md1-09 - DECOM-UFOP

BCC101 – Matemática Discreta
Demonstração de Teoremas
Prova Direta e
Prova por contrapositivo
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Demonstração de Teoremas – Ex1
Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então
a2 < b2
 O que queremos provar é:
∀a,b∈R. 0≤a<b ➝ a2<b2
 Para provar ∀a,b∈R. 0≤a<b ➝ a2<b2
devemos provar 0≤a<b ➝ a2<b2, para a e
b números reais arbitrários
 Para provar 0≤a<b ➝ a2<b2, basta
provar a2<b2, supondo 0≤a<b
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Receita de bolo
Para demonstrar um teorema:
 Entenda o enunciado, identifique as
hipóteses e a conclusão
 Expresse o teorema como uma fórmula
da Lógica de Predicados
 Construa a prova passo a passo, tendo
como base as regras de Dedução
Natural que vimos anteriormente.
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Demonstração de Teoremas
Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então
a2 < b2
Prova: Sejam a e b números reais
arbitrários e suponha 0≤a<b. Então
a2 = a . a
<b.a
{porque 0≤a<b}
<b.b
{porque 0≤a<b}
= b2
c.q.d.
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OBSERVAÇÃO
Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então
a2 < b2
Note que 0 ≤ 5 < 7 ➝ 52 < 72 é uma
instância do teorema acima.
Provar que uma ou várias instâncias são
verdadeiras não significa ter provado o
teorema!
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Exercício
Teorema: Sejam x,y∈R tais que x>3 e y<2.
Então x2 – 2y > 5.
 Quais são as hipóteses e a conclusão
do teorema?
 Apresente algumas instâncias do
terorema
 Construa uma prova para esse teorema.
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Conjectura – Verdadeira ou Falsa?
Conjectura: Sejam x,y∈R tais que x>3.
Então x2 – 2y > 5.
 A conjectura é falsa ou verdadeira?
 Apresente um contra-exemplo que
mostra que essa conjectura é falsa.
x = 4, y = 6
pois então temos 42 – 2.6 = 2 < 5
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Não se esqueça
Para mostrar que uma conjectura é
verdadeira (é um teorema) devemos
construir uma prova da mesma.
 Para mostrar que uma conjectura é
falsa, basta apresentar um contraexemplo para a mesma.
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Estratégias de Prova - Direta
A estratégia de prova usada no exemplo
anterior é:
Prova Direta:
Para provar uma asserção da forma
x ➝ y, suponha x e prove y
[x] ⊢ y
x→y
{→I}
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Exercícios
 Prove que, para todo n∈N, se n é impar
então 3n+9 é par.
 Prove que se a e b são números
racionais, então a-b é racional
 Prove que se n é par então n2 é par
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Prova por contrapositivo
Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par,
então n é par.
 Queremos provar:
∀n∈Z. par(n2) ➝ par(n)
 Mais precisamente:
∀n∈Z.(∃k∈Z.n2=2k)➝(∃k∈Z.n=2k)
 Infelizmente, a estratégia de prova
direta não nos ajuda neste caso…
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Prova por Contrapositivo
Para provar uma asserção x ➝ y, podemos
provar a asserção equivalente ¬y ➝ ¬x, ou
seja, supomos ¬y e provamos ¬x
Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par,
então n é par.
Ao invés de provar par(n2) ➝ par(n), vamos
provar o contrapositivo
¬par(n) ➝ ¬par(n2), isto é,
impar(n) ➝ impar(n2), ou seja:
(∃k∈Z.n=2k+1)➝(∃k∈Z.n2=2k+1)
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Prova por contrapositivo
Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par,
então n é par.
Prova: Por contrapositivo. Seja n∈Z
arbitrário e suponha n impar, isto é,
n=2k+1, para algum k∈Z. Então
n2 = (2k+1) (2k+1)
= 4k2 + 4k + 1
= 2(2k2+2k) + 1 ou seja, n2 é impar
Portanto, se n2 é par, então n é par
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Exercícios
Sejam a,b,c ∈ R e a > b. Prove que, se
ac ≤ bc, então c ≤ 0.
 Prove que se m e n são inteiros e mn=1,
então ou m=1 e n=1, ou m=−1 e n=−1.
 Prove que, se x é um número irracional,
então √x é um número irracional.
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