Conjuntos Numéricos

E.E. Dona Antônia Valadares
MATEMÁTICA
1º ANO
Conjuntos Numéricos
PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA
http://donaantoniavaladares.comunidades.net
MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
Conjuntos Numéricos
A história nos mostra que desde muito tempo o homem
sempre teve a preocupação em contar objetos e ter
registros numéricos. Seja através de pedras, ossos,
desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que
procurava abstrair a natureza por meio de processos de
determinação de quantidades.
E essa procura pela abstração da natureza foi
fundamental para a evolução, não só, mas também, dos
conjuntos numéricos
Prof: Alexsandro de Sousa
História dos Conjuntos Numéricos
Antiguidade (Pedras);
Inscrições Rupestres (Palitinhos);
Império Romano (Números Romanos);
Sistema de Numeração Hindu-arábico;
Atualidade (linguagem de máquina).
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Conjunto dos Números Naturais

São todos os números inteiros positivos,
incluindo o zero. É representado pela letra
maiúscula N.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}

Caso queira representar o conjunto dos
números naturais não-nulos (excluindo o
zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
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Conjunto dos Números Inteiros

São todos os números que pertencem ao
conjunto dos Naturais mais os seus respectivos
opostos (negativos).
São representados pela letra Z:
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z
N
N
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N Z
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
Inteiros não negativos

São todos os números inteiros que não
são negativos. Logo percebemos que
este conjunto é igual ao conjunto dos
números naturais.
É representado por Z+:
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
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Inteiros não positivos

São todos os números inteiros que não
são positivos. É representado por Z-:
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
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Inteiros não negativos e não-nulos

É o conjunto Z+ excluindo o zero.
Representa-se esse subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Z*+ = N*
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Inteiros não positivos e não nulos

São todos os números do conjunto Zexcluindo o zero. Representa-se por Z*-.
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
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Conjunto dos Números Racionais
Os racionais são representados pela letra Q.
Q = {a/b | a, b  Z e b  0}.
Todo número que pode ser escrito em forma de
fração
Exemplos:
- Decimais finitos;
- Dízimas periódicas;
- Raízes exatas;
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3,14159265...
Este não é um número Racional, pois possui
infinitos algarismos após a vírgula (representados
pelas reticências)
2,252
Este é um número Racional, pois possui finitos
algarismos após a vírgula.
2,252525...
Este número possui infinitos números após a
vírgula, mas é racional, é chamado de dízima
periódica. Reconhecemos um número destes
quando, após a vírgula, ele sempre repetir um
número (no caso 25).
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= {Todos os racionais sem o zero}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}
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12
Q
Z
N
N Z  Q
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Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos nãoperiódicos. Um bom exemplo de número irracional é o
número PI (resultado da divisão do perímetro de uma
circunferência
pelo
seu
3,14159265....
Atualmente,
diâmetro),
que
vale
supercomputadores
já
conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o
PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas,
como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)
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14
Q
Z
N
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I
R
R
A
C
I
O
N
A
I
S
15
Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente
(união do conjunto dos racionais com os irracionais).
Representado pela letra R.
R
Q
Z
N
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I
R
R
A
C
I
O
N
A
I
S
16
Números formados por infinitos algarismos que se repetem
periodicamente. E o número que se repete é chamado de
período.
Exemplos:
2,333...
0,121212...
0,4333...
2,5222...
Na dízima 2,333... o período 3 posiciona-se logo após a vírgula.
Na dízima 0,121212... o período 12 posiciona-se logo após a vírgula.
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O número decimal 0,3222... é uma dízima periódica
composta, uma vez que entre o período e a vírgula existe
uma parte não-periódica. Nessa dízima, o número 3,
situado entre a vírgula e o período, corresponde à parte
não-periódica.
Outros exemplos:
2,4333...
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0,12555...
0,43777...
18
É a fração que deu origem a dízima periódica.
Como encontrar a geratriz de uma dízima periódica.
1º caso: O número é uma dízima periódica simples.
2
0,222 . . . = ___
9
35
0,353535 . . . = ___
99
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19
Transforme a dízima periódica 4,151515... em fração
15 396  15 411 137
4 + 0,151515... = 4 +
=
=
=
99
99
33
99
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20
• Indicamos a dízima periódica 4,151515... por x.
x = 4,151515...
①
• Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100.
100 x = 415,151515... ②
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21
• Subtraímos, membro a membro, a equação ① da equação ②.
100 x = 415,151515...
-x=
4,151515...
②
①
99 x = 411
• Assim: x =
• logo: 4,151515... =
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411
99
137
33
22
2º caso: O número é uma dízima periódica composta
• Transforme a dízima periódica 0,4777... em fração.
• SOLUÇÃO.
• Indicamos a dízima periódica 0,4777... por x.
x = 0,4777...
①
• Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10. Obtendo no 2º membro
uma dízima periódica Simples.
10 x = 4,777... ②
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• Multiplicamos os dois membros dessa igualdade ② por 10.
100 x = 47,77... ③
• Subtraímos, membro a membro, a equação ② da equação ③.
100 x = 47,777... ③
-10 x = 4,777... ②
• Assim: x =
43
90
90 x = 43
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24
Número de algarismos do
período de repetição’
3,75444 . . .=
3754– 375
900
Número de algarismos, após a
vírgula, que não pertencem ao
período
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3379
=
900
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26
2,1343434 . . . =
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2134 – 21
990
2113

990
27
Obtenha a fração geratriz de :
a)0,333... =
b)0,58585... =
c)-7,1321321... =
d)0,18888... =
e)0,231111... =
f) 1,38181... =
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g)-2,128888...=
h)0,731731... =
i) 2,3838...=
j) -1,417417... =
k)0,314848... =
l) 1,92727... =
28