Prof: Alexsandro de Sousa

E.E. Dona Antônia Valadares
MATEMÁTICA
1º ANO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
PRINCÍCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA
http://donaantoniavaladares.comunidades.net
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
ANÁLISE COMBINATÓRIA
É uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem
precisar de enumerá-los.
A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como:
lançamento de dados, jogos de cartas, etc.
Atualmente, a estimativa de acertos em jogos populares como: loteria esportiva,
loto, loteria federal, etc., além de utilizações mais específicas, como confecções
de horários, de planos de produção, de números de placas de automóveis etc.
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MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
FATORIAL
Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que:
- Para n=0: 0!=1
- Para n=1: 1!=1
- Para n=2: 2!=21=2
- Para n=3: 3!=321=6
- Para n=4: 4!=4321=24
- Para n=5: 5!=54321=120
Generalizando:
n! = n  (n-1)  (n-2)  (n-3)  ...  2  1, sendo n pertencente ao conjunto
dos números naturais {0, 1, 2, 3 ...}.
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CONTAR É ...
Contar é uma atividade comum do nosso cotidiano. Desde cedo
contamos por diversas razões: saber quantos números de telefones
diferentes
podem
ser
instalados
numa
cidade,
quantos
brinquedos temos, quantas combinações de roupa podemos
formar com certa quantidade de peças. O processo se torna tão
automático que, muitas vezes, não usamos nenhuma estratégia para
contagens longas e demoradas. Estes processos e formas de
contagem podem ser facilitados com a Matemática
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PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
Também
chamado de princípio multiplicativo, o princípio fundamental da
contagem consiste em uma técnica que esquematiza a resolução de problemas
que envolvem situações de contagem, sem enumeração. Sua principal ferramenta
é a árvore de possibilidades que permite sistematizar o problema e, assim, chegar
à sua solução. O PFC é o elemento fundamental do pensamento combinatório,
pois é a partir dele que todas as construções cognitivas posteriores (permutações,
arranjos e combinações) se constituirão para o sujeito.
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Acompanhe o raciocínio da resolução do problema a seguir:
Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada,
um prato principal e uma sobremesa?
Entrada
 Sopa
 Camarão ao alho e óleo
Prato
Arroz ao forno
 Bife acebolado
 Lasanha
Sobremesa:
 Frutas
 Pudim
Entrada
Prato
A
S
B
L
A
C
B
L
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Sobremesa
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
Refeição
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,F )
( S,L,P )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
A quantidade de refeições é obtida multiplicando-se todas
as possibilidades. Sendo assim: 2  3  2 = 12 refeições
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara
e coroa?
Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa. O resultado procurado é
2.2.2 = 8
C
Pelo o Diagrama
da Árvore
C–C–C
K
C–C–K
C
C–K–C
K
C–K–K
C
K
C
K
K
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C
C
K–C–C
K
K–C–K
C
K–K–C
K
K–K-K
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
A lanchonete de uma escola oferece em seu cardápio 8 tipos de sanduíche, 4
tipos de refrigerante e 5 sabores de sorvete. Renata quer escolher 1 sanduíche, 1
refrigerante e 1 sorvete. Quantas opções ela tem para pedir um lanche?
TOTAL DE
OPÇÕES
8 tipos
X
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4 tipos
X
5 tipos
=
160
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
TOTAL DE
OPÇÕES
3 tipos
X
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6 tipos
X
2 pares
=
36
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
Quantidade de
portas para ENTRAR
3
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Total de
possibilidades
Quantidade de
portas para SAIR
x
2
=
6
3 8 8 7
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41
5
4
3
5
5
2
3
0
Imagem disponível em
http://pinterest.com/pin/17732930404817058
4/, acesso em 19/07/2015
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
RESOLVENDO
Quantas
opções de
algarismos?
3 8 87
Quantas
opções de
algarismos
Quantas
opções de
algarismos
10 10 10 0
Pelo PFC podemos obter até 10.10.10 números de telefones
terminados em zero com o prefixo 3887, ou seja, 1000 números
distintos.
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MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos
significativos (1 a 9)?

9

x

9
x
9 = 729 números
E se fossem com algarismos distintos?
9
x
8
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x
7 = 504 números
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
Quantos números de quatro algarismos
distintos podemos formar no sistema de
numeração decimal?
Resolução:
Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
9
x
9
x
8
x
7
O número não começar por 0 (zero), logo:
9 . 9 . 8. 7 = 4.536
Resposta: 4.536 números
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MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º, 2º e 3º
lugares?
1º lugar 2º lugar

6

x
5
3º lugar

x
4
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= 120 possibilidades
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutar é o mesmo que trocar. Nos
problemas de permutação simples, a
ideia que fica é de trocar ou
embaralhar as posições de todos os
elementos. Exemplo:
Quantos anagramas existem da palavra
azul?
Anagramas são todas as palavras
formadas, com ou sem sentido, pelas letras
da palavra dada, embaralhando a sua
ordem.
A maneira mais fácil de construir todas as
possibilidades é pelo “diagrama de árvores”.
Observe:
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MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
Com relação a palavra BRASIL,
quantos anagramas podemos formar:
a) No total ?
Resolução: __ __ __ __ __ __
b) Começados por BR nessa ordem?
Resolução: 4! = 24  |BR| 4.3.2.1
c) Começando por vogal e terminando em consoante ?
Resolução: ___ ___ ___ ___ ___ ___
Vogal
consoante
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17
d) Com as letras BR juntas nesta ordem?
Resolução: BR juntas significa que formarão uma única
letra,
logo o anagrama será composto de 5 letras, portanto a
resposta é 5! = 120
e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem?
Resolução:
Em qualquer ordem, teremos 5! . 2 = 240
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EXERCÍCIOS
1 – Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras
ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B.
De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa viagem?
2 – A placa de um automóvel é formada por três letras seguidas por um
número de quatro algarismos. Com as letras A, R e U e os algarismos
ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o
número não tenha algarismo repetido?
3 – Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os
algarismos 2, 3, 4, 5, e 7?
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4 – De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide
pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de
uma única cor?
5 – (Cesgranrio/2005) A senha de certo cadeado é composta por 4
algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros
algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o
resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado
em no máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a:
a) 9
b) 15
d) 24
e) 30
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c) 20
6 – A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que podem
podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a:
a) 10
b) 20
c) 48
d) 52
e) 100
7 – Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois
alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão
para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las, é:
a) 1225
b) 2450
c) 250
d) 49!
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8 – Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número
de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é:
a) 63
b) 79
c) 127
d) 182
e) 201
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9 – (IEZZI, DOLCE, MACHADO, 2009 - Adatada) Marco Antônio quer
visitar Talita no próximo sábado. Para chegar à casa da amiga, Marco
Antônio pode escolher um entre três caminhos. Para voltar, ele também
Casa de Talita
Casa de Marco Antônio
pode escolher qualquer um dos três caminhos.
a)
De quantos modos ele pode fazer o percurso de ida e volta?
b)
Quantas visitas ele pode fazer, sem repetir o mesmo percurso de ida e volta?
c)
De quantos modos ele pode visitar Talita indo por um caminho e voltando por
outro?
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