=56

 F (ant ) h

total 
4

Q3  l 
i

*
f*
*
3 f i
4
3.56

 42
4
Classe Q3

42  4110
 37 
 38
10
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e
Q3), a mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
7 ‫ —׀‬17
17 ‫ —׀‬27
27 ‫ —׀‬37
37 ‫ —׀‬47
47 ‫ —׀‬57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
12
22
32
42
52
72
330
640
420
260
total
∑=56
∑=1722
x f

x
f
i i

i
1722


56
 30,75
Média
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e
Q3), a mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
7 ‫ —׀‬17
17 ‫ —׀‬27
27 ‫ —׀‬37
37 ‫ —׀‬47
47 ‫ —׀‬57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
12
22
32
42
52
72
330
640
420
260
total
∑=56
Mo  32
∑=1722
Moda
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 3: Salários Professores
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de
uma escola estão distribuídos conforme a tabela a
seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a
moda.
K salário
1 1 ‫ —׀‬3
2 3 ‫ —׀‬5
3 5 ‫ —׀‬7
4 7 ‫ —׀‬9
5 9 ‫ —׀‬11
total
No prof.
fi
20
40
60
30
10
∑=160
Fi
xi
xifi
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
∑=880
x f

x
f
i i

i
880


160
 5,5
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 3: Salários Professores
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de
uma escola estão distribuídos conforme a tabela a
seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a
moda.
K salário
1 1 ‫ —׀‬3
2 3 ‫ —׀‬5
3 5 ‫ —׀‬7
4 7 ‫ —׀‬9
5 9 ‫ —׀‬11
total
No prof.
fi
20
40
60
30
10
∑=160
Fi
xi
xifi
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
∑=880
Mo  6
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 3: Salários Professores
  fi
 *
 F (ant ) h

2

80  602


*
Md  l 
5
 5,67
*
f
60
K salário
1 1 ‫ —׀‬3
2 3 ‫ —׀‬5
3 5 ‫ —׀‬7
4 7 ‫ —׀‬9
5 9 ‫ —׀‬11
total
No prof.
fi
20
40
60
30
10
∑=160
Fi
xi
xifi
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
∑=880
Mediana
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 3: Salários Professores
  fi
 *
 F (ant ) h

4

40  202


*
Q1  l 
 3
4
*
f
40
K salário
1 1 ‫ —׀‬3
2 3 ‫ —׀‬5
3 5 ‫ —׀‬7
4 7 ‫ —׀‬9
5 9 ‫ —׀‬11
total
No prof.
fi
20
40
60
30
10
∑=160
Fi
xi
xifi
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
∑=880
Q1
f
i

4
160


4
 40
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 3: Salários Professores
  fi
 *
 F (ant ) h

4

120  602


*
Q3  l 
 5
7
*
f
60
K salário
1 1 ‫ —׀‬3
2 3 ‫ —׀‬5
3 5 ‫ —׀‬7
4 7 ‫ —׀‬9
5 9 ‫ —׀‬11
total
No prof.
fi
20
40
60
30
10
∑=160
Fi
xi
xifi
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
∑=880
Q3
3. f i

4
3.160


4
 120
Medidas de Posição – AULA4