então note caso
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GEOMETRIA CONCEITOS BÁSICOS GEO= TERRA PONTO: A METRIA= MEDIDAS É LIMITADO, ISTO É, NÃO PODE EXTRAPOLAR SUA REPRESENÇÃO GEOMETRICA.EX: UM GRÃO DE AREIA REPRESENTADO POR UMA LETRA MAIÚSCULA DO NOSSO ALFABETO É INFINITA. RETA REPRESENTADA POR UMA LETRA MINÚSCULA DO NOSSO ALFABETO r PLANO É ILIMITADO. REPRESENTADO POR UMA LETRA GREGA α TUDO QUE EXISTE É FORMADO POR PONTOS PODEMOS ENTENDER UMA FIGURA GEOMÉTRICA (OU OBJETO) COMO A INTERSECÇÃO DE RETAS CONCORRENTES FORMADAS POR DIVERSOS PONTOS: POR UM PONTO PASSAM INFINITAS RETAS. ALGUMAS FORMAS GEOMÉTRICAS FECHADAS AS FORMAS GEOMÉTRICAS FORMADAS POR SEGMENTOS (PEDAÇOS) DE UMA RETA SÃO CHAMADAS POLI = MUITOS GONOS = LADOS NOMENCLATURA Nº DE LADOS • • • • • • • • 3 LADOS 4 LADOS 5 LADOS 6 LADOS 7 LADOS 8 LADOS 9 LADOS 10 LADOS NOMES • • • • • • • • TRIÂNGULO QUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO HEPTÁGONO OCTÓGONO ENEÁGONO DECÁGONO • • • • • • • • • • 11 LADOS 12 LADOS 13 LADOS 14 LADOS 15 LADOS 16 LADOS 17 LADOS 18 LADOS 19 LADOS 20 LADOS • • • • • • • • • • UNDECÁGONO DODECÁGONO TRIDECÁGONO TETRADECÁGONO PENTADECÁGONO HEXADECÁGONO HEPTADECÁGONO OCTADECÁGONO ENEADECÁGONO ICOSÁGONO TODO POLÍGONO QUE APRESENTA LADOS E ÂNGULOS IGUAIS (CONGRUENTES) É CHAMADO REGULAR ALGUNS POLÍGONOS REGULARES Utilize o programa cabri II para mais apresentações NUM POLÍGONO DESTACAM-SE: VÉRTICE LADO LADO VÉRTICE VÉRTICE LADO LADO VÉRTICE TODA REGIÃO FORMADA DUAS SEMIRRETAS QUE TÊM A MESMA ORIGEM MAS NÃO ESTÃO CONTIDAS NA MESMA RETA É CHAMADA ÂNGULO ÂNGULO EXTERNO ÂNGULO INTERNO VALE LEMBRAR: BISSETRIZ DE UM ÂNGULO BISSETRIZ É UM SEGMENTO COM ORIGEM NO VÉRTICE DO ÂNGULO QUE O DIVIDE EM DOIS ÂNGULOS CONGRUENTES, . Ângulos complementares Dois ângulos cuja soma resulta em 90º são chamados complementares Ângulos suplementares Dois ângulos cuja soma resulta em 180º são chamados suplementares ângulo 10º complemento 80º 20º 70º 30º 60º 45º 45º 52º 38º 63,5º 26,5º 70,42º 19,58º 81º 9º 90º não existe ângulo suplemento 10º 170º 30º 150º 45º 135º 63,5º 116,5º 81º 98º 90º 90º 100º 80º 120º 60º 152,5º 27,5º VOLTANDO AOS POLÍGONOS, CITAMOS: • POLÍGONOS CÔNCAVOS • POLÍGONOS CONVEXOS NA UNIÃO DE DOIS PONTOS DESTES POLÍGONOS POR UM SEGMENTO DE RETA ALGUNS PONTOS DO SEGMENTO FICAM LOCALIZADOS NA REGIÃO EXTERNA DO POLÍGONO NA UNIÃO DE DOIS PONTOS DESTES POLÍGONOS POR UM SEGMENTO DE RETA, TODOS PONTOS DESTE SEGMENTO FICAM LOCALIZADOS NA REGIÃO INTERNA DO POLÍGONO A SOMA DE UM ÂNGULO INTERNO COM O EXTERNO EM QUALQUER POLÍGONO CONVEXO RESULTA EM 180º. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE β α α=β SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO VEJA O QUE ACONTECE EM ALGUNS POLÍGONOS COM RELAÇÃO AOS SEUS ÂNGULOS INTERNOS : 180º 360º 360º + 180º= 540º Utilize o programa cabri II para demonstrar a soma dos ângulos internos PARTINDO DE UM ÚNICO VÉRTICE, DESCUBRA QUANTOS TRIÂNGULOS SÃO POSSÍVEIS DE SEREM FORMADOS EM CADA FIGURA PLANA, UNINDO VÉRTICES OPOSTOS: ? 1 TRIÂNGULO= 180º 3 TRIÂNGULOS= COMO EM CADA 540º TRIÂNGULO A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS É 180º , TEMOS: 2 TRIÂNGULOS= 360º 4 TRIÂNGULOS= 720º 6 TRIÂNGULOS= 1080º PERCEBE-SE: NOME DA FIGURA Nº DE LADOS Nº DE TRIÂNGULOS SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS TRIÂNGULO 3 1 180º QUADRILÁTERO 4 2 360º PENTÁGONO 5 3 540º HEXÁGONO 6 4 720º HEPTÁGONO 7 5 900º OCTÓGONO 8 6 1080º ENEÁGONO 9 7 1260º DECÁGONO 10 8 1440º . . . . . . . . . . . . COM n LADOS n n-2 (n – 2).180º EM QUALQUER POLÍGONO CONVEXO A SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS É 360º CHAMAMOS DIAGONAL DE UM POLÍGONO O SEGMENTO DE RETA QUE UNE DOIS VÉRTICES OPOSTOS : 2 DIAGONAIS 5 DIAGONAIS CONTE NESTE... 9 DIAGONAIS COMO DE CADA VÉRTICE SEGUEM 5 DIAGONAIS, PODEMOS ENTENDER COMO 5 x 8 VÉRTICES = 40. COMO CADA DIAGONAL SERÁ CONTADA DUAS VEZES, 40 / 2 = 20 PERCEBE-SE: NOME DA FIGURA Nº DE LADOS NÚMERO DE DIAGONAIS TRIÂNGULO 3 0 QUADRILÁTERO 4 2 PENTÁGONO 5 5 HEXÁGONO 6 9 HEPTÁGONO 7 14 OCTÓGONO 8 20 ENEÁGONO 9 27 DECÁGONO 10 35 . . . . . . . . . n (n-3).n 2 COM n LADOS UNIDADE DE MEDIDA • METRO: UNIDADE PADRÃO QUE CORRESPONDE A DÉCIMA MILIONÉSIMA PARTE DE UM ARCO TERRESTRE QUE LIGA A CIDADE DE PARIS AO POLO NORTE. SEUS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS • km (Quilômetro) = 1000 metros • hm (Hectômetro)= 100 metros • dam (Decâmetro) = 10 metro • dm (Decímetro) = 1/10 do metro • cm (Centímetro)= 1/100 do metro • mm (Milímetro) = 1/1000 do metro km hm dam m dm cm mm PARA TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDAS USA-SE “MOVER” A VÍRGULA PARA A DIREITA OU ESQUERDA CONFORME SOLICITADO: • • • • • TRANSFORME NAS UNIDADES PEDIDAS 2 km = 2000 m • 2,4 km = 240 2,45 hm = 24500 cm • 0,08 hm = 80 435 mm = 0,0435 dam • 43 mm = 0,43 2,35 cm = 0,0235 m • 235 cm = 2,35 15 m = 0,015 km • 15 dm = 0,15 km hm 2 3 unidades 0,0435 dam m 2,000 dm 4 unidades cm dam dm dm m dam mm 435 PERÍMETRO É A SOMA DAS MEDIDAS DOS LADOS DE UMA FIGURA PLANA NÃO SE DEVE ADICIONAR UNIDADES DE MEDIDAS DIFERENTES FAÇA A TRANSFORMAÇÃO QUANDO PRECISO ÁREA DE UMA FIGURA PLANA QUANTOS QUADRADOS COMO O INDICADO NA FIGURA CABEM NO RETÂNGULO? 1cm ÁREA DO QUADRADO= 1cm2 ÁREA É A QUANTIDADE QUE UMA UNIDADE MENOR “CABE” EM OUTRA MAIOR ÁREA DO RETÂNGULO= base x altura = b.h ÁREA DO RETÂNGULO = 18 cm2 ÁREA DO QUADRADO= LADO X LADO NOS TRIÂNGULOS TEMOS: A=b.h 2 TRIÂNGULO EQUILÁTERO EM QUALQUER TRIÂNGULO CONHECENDO SUAS MEDIDAS A p( p x).( p y).( p z ) OUTROS POLÍGONOS • LOSANGO • TRAPÉZIO A= b.h.2 + A = d.D ou A= (B + b).h 2 ou B.h + b.h 2 2 HEXÁGONO OUTROS POLÍGONOS RECORTE-OS, ACHANDO A ÁREA SEPARADAMENTE E SOME OS RESULTADOS OBTIDOS A= 6 TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS A= ÁREA DO TRIÂNGULO + + ÁREA DO TRAPÉZIO NO CÍRCULO COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA = 2. r. ÁREA DO CÍRCULO = r2. CORDA RAIO DIÂMETRO Comprimento x raio 2 = =r². =3,1416... Veja porquê: EM QUALQUER CÍRCULO A DIVISÃO ENTRE O SEU COMPRIMENTO E SEU DIÂMETRO RESULTA EM 3,1416... PERCEBE-SE: = Como d = 2r POSIÇÕES DE UM PONTO P E UMA CIRCUNFERÊNCIA P é externo P é interno x x w y w y z z Teorema de Thales TRIÂNGULOS CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA: UM TRIÂNGULO SÓ EXISTE SE A SOMA DAS MEDIDAS DE DOIS LADOS QUAISQUER FOR MAIOR QUE A MEDIDA DO TERCEIRO LADO 3 cm 6 cm 3 cm 2 cm 6 cm 7 cm 3+6>7 2+3<6 SÃO CLASSIFICADOS ... QUANTO AOS LADOS: ESCALENO = TODOS OS LADOS TÊM MEDIDAS DIFERENTES ISÓSCELES = DOIS DE SEUS LADOS SÃO CONGRUENTES, OU SEJA, TÊM MEDIDAS IGUAIS EQUILÁTERO = PREFIXO EQUI QUER DIZER IGUAL E LÁTERO É LADO, LOGO, OS 3 LADOS SÃO IGUAIS SÃO CLASSIFICADOS ... QUANTO AOS ÂNGULOS: ACUTÂNGULO =TODOS OS ÂNGULOS SÃO AGUDOS, OU SEJA, MENORES QUE 90º OBTUSÂNGULO = APRESENTA UM ÂNGULO OBTUSO, OU SEJA, MAIOR QUE 90º RETÂNGULO= É AQUELE QUE TEM UM ÂNGULO RETO, OU SEJA, IGUAL A 90º ÂNGULO RETO ALTURA MEDIANA MEDIATRIZ M h M h M M h M segmento de reta perpendicular M Segmento de reta Divide o lado oposto em 2 perpendicular aos lados segmentos congruentes traçada pelos pontos médios É BOM SABER: O ponto de interseção das alturas é o ortocentro O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade. COMO THALLES MEDIU A ALTURA DA GRANDE PIRÂMIDE: Raios solares Altura da pirâmide(H) Estaca (h) Sombra da estaca (s) Base/2 Sombra da pirâmide (S) Este é um caso de semelhança de triângulos • Triângulos são considerados semelhantes quando se igualam na forma nas medidas de seus ângulos, porém, diferem quanto a medidas de seus lados. Quanto a sua praticidade podemos A sombra de uma citar: pessoa que tem 1,80m de altura mede 60cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50cm, a sombra da pessoa passou a medir: • a) 30 cm • b) 45 cm • c) 50 cm • d) 80 cm • e) 90 cm x 1,80 60 cm = 0,6 m 6m 1,80 2m Com a sombra do poste diminuindo em 50 cm, temse: y TRIÂNGULO RETÂNGULO É AQUELE QUE APRESENTA UM ÂNGULO RETO (90º) NELE DESTACAM-SE: O LADO MAIOR É A HIPOTENUSA (À FRENTE DO ÂNGULO RETO (a) (b) (c) OS OUTROS LADOS SÃO OS CATETOS TEOREMA DE PITÁGORAS OS QUADRADOS A POSSUEM HIPOTENUSA ÁREAS A 9 E 16 AOIGUAIS QUADRADO É IGUAL A SOMA O QUADRADO MAIOR TEM ÁREA DOS IGUAL A 25 QUADRADOS LOGO, SEU DOSLADO CATETOS MEDE 5, POIS 5²= 25 OU a²DEFINI-SE, = b² + ENTÃO: c² RELAÇÕES MÉTRICAS EXISTENTES NO TRIÂNGULO RETÂNGULO: CONHEÇA MAIS ALGUNS ELEMENTOS NESTE TRIÂNGULO b m PROJEÇÃO DO CATETO (b) SOBRE A HIPOTENUSA ALTURA RELATIVA À HIPOTENUSA h c n PROJEÇÃO DO CATETO (c) SOBRE A HIPOTENUSA Considere o quadrado de lado a e área a² b a a h c Dividindo Perceba os o triângulo triângulos abc, A área do triangulo de retângulos de temos: catetos b e c lados abc é dada por a² = b² + c² c.b ... 2 a=m+n aou... .h = b.c Teorema de Pitágoras h a² = b² + c² a a.h 2 Logo, c.b =a.h, daí: 2 2 a.h = b.c Para melhor entendimento mostra-se a medida dos lados do triângulo B h² = (10 - n)² - 64 ( I ) e 8 cm 6 cm h m A n 10 cm D m + n = 10, logo, m = 10 – n. Igualando (I) e (II) tem-se: C Por Pitágoras, no triângulo ADB temos: 8² = h² + m² h² = n² - 36 ( II ) (10 - n)² - 64 = n² - 36 n = 3,6 e no triângulo CDB temos: 6² = h² + n² Trocando m por 10 – n e isolando no 1º termo h² tem-se: Se n= 3,6, então, m= 6,4 e h = 4,8 Como • 8² = 10 x 6,4 b² = a . m B c = 6 cm b=8 h = 4,8 m = 6,4 A a = 10 • 6² = 10 x 3,6 c² = a . n n =3,6 C • 10 x 4,8 = 6 x 8 a . h = b .c • 10 = 6,4 + 3,6 a=m+n • 4,8² = 6,4 x 3,6 h² = m . n TRIGONOMETRIA • TRIGONO = TRIÂNGULOS • METRIA = MEDIDAS É A PARTE DA MATEMÁTICA QUE ESTUDA AS RELAÇÕES E RAZÕES EXISTENTES ENTRE OS LADOS DO TRIÂNGULO E SEUS ÂNGULOS. Cateto oposto à αà β Catetoadjacente CONSIDERE O TRIÂNGULO RETÂNGULO ABAIXO: O lado do triângulo que “forma” o ângulo com a O lado junto do triângulo hipotenusa é do situado à frente chamado cateto ângulo é chamado adjacente cateto oposto β α Cateto Catetoadjacente oposto à àβ α α é um ângulo agudo Observe a seqüência de triângulos semelhantes Essa razão é chamada seno de um ângulo Essa razão é chamada coseno de um ângulo Essa razão é chamada tangente de um ângulo 20 15 12 9 10 5 6 3 16 12 8 4 RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER • LEI DOS SENOS DO DO VÉRTICE VÉRTICE C A B OBSERVE O TRIÂNGULO ESCALENO TRAÇAMOS UM TRAÇAMOS UM INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA DE SEGMENTO PASSANDO SEGMENTO PASSANDO RAIO R PELO CENTRO PELO CENTRO C 2R β A Cateto oposto a α γa a = b = c Senα Sen β Senγ Senα= Senγ Sen β=__c__ =_b_ _a_ 2R 2R 2R===_b_ _c_ a__ 2R 2R 2R Sen Senα Senγ β bα c = B EM QUALQUER TRIÂNGULO ABC, AS MEDIDAS DOS LADOS SÃO PROPORCIONAIS AOS SENOS DOS ÂNGULOS OPOSTOS • LEI DOS COSSENOS CONSIDERE O ÂNGULO A DO TRIÂNGULO No triângulo ABH temos: No triângulo CBH temos: a2 = (b –m)2 + h2 c2 = m2 + h2 h2 = a2 – (b – m)2 Daí: c 2 = (cosA.c)2 + h2 De (I) = (II) temos a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA h2 = (cosA.c)2 - c 2 h2 = cos2 A.c2 - c 2 (II) (I) h b-m m H O quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam ESTUDA OS SÓLIDOS GEOMETRICOS, SUAS RELAÇÕES, CARACTERÍSTICAS E PARTICULARIDADES CORPOS REDONDOS DIVIDIMOS EM DOIS GRANDES GRUPOS POLIEDROS É IMPORTANTE SABER: DUASRETAS OU MAIS COPLANARES RETAS SÃOQUE COPLANARES TEMNÃO TODOS QUANDO OS EXISTE •RETAS COPLANARES QUE TEM UMPONTOS PONTO EM CADA PLANO, HÁ INFINITAS RETAS RETASEM COPLANARES NO ESPAÇO HÁ QUE INFINITOS TEM ÚNICO PLANOS PONTO EM COMUM UM PLANO SÃO CHAMADAS QUE ASUM CONTÉM COINCIDENTES EM COMUM SÃO CHAMADAS PARALELAS COMUM SÃO CHAMADAS CONCORRENTES t α r s r r r s s Retas reversas ou nãocoplanares são retas que estão em plano distintos r xr s//s//t xt s t r é reversa à s POLIEDROS • SÓLIDOS GEOMÉTRICOS CUJAS FACES SÃO POLÍGONOS. vértices faces arestas NOMENCLATURA Nº DE FACES • • • • • • • 4 FACES 5 FACES 6 FACES 7 FACES 8 FACES 9 FACES 10 FACES NOMES • • • • • • • TETRAEDRO PENTAEDRO HEXAEDRO HEPTAEDRO OCTAEDRO ENEAEDRO DECAEDRO Nº DE FACES • • • • • • • • • • 11 FACES 12 FACES 13 FACES 14 FACES 15 FACES 16 FACES 17 FACES 18 FACES 19 FACES 20 FACES NOMES • • • • • • • • • • UNDECAEDRO DODECAEDRO TRIDECAEDRO TETRADECAEDRO PENTADECAEDRO HEXADECAEDRO HEPTADECAEDRO OCTADECAEDRO ENEADECAEDRO ICOSAEDRO Para facilitar a construção... Número de vértices, arestas e faces num poliedro 1 1 6 3 4 1 3 5 4 5 Vértices= 84 Faces= 46 6 7 3 2 4 4 2 2 8 arestas= 612 1 3 2 VERIFIQUE NESTES POLIEDROS NOME FACES VÉRTICES ARESTAS OCTAEDRO 8 6 12 TRONCO DA PIRÂMIDE 6 8 12 PIRÂMIDE 7 7 12 PRISMA 5 6 9 NOTE QUE A QUANTIDADE DE ARESTAS, É DUAS UNIDADES MENOR QUE A SOMA DAS FACES E VÉRTICES: NOME FACES VÉRTICES ARESTAS OCTAEDRO 8 6 12 TRONCO DA PIRÂMIDE 6 8 12 PIRÂMIDE 7 7 12 PRISMA 5 6 9 FACES + VÉRTICES = ARESTAS + 2 RELAÇÃO DE EULLER POLIEDROS DE PLATÃO • PORQUE TEM POLÍGONOS REGULARES IGUAIS COMO FACES E QUALQUER FACE QUE ESTIVER NA POSIÇÃO INFERIOR NÃO ALTERA A APRESENTAÇÃO EXISTEM SOMENTE CINCO POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS PLANIFICAÇÃO DE POLIEDROS • CUBO • PARALELEPÍPEDO • TETRAEDRO RETO RETÂNGULO UTILIZE O PROGRAMA POLY E VEJA MAIS PLANIFICAÇÕES • PRISMA DE BASE HEXAGONAL • CILINDRO • PIRÂMIDE DE • ICOSÁEDRO BASE HEXAGONAL • PIRÂMIDE DE BASE QUADRADA • PENTAEDROS • OCTAEDRO • HEPTAEDRO OU PRISMA DE BASE PENTAGONAL DODECAEDRO PRISMAS Tal como nos polígonos, os poliedros também podem ser convexos e não-convexos. POLIEDROS CONVEXOS POLIEDROS NÃO-CONVEXOS Obs. O estudo a partir daqui vai considerar apenas os polígonos convexos. Por isso, quando aparecer a palavra polígono considere-o convexo CUBO •ÁREA DA BASE = l2 •ÁREA TOTAL = 6 l2 •ÁREA LATERAL = 4l2 •VOLUME = l3 ou ÁREA DA BASE x ALTURA DIAGONAL DA BASE E DO CUBO POR PITÁGORAS... DIAGONAL DO CUBO l 3 l DIAGONAL DA BASE 2 PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO ÁREA DA BASE = a.b ÁREA LATERAL = 2.(a.c + b.c) ÁREA TOTAL = 2.ÁREA DA BASE + ÁREA LATERAL ou 2.Ab + Al VOLUME = ÁREA DA BASE x ALTURA (c) a ou a.b.c DIAGONAL... b b a c a c b b c c d x a POR PITÁGORAS... x2 = a2 + b2, logo d2 = c2 + x2 OUTROS PRISMAS DE BASES POLIGONAIS: • BASE TRIANGULAR • BASE HEXAGONAL ÁREA DA BASE = (ÁREA DO POLIGONO QUE A FORMA) ÁREA TOTAL = 2.AB + AL VOLUME= AB.h = ÁREA LATERAL = PIRÂMIDES • PIRÂMIDE DE BASE QUADRADA • PIRÂMIDE DE BASE TRIÂNGULAR • PIRÂMIDE DE BASE HEXAGONAL ELEMENTOS ALTURA APÓTEMA DA PIRÂMIDE ALTURA DE CADA FACE APÓTEMA DA BASE BASE TODAS AS FACES LATERAIS SÃO TRIANGULARES CÁLCULO DO APÓTEMA DA BASE (m) BASE QUADRADA BASE TRIANGULAR BASE HEXAGONAL a m METADE DO LADO DA BASE a m= 2 h m UM TERÇO DA ALTURA DO TRIÂNGULO m= h 3 a h=m ALTURA DE UM DOS TRIÂNGULOS QUE FORMAM O HEXÁGONO CÁLCULO DO APÓTEMA DA PIRÂMIDE (g) g g h g m h h m g2 = m2 + h2 m ÁREAS ÁREA DA BASE = (ÁREA DO POLIGONO QUE A FORMA) ÁREA LATERAL = a.g.n , sendo n a quantidade de faces 2 laterais ÁREA TOTAL = AB + AL Volume do cubo = l³= 6³ = 216 VOLUME VEJA O CUBO DE LADO 6 Traçam-se as 4 diagonais.(lembre-se a diagonal do cubo é 6 3 Destaca-se uma pírâmide de altura 6/2 = 3 Note que há 6 pirâmides iguais a essa Logo, o volume de cada pirâmide é 216/6 = 36 Se a base da pirâmide é 6, e sua altura é 3, definimos: V= AB.h 3 TRONCO DE PIRÂMIDES DE BASES PARALELAS CONSIDERE UM PLANO α PARALELO À BASE DE UMA PIRÂMIDE, SEPARANDO-A EM 2 POLIEDROS: TRONCO DA PIRÂMIDE É A DISTÂNCIA ESTABELECIDA ENTRE AS DUAS BASES PARALELAS E A ALTURA DO TRONCO VOLUME DO TRONCO: V= VOLUME DA PIRÂMIDE MAIOR – VOLUME DA PIRÂMIDE MENOR AB.(k + h) – Ab.h 3 h K ou K V B Bb B 3 A ÁREA TOTAL É OBTIDA PELA ÁREA DOS TRAPÉZIOS QUE FORMAM A LATERAL DO TRONCO E DE SUAS BASES Na prática é mais adequado utilizar a subtração entre os volumes das pirâmides para obter o volume do tronco, porém, fica a critério de cada um decidir qual processo será utilizado. CILINDRO PLANIFICAÇÃO • ELEMENTOS ÁREA LATERAL= (Comprimento).(altura) ÁREA DA BASE = r2 ÁREA TOTAL = 2 Ab + Al VOLUME = Ab.h BASES COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA (BASE) 2 r Sólido limitado pela superfície gerada por uma reta que desliza sobre um ponto fixo no espaço (vértice) e pelo plano da curva diretriz CONE PLANIFICAÇÃO ALTURA GERATRIZ CÍRCULO SETOR CIRCULAR RAIO ELEMENTOS ÁREAS E VOLUMES ÁREA DA BASE= (ÁREA DO CÍRCULO) R ÁREA LATERAL (ÁREA DO SETOR CIRCULAR) g ÁREA TOTAL = AB + AL VOLUME V= AB.h 3 ou TRONCO DO CONE P L B A R N I h g F Área da base menor: b r I C Área da Base maior: A Área Lateral: Ç Área Total: Volume: AB + Ab + AL Ã O ESFERAS ELEMENTOS RAIO CÍRCULO MÁXIMO VOLUME PRINCÍPIO DE CAVALIERI DAÍ, ESTABELECE-SE: 4 • VOLUME = 3 • ÁREA = 4 R2 R3 ALGUMAS FIGURAS QUE PODEM SER COPIADAS PARA ELABORAÇÃO DE ATIVIDADES PARA TANTO BASTA CLICAR SOBRE ELAS... (NÃO NO MODO DE EXIBIÇÃO) AS FIGURAS ESTÃO REMONTADAS. ARRASTE-AS towerofhanoi.exe Ficha técnica: CONTEÚDO : GEOMETRIA EIXO: NÚMEROS, OPERAÇÕES E FUNÇÕES HABILIDADES E COMPETÊNCIAS: ENTENDER O SIGNIFICADO DA GEOMETRIA, SEUS PRINCíPIOS E SUAS RELAÇÕES . RECONHECER AS FORMAS GEOMETRICAS E SEUS ELEMENTOS. SABER RESOLVER CORRETAMENTE ATIVIDADES DO COTIDIANO QUE ENVOLVE ESSES ELEMENTOS E RELAÇÕES. ELABORADO POR CLECIO GERALDO ZANETTI [email protected]
