Prof: Alexsandro de Sousa

E.E. Dona Antônia Valadares
MATEMÁTICA
1º ANO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
PROBABILIDADE - INTRODUÇÃO
PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA
http://donaantoniavaladares.comunidades.net
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
TEORIA DAS PROBABILIDADES
A teoria das probabilidades busca estimar as
chances de ocorrer um determinado
acontecimento. É um ramo da matemática
que cria, elabora e pesquisa modelos para
estudar
experimentos
ou
fenômenos
aleatórios.
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Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
Embora o seu nascimento esteja ligado ao jogo, as Probabilidades
têm, nos nossos dias, aplicações em muitas outras ciências,
nomeadamente, na Economia, na Psicologia, na Medicina e até na
Física e na Química. Uma área onde a Teoria das Probabilidades é
muito utilizada é a dos seguros. Hoje, quando fazemos um contrato
com uma companhia de seguros (seja esse contrato um seguro de
vida, um seguro de incêndios, um seguro automóvel ou qualquer
outro), o “prémio” a pagar à companhia foi determinado em função
da maior ou menor probabilidade de se verificar um acidente. Por
exemplo, num seguro automóvel, o valor que se paga:
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É mais caro para carros com mais de 5 anos, já que a
probabilidade de se ter um desastre com um carro já com
algum desgaste é maior do que com um carro novo;
É mais caro se o condutor tiver habilitação de condução há
menos de dois anos (a sua inexperiência torna maior a
probabilidade do acidente).
Para o cálculo do valor do seguro é levado em conta também
o modelo do automóvel, a região que esse veículo circula, a
idade do condutor...
Há até companhias de seguros que fazem descontos para as
mulheres condutoras!...
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Há muitos experimentos que mesmo repetidos em condições
idênticas apresentam resultados diferentes.
Pode-se dizer que o resultado de cada um desses eventos é
imprevisível.
EXEMPLOS
Ao lançarmos um dado não viciado, não
é possível prever qual dos números 1, 2,
3, 4, 5 ou 6 poderá ser obtido.
O lançamento de uma moeda tem
como resultados imprevisíveis
cara ou coroa.
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As dezenas da Mega-Sena, da
Lotofácil, da Dupla Sena, da
Quina, e de outras loterias
também
não
podem
ser
previstas antes do sorteio.
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Quando a roleta é girada não
é possível prever em qual
número “a bolinha” vai parar.
Fenômenos desse tipo, cujos resultados dependem do acaso, são
chamados de fenômenos aleatórios.
Pelo fato de não sabermos antecipadamente os resultados de
fenômenos aleatórios, é importante aprendermos calcular as
chances de um resultado ocorrer.
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ESPAÇO AMOSTRAL
(ou de probabilidades)
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento
aleatório é o espaço amostral (S)
Jogar uma moeda
S = {cara, coroa}
Sortear um número inteiro de um a cem
S = {1,2,...,100}
Lançar um dado
S = {1,2,3,4,5,6}
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EVENTO
Evento é qualquer subconjunto do espaço
amostral
E = {cara}
(sortear cara)
E = {25, 27, 26}
(sortear no. entre 24 e 28)
E = {3, 5, 1}
(lançar no. impar no dado)
Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando seus
elementos têm a mesma chance de ocorrer
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EVENTO CERTO E EVENTO IMPOSSÍVEL
Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o
espaço amostral.
Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio.
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Exemplos:
1 - Lançar um dado e registrar os resultados:
Espaço amostral: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e
maior que zero.
A = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Portanto A = S , logo o evento é certo.
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Evento B: Ocorrência de um número maior que 6.
B=
Não existe número maior que 6 no dado, portanto
o evento é impossível.
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Evento C: Ocorrência de um número par.
C = 2, 4, 6
Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3.
D = 3, 6
Evento E: Ocorrência de número par ou número múltiplo de 3.
E = C  D  E = 2, 4, 6  3, 6 
E = 2, 3, 4, 6 - União de eventos
Evento F: Ocorrência de número par e múltiplo de 3.
F = C  D  F = 2, 4, 6  3, 6  F = 6
Intersecção de eventos
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PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO
número de elementos de A
n( A)
P( A) 
 P( A) 
número de elementos de S
n( S )
P=
_____(o que você quer)_______
(total de possibilidades)
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Exemplos
1 – Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de
um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara.
Espaço amostral: S = cara, coroa  n(S) = 2
Evento A:
A = cara

n(A) = 1
n( A)
1
Como P( A) 
, temos P( A)  ou 0,50  50%
n()
2
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2 – No lançamento de um dado perfeito, qual é a
probabilidade de sair número maior do que 4?
Espaço amostral:  = 1, 2, 3, 4, 5, 6  n(S) = 6
Evento A: A = 5, 6  n(A) = 2
n( A)
2
1
P( A) 
 P( A)   P( A) 
n( S )
6
3
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3 –
No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas
distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas:
a) Evento A : Pelo menos 2 caras?
b) Evento B: Exatamente 2 caras?
C = cara
K = coroa
S = CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK  n(S) = 8
a) A = CCC, CCK, CKC, KCC  n(A) = 4
n( A)
4
1
P( A) 
 P( A)   P( A) 
n( S )
8
2
b) B = CCK, CKC, KCC  n(B) = 3
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n( B )
3
P( B) 
 P( B) 
n( S )
8
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4 – Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e
leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música
e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de
música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de
leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um
desses jovens:
a) Ele gostar de música;
b) Ele não gostar de nenhuma dessas atividades.
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M
8
6
14
9
E
16
6
5
L
11
n(S) = 75
gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 = 44
não gostam de nenhuma dessas atividades:
75 – (6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16) = 75 – 64 = 11
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Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
a) a probabilidade de gostar de música:
n( A) 44
P( A) 

 58%
n( S ) 75
b) probabilidade de não gostar de nenhuma
dessas atividades:
n( B) 11
P( B) 

 14%
n( S ) 75
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5 – Caixa com Sorteio:
Uma caixa contém 16 bolas. Destas, 10 são azuis, 4 são
pretas e 2 são amarelas.
Qual a probabilidade de:
a) Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul?
b) Tirar uma e ela ser amarela?
c) Tirar duas azuis seguidas?
d) Tirar uma preta e depois uma azul?
e) Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela?
f) Tirar uma e ela não ser preta?
g) Tirar uma bola vermelha?
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Total:16 bolas
10 azuis , 4 pretas
e 2 são amarelas
.
Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul?
P = 10/16 = 5/8
Tirar uma e ela ser amarela?
P = 2/16 = 1/8
Tirar duas azuis seguidas? (AZUL e AZUL)
P = (10/16) . (9/15) = 90/240 = 9/24
Tirar uma preta e depois uma azul? (PRETA e AZUL)
P = (4/16).(10/15) = 40/240 = 4/24
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Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela?
P = 12/16 = ¾ (75%)
Tirar uma e ela não ser preta?
P = 12/16 = ¾ (veja que é a mesma que a pergunta de cima!!)
Tirar uma bola vermelha?
P = 0/16 = 0 (impossível)!
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6 – Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5?
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Eventos probabilísticos estão na base da propagação de
características físicas genéticas e doenças, ao combinar genes
dos pais.
O estudo da Probabilidade permite o trabalho nesse campo da
ciência.
Questões
a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem?
b) Ter três homens?
c) Ter três filhos todos do mesmo sexo?
d) Qual a chance deles terem três meninas?
e) E de ter uma menina e dois meninos?
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a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem?
P = ½ (50%)
b) Ter três homens?
Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH HMM MHM
P = 1/8
c) Ter três filhos todos do mesmo sexo?
P = 2/8 = ¼ (25%)
d) Qual a chance deles terem três meninas? P = 1/8 = 0,125 = 12,5%
e) E de ter uma menina e dois meninos? P = 3/8 = 0,375 = 37,5%
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A cor dos olhos é uma característica transmitida geneticamente.
Ela é comandada pela combinação de dois genes, que vêm um da
mãe e outro do pai.
O gene dominante é A e o recessivo é a
Nesse caso, quando aparece na combinação o gene dominante A a
pessoa terá a característica marcada por esse gene.
Para cor dos olhos, o gene A determina olhos castanhos, então para
ter olhos azuis a pessoa deve ter genótipo aa
Um casal tem o homem com genótipo aa e a
mulher é Aa.
Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis?
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Veja as combinações possíveis para cor dos olhos:
Aa Mulher
aa Homem
Aa = olhos castanhos
aA = olhos castanhos
A
a
a
aA
aa
a
aA
aa
AA = olhos castanhos
Aa = olhos azuis
2 1
P    0,5  50%
4 2
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EXERCÍCIOS
1 – Um casal de olhos castanhos tem quatro filhos, três
deles de olhos azuis.
a) Qual o genótipo do casal?
b) Qual a probabilidade deles terem um quinto filho de
olhos azuis?
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2 – Um baralho comum tem 52 cartas, sendo 13 (A, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada um dos naipes, que são paus,
ouros, copas e espadas. Ao escolhermos aleatoriamente uma
das 52 cartas, qual a probabilidade de que ela seja:
a) O valete de ouros?
b) Um valete vermelho, isto é, copas ou ouros?
c) Um valete?
d) Uma carta de naipe vermelho, isto é, copas ou ouros?
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