“Quadratura de Uma Figura Plana”.

Centro Universitário Franciscano
CENTRO UNIVERSITÁRIO
FRANCISCANO
Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino
de Física e de Matemática
Processo de Transformação de um Polígono
Qualquer em um Triângulo Equilátero de Área
Equivalente
Aluna do Mestrado: Merielen Fátima Caramori
2008
OBJETIVO
Demonstrar a equivalência entre as áreas de um
polígono irregular e um triângulo equilátero.
CONTEXTO DA ATIVIDADE
Esta atividade foi apresentada no
Seminário Integrado como parte das Reflexões
da Docência, no Mestrado Profissionalizante
em Ensino de Física e de Matemática.
DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE
Essa atividade foi desenvolvida seguindo
uma sequência de passos para mostrar a
transformação de um pentágono irregular num
triângulo equilátero de área equivalente.
As construções realizadas para o debate
seguem as idéias do texto de Antoni Pinyol
Fontova : “Equivalencia entre cualquier polígono
regular o irregular y um triângulo equilátero”
Revista UNO Revista de Didática de las
Matemáticas nº44,2007. As construções realizadas
serviram de inspiração para o debate sobre as
relações geométricas entre duas figuras planas e a
discussão sobre a quadratura de figuras planas.
Primeiro Passo:
Transformar um pentágono irregular num
triângulo qualquer.
Considera-se um pentágono irregular ABCDE
qualquer, como mostrado na figura 1.
Em seguida são traçadas as diagonais AD e BD e são
traçadas as retas paralelas a AD e BD interceptando a
reta r nos pontos F e G, respectivamente
Desse modo transformou-se um pentágono irregular
num triângulo escaleno FGD, de mesma área.
Observa-se que os triângulos ADE e ADF são
congruentes pois têm a mesma base e mesma altura.
Também são congruentes os triângulos BCD e BGD.
Deste modo construiu-se um triângulo FDG com área
equivalente à área do pentágono.
Segundo Passo:
Transformar um triângulo escaleno num
triângulo isósceles de mesma área.
Para transformar o triângulo escaleno FGD num
triângulo isósceles com mesma área, traça-se uma
paralela ao lado FG passando pelo vértice D e, a seguir,
traça-se a mediatriz do lado FG do triângulo
determinando os pontos H e I. Os triângulos escaleno e
isósceles possuem áreas iguais.
A dificuldade que se apresenta é transformar um
triângulo escaleno num triângulo equilátero. Essa
transformação não pode ser feita diretamente, portanto
vamos transformar o triângulo escaleno num retângulo.
Traça-se primeiramente o ponto médio M da altura FC
do triângulo. Pelo ponto M traça-se uma reta s paralela à
base AB do triângulo. A seguir, traçam-se retas paralelas à
altura FC, passando por A e B, respectivamente,
determinando os pontos E e D sobre a reta s.
Os triângulos MCG e BDG são congruentes pois possuem
três ângulos iguais. Dois ângulos
são opostos pelo vértice
vértices , os ângulos 
por serem alternos internos e os
outros dois pelo paralelismo entre seus lados. Do mesmo
modo são congruentes os triângulos AEH e HMC.





Desse modo transformou-se o triângulo escaleno
ABC no retângulo ABDE de mesma área.




Terceiro Passo:
Transformar um retângulo num quadrado de
mesma área.
A partir do retângulo ABCD, pode-se traçar um quadrado
de área equivalente. Para isso vamos rebater o lado AD sobre
a reta r, determinando o ponto E e determinamos o ponto O,
ponto médio do segmento EB.Com centro em O e raio OE
traça-se uma semicircunferência. Prolongando o lado AD
determinamos o ponto F sobre a circunferência e traçamos o
triângulo EFB.
Observamos que o vértice F está sobre a circunferência e,
das relações métricas de um triângulo retângulo, pode-se
concluir que AF x AF=EA x AB.
Como a medida de AD é igual a medida de EA, pois é o raio
da circunferência menor, a área do quadrado AFGH é
equivalente à área do retângulo ABCD.
A construção realizada até o momento mostra que é
possível transformar um pentágono irregular num
quadrado de área equivalente. Este processo é denominado
de “Quadratura de Uma Figura Plana”.
Nosso propósito é mostrar que é possível
transformar um polígono regular ou irregular num
triângulo equilátero que é a figura plana regular com
menor número de lados.
Quarto Passo:
Transformar um quadrado num triângulo
equilátero de mesma área.
Para transformar um quadrado num triângulo
equilátero o primeiro passo consiste em construir um
triângulo BFE equilátero.
A seguir determina-se o ponto G, ponto médio de FH, que
corresponde a altura do triângulo BEF. Pelo ponto G traça-
se uma reta s paralela à reta r, determinando o ponto J sobre
o lado do quadrado. Traçando uma perpendicular à reta r,
passando por E, determina-se o ponto I sobre s. O retângulo
BEIJ é equivalente ao triângulo equilátero BEF.Com centro
em B rebate-se o lado BJ sobre a reta r, determinando o
ponto K.
A seguir determina-se o ponto médio L do segmento KE. A partir de L,
traça-se uma semicircunferência passando pelos pontos K a E. Esta
circunferência, ao interceptar o quadrado ABCD determina o ponto M.
O segmento BM é o lado do quadrado BMNO, equivalente ao retângulo
BEIJ de acordo com a construção realizada anteriormente..
A partir do ponto M traça-se o segmento MF.
Prolonga-se o segmento BF, e por C, traça-se uma semi-reta t,
paralela ao segmento MF, encontrando o segmento BF no ponto P.
Pelo ponto P, traça-se uma semi-reta s paralela ao lado EF do triângulo
equilátero BEF, a qual intercepta a prolongação de AB no ponto Q.
O triângulo BQP é eqüilátero e é semelhante ao triângulo BEF.
O triângulo equilátero BQP é equivalente ao quadrado ABCD.
O triângulo BQP possui área equivalente ao
quadrado ABCD.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Essa apresentação propiciou retomar a discussão
sobre:
- O conceito de quadratura das figuras planas;
- A História da Matemática como uma estratégia para
ensinar matemática;
- A congruência de triângulos e suas propriedades.
Pode-se concluir que:
Este tipo de atividade propicia a compreensão do
significado das transformações geométricas aplicadas a
figuras planas mantendo áreas equivalentes;
A utilização de um software de Geometria Dinâmica é de
fundamental importância para visualização das
construções realizadas.