b –c

O que você deve saber sobre
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
O crescimento exponencial em alguns casos pode ser vertiginoso;
em outros momentos, pode tender lentamente a zero, sem nunca
atingi-lo. A função exponencial é fundamental para explicar
numericamente desde fenômenos biológicos até fenômenos físicos
complexos, como a transmutação radioativa.
I. Potenciação
É a multiplicação sucessiva por um mesmo fator.
O expoente n indica que a base a foi multiplicada por ela
mesma n vezes; an é chamado de potência.
Exemplos:
• O crescimento de bactérias em um meio de cultura, número que
dobra em períodos regulares.
• Os juros compostos nas aplicações financeiras
• Está presente também na fórmula do termo geral de uma
progressão geométrica.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
I. Potenciação
Propriedades das potências
1. Produto de potências de bases iguais: bc  bd = bc+d
c
2. Quociente de potências de bases iguais: bd = bcd , com b  0
b
3. Potência de potência: (bc)d = bcd
4. Potência de produto: (m  n)c = mc  nc
5. Potência de quociente:
m
 
n
c
mc
= nc , com n  0
6. Potência de expoente inteiro negativo:
b–c
1
= c=
b
1
 
b
c
, com b  0
c
7. Potência de expoente racional: b d = d bc , com d  0
8. Potência de expoente irracional:
é obtida por aproximação do valor irracional do expoente.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
II. Função exponencial
É qualquer função f:

da forma f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1.
Gráficos da função exponencial
f(x) = 2x
(3,8)
(2,4)
O gráfico é
crescente, não cruza
o eixo x e intercepta
o eixo y no ponto
(0, 1).
(1,2)
f(x) = 2x
(-1; 0,5)
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
(0,1)
II. Função exponencial
Gráficos da função exponencial
1
g x    
2
x
(-3, 8)
1
g x    
2
O gráfico é
decrescente,
também cruza o
eixo y em (0, 1)
e não intercepta
o eixo x.
x
(-2, 8)
(-1, 2)
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
(0, 1)
(1; 0,5)
Simulador: funções
Clique na imagem para ver o simulador.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
II. Função exponencial
Equações exponenciais
A incógnita está no expoente.
Para resolvê-las, escrever os dois lados da igualdade como potências
de uma mesma base. Chega-se então a:
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
III. Logaritmos
Dados dois números positivos a e b, com b ≠ 1,
o logaritmo de a na base b é o número c tal que
O número a é chamado logaritmando.
Propriedades dos logaritmos
(decorrem das propriedades das potências):
1. Logaritmo do produto: logb m
 n = logb m + logbn
2. Logaritmo do quociente: logb m = logb – logb n (n  0)
n
3. Logaritmo de potência: logb mn = nlogb m
4. Mudança de base: logn m =
logb m
logb n
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
IV. Função logarítmica
É qualquer função f:

dada pela lei f(x) = loga x,
com a > 0 e a ≠ 1.
Gráficos da função logarítmica
f(x) = log2 x
f(x) = log2 x
O gráfico é
crescente, cruza o
eixo x em
(1, 0) e não
intercepta o eixo y.
(1, 0)
(2, 1)
(0,5; - 1)
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
(8, 3)
IV. Função logarítmica
Gráficos da função logarítmica
g x   log x
1
2
gx   log
g x   log x
1
2
(0,5, 1)
O gráfico é
decrescente,
intercepta o eixo x
em (1, 0) e não
cruza o eixo y.
(1, 0)
(2, -1)
(4, -2)
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
(8, -3)
IV. Função logarítmica
Gráficos da função logarítmica
Gráficos de uma função exponencial e de uma função logarítmica,
numa mesma base, construídos em um mesmo plano cartesiano,
são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares:
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
IV. Função logarítmica
Equações logarítmicas
A incógnita está na base de um logaritmo ou em seu logaritmando.
Condições de existência do logaritmo:
• a base é um número real positivo e diferente de 1;
• o logaritmando é um número real positivo.
A resolução das equações logarítmicas envolve a
transformação da expressão em uma equação exponencial.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
IV. Função logarítmica
Equações logarítmicas
Outra situação:
Da mesma forma, o primeiro passo deve ser a aplicação
da definição de logaritmo. Uma vez calculado o valor da potência,
pode-se obter a incógnita.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
(UEG-GO)
Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não
desintegrada da substância é S = S0 . 2-0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início.
Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial
se desintegre?
RESPOSTA:
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
2
(Unesp)
Considere a função dada por f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1.
a) Quando m = 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0.
b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação
f(x) = m + 1 não tem solução real x.
RESPOSTA:
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
3
(UFJF-MG)
RESPOSTA:
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
4
(Ufal)
Uma pessoa necessitava saber o valor do logaritmo decimal de 450, mas não tinha calculadora.
Em uma busca na internet, encontrou a tabela a seguir e,
através dela, pôde calcular corretamente o que precisava.
Determine o valor encontrado.
RESPOSTA:
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
5
(UFPE)
Suponha que a taxa de juros de débitos no cartão de crédito seja de 9% ao mês, sendo calculada cumulativamente.
Em quantos meses uma dívida no cartão de crédito triplicará de valor?
.)
(Dados: use as aproximações
RESPOSTA:
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
8
Sabendo que os pontos (a, – ); (b, 0); (c, 2) e (d, ) estão
no gráfico de f, calcule b + c + ad.
RESPOSTA:
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
17
(UFPR)
Em um experimento feito em laboratório, um pesquisador colocou numa mesma lâmina dois tipos de bactérias, sabendo
que as bactérias do tipo I são predadoras das bactérias do tipo II. Após acompanhar o experimento por alguns minutos, o
pesquisador concluiu que o número de bactérias tipo I era dado pela função f(t) = 2 • 3t + 1, e que o número de bactérias
do tipo II era dado pela função g(t) = 3 • 24 – 2t, ambas em função do número t de horas.
a) Qual era o número de bactérias, de cada um dos tipos, no
instante inicial do experimento?
b) Esboce o gráfico das funções f e g apresentadas acima.
c) Após quantos minutos a lâmina terá o mesmo número de
bactérias do tipo I e II? (Use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47.)
RESPOSTA:
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR