Aula 04.2 - Equação Logaritmica (1375232)

EQUAÇÃO
LOGARÍTMICA
Equação Logarítmica
Equações logarítmicas são quaisquer equações que tenham a
incógnita (normalmente é x) dentro de um símbolo log.
Para resolver este tipo de equação não existe um mecanismo geral,
algo que dê pra dizer, aplique isso e você acertará.
Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resolução
de uma equação logarítmica, é a seguinte:
Todas as soluções encontradas devem ser
TESTADAS na equação ORIGINAL, afim de
verificar as condições de existência.
As soluções que não satisfizerem as condições de
existência, devem ser DESCARTADAS!
Condição de Existência de um
Logaritmo
b
Precisa ser maior que zero.
a
Precisa ser maior que zero e
diferente de um.
Equações logarítmicas
• Em certas equações que envolve logaritmo, a
variável aparece no logaritmando.
• A resolução de uma equação
baseia nas propriedades abaixo.
logarítmica se
P1.
loga m = loga n ⇔ m = n
P2.
loga m > loga n ⇔ m > n
(a > 1)
P3.
loga m < loga n ⇔ m > n
(0 < a < 1)
Alguns Exemplos
log 2 16  x
log x 49  2
2  16
x  49
2 2
x4
x  49
x
x
4
É necessário fatorar
a base 16.
2
x7
A operação contrária ao
expoente 2 é raiz quadrada
log 3 x  4
3 x
81  x
x  81
4
Basta resolver esta
potência, ou seja,
3 x 3 x 3 x 3 = 81
Equação Logarítmica
O objetivo de qualquer equação logarítmica
é estabelecer, de maneira lógica, uma
igualdade entre os elementos de um
logaritmo. Igualdade esta obtida por meio de
comparação e associação de elementos
correspondentes.
Exemplo:
Log4 5x-8 = Log4 3x + 38
5 x  8  3 x  38
5 x  3 x  38  8
2 x  46
46
x
2
x  23
Observe que neste caso, as bases
dos logaritmos são iguais.
Então, neste caso, eliminaremos os
logaritmos e estabeleceremos uma
relação de igualdade com as partes
diferentes.
Lembre-se de isolar as letras
em um dos lados da equação.
Propriedade dos Logaritmos
multiplicação
Log (a . b)
Divisão
Transforma uma multiplicação em soma.
Log a + log b
Transforma uma divisão em subtração.
Log (a : b)
Log a - log b
Potência
Neste caso, o expoente será posto antes
do logaritmo.
Log an
nLog a
Exemplos
log 30 = log 2 + log 3 + log 5
Observe que os sinais entre os logaritmos são positivos o que indica uma relação de
multiplicação. Neste caso, basta multiplicar os números 2, 3 e 5 e perceber que a
relação de igualdade é satisfeita.
log 40 = log 80 – log 2
A primeira observação a ser feita neste tipo de questão é: Qual o sinal que está sendo utilizado entre
os logaritmos?
Após esta observação, concluímos que o sinal de menos faz menção à relação de divisão entre os
números 80 e 2 tornando verdade a afirmativa.
log 64 = 6 log 2
Neste caso, observamos que existe um número, que está antecedendo o logaritmo. Toda vez
que isto acontecer, estamos nos relacionando a uma potência,ou seja, neste caso, a 26 o que
torna verdade a sentença apresentada.
Exemplos
• Resolver a equação 2 log2 x = 1 + log2 (x + 12).
x>0
Condição de existência
⇒
x>0
x + 12 > 0
2 log2 x = log2 2 + log2 (x + 12)
⇒ log2 x2 = log2 2(x + 12)
⇒ x2 = 2x + 24
⇒ x’ = –4 ou x” = 6
⇒ log2 x2 = log2 (2x + 24)
⇒ x2 – 2x – 24 = 0
S = {6}.
Exemplos
• Resolver a inequação log (x – 1) ≥ log (5 – x).
x–1>0
Condição de existência
1<x<5
5–x>0
(1)
⇒ x–1≥ 5–x
log (x – 1) ≥ log (5 – x)
⇒ 2x ≥ 6
⇒
⇒ x ≥ 3
(2)
Fazendo a interseção das condições, (1) e (2), temos
S = 3 ≤ x < 5.
x>1
x<5
Exercício
O valor de x que torna a expressão
log 1 x  5  2
2
verdadeira é:
4
log 1 x  5  2
2
4
16  x 2  10 x  25
x  10 x  9
2
x1  1 x2  9
1
 
4
C.E
2
  x  5
x 5  0
x 9
x5
2
Equação Logarítmica
log  x 1 5 x  9   2
x  1
 5x  9
2
x  2 x  1  5x  9
2
9
5x  9  0  x 
5
x 1  0  x  1
x 1 1  x  2
x 2  7 x  10  0
x1  5
x1  2
S  5
Equação Logarítmica
log 2 x  3  5
25  x  3
32  3  x
x  35
S  35
x 3  0
x 3
Logaritmos
A expressão que representa a solução da
equação 11x – 130 = 0 é:
a) x  log 11
c
130
b) x  log 11 130
log130
c) x 
11
 130 
d) x  log 

 11 
e)
x  log 13011
log b a  c  b  a
11  130
x
a  130
b  11
cx
log 11 130  x
x  log 11 130
Equação Logarítmica
log 5 x  3  log 5 x  4  log 5 8
x 3  0  x  3
x  4  0  x  4
 x3
log 5 x  3  x  4  log 5 8
x  x  12  8
x 2  x  20  0
2
x  x  20  0
x1  4 x2  5
2
S  4