MATRIZES

MATRIZES
É uma tabela disposta em “m” linhas e “n”
colunas.
 a11

a
 21


 am1
a12
a22
a13
a23
am 2
am3
a1n 

a2 n 


amn mn
Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual
ao de colunas.
Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha
pela coluna e vice-versa da matriz original.
1 3  5


A  0  2 4 
2 3
6 
0 2
1


T
A   3  2 3
 5 4 6
Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos
da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos
iguais a zero.
Ex:
matriz identidade matriz identidade
de 2ª ordem
de 3ª ordem
 1 0
A

 0 1
 1 0 0


B   0 1 0
 0 0 1


diagonal principal
Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
 4 0 0


 5 2 0
 3 1 6


Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da
diagonal principal são iguais a zero.
 2 0 0


 0 5 0
 0 0 3


Traço da Matriz: é a soma dos elementos da diagonal
principal.
Traço: 4 + 2 + 6 = 12
Matriz Simétrica:
1

2
0

2
7
4
A A
T
0

4
3

Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.
Matriz Anti-Simétrica:
 0

 5
 2

5
0
1
A  A
T
2 

1
0

Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.
Operações com Matrizes:
Adição e Subtração de Matrizes: só podemos somar ou subtrair
matrizes de mesma ordem.
Dadas as matrizes
 1 6 
 2 5
A
 , B   5 2 


 3 4 
e
 8 4 
C 
 , calcule:
 2 6
 2 5   1 6   8  4
  
  

A + B  C= 
  3 4  5  2  2 6 
 2 5    1 6    8 4    7 15 

  
  
  

  3 4  5  2   2  6  0  4
Multiplicação de Matrizes
Só podemos multiplicar duas matrizes entre si, quando o número de
colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz.
O resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira e
número de colunas da segunda matriz.
Amxn . Bnxp  Cmxp
0  6  12 1  10  6 
0  12  8 0  20  4


=
6
4

17 
 24
=
 0 1
 1 2 3 
 1x0  2 x(3)  3x 4 1x1  2 x5  3x 2 

   3 5   0 x0  4 x(3)  2 x 4 0 x1  4 x5  2 x 2

 0 4 2   4 2  


Matriz Inversa: A1
O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à
matriz identidade.
1
A . A I
 4 2
1
 , determine A
Sendo A  
 5 3
det A = 12 – 10
det A = 2
 3
 3 2

1

2

 3  2  2
A

2 
5

  


  5 4    5 4 
 2
2 
 2

 1

2 

DETERMINANTES
I – Definição
É um número associado a uma matriz quadrada.
II – Determinante de uma matriz de 2ª ordem
Seja a matriz A = a
 11 a12  , então:


 a21 a22 
det A =
a11.a22  a12.a21
Ex: 2
3
1 4
det = 2 . (- 4) – 1 . (- 3)
det = -8 + 3
det = -5
III – Determinante de uma matriz de 3ª ordem
(Regra de Sarrus)
Ex: 3 1 2
4 3 1
1 6 5
3 1 2 3 1
4 3 1 4 3
1 6 5 1 6
det = 3.(-3).5 + 1.1.(-1) + 2.4.6 – (-1).(-3).(2) – 6.1.3 – 5.4.1
det = – 45 – 1 + 48 – 6 – 18 – 20
det = – 42
IV – Menor Complementar (Dij)
É o determinante da matriz obtida após ser
eliminada a linha e a coluna do elemento aij
considerado.  0 1 2 
Ex. Sendo A   3 4 5  , calcule D12
 2

3 5
2 1
7
1
det = 3 + 10
det = 13
D12 = 13
V – Cofator
i j
Cij  (1) . Dij
 0 1 2 
Ex. Dada a matriz A   3 4 5  , calcule C21
 2 7 1


21
C21  (1) . D21
1 2
C21  (1) .
7 1
3
C21  (1) . [1  14]
C21  15
Propriedades dos Determinantes:
1ª propriedade:
Se os elementos de uma linha ou coluna de uma
matriz quadrada forem todos iguais a zero, o
seu determinantes será zero.
Ex.  3 0 5 


4
0

1


 6 0 2 


2ª propriedade:
Se os elementos de duas linhas ou colunas de
uma matriz quadrada forem iguais ou
proporcionais, o seu determinante será zero.
Ex.  2 6 2 


 3 5 3
 4 1 4


3ª propriedade:
Se trocarmos de posição entre si duas
linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o
determinante é o simétrico do anterior.
Ex. 2 5


 5 2

 e 

 3 4
 4 3
det = 8 – 15
det = -7
det = 15 – 8
det = 7
4ª propriedade:
Se multiplicarmos todos os elementos de uma
linha ou coluna por um número real k, então o
determinante da nova matriz é o anterior
multiplicado pelo número k.
Obs: Conseqüência da propriedade:
n
det (k  A)  k  det A , onde n é a ordem da matriz.
Ex: Sendo A3x3, e det A = 5, calcule det (2A).
det (2A) = 23 . det A
det (2A) = 8 . 5
det (2A) = 40
5ª propriedade:
O determinante de uma matriz A é igual ao
determinante de sua transposta.
det A  det A
t
6ª propriedade:
O determinante de uma matriz A igual ao inverso
do determinante da matriz inversa de A.
1
det A 
1
det A
7ª propriedade:
O determinante de uma matriz triangular é igual
ao produto dos elementos da diagonal principal.
Ex:  3 0 0 0 


5
2
0
0


 6 1 4 0


 7 2 3 2
det = (-3) . 2 . 4 . 2
det = - 48
8ª propriedade: Teorema de Binet
Sendo A e B duas matrizes quadradas temos
que:
det (A.B) = det A . det B
 2 3  e B=  0  2 
Dadas as matrizes A = 

3 2 


 4 1
calcule det (A.B).
det (A . B) = det A . det B
det (A . B) = (-14) . 6
det (A . B) = -84
4º) (UFAL – 2007) Considere o conjunto A,
formado pelos algarismos de 0 a 9, e analise as
afirmações que seguem.
X Com os elementos de A é possível escrever
(00)
32542 números de 5 algarismos distintos
entre si.
__ __ __ __ __
9 9 8 7 6 = 27216
(11)
X De todos os números de 4 algarismos
distintos entre si, que podem ser escritos com
os elementos de A, 3120 são pares.
0
__ __ __ __
9
8
7
= 504
__ __ __ 2,4,6,8
____
8 8 7
4 = 1792
Total = 2296
(22)
X De todos os números de 3 algarismos
distintos entre si, que podem ser escritos com os
elementos de A, 176 são menores do que 350.
1 __
__
9
2 __
__
9
__ < 350
8
72
__
8
72
3 0,1,2,4
__
_____ __
4
8
32
Total = 176
(33)
X Com os elementos ímpares de A é possível
escrever exatamente 60 números de
3 algarismos distintos entre si.
1, 3, 5, 7, 9
__ __ __
5 4 3
60
(44)De
todos os números de 3 algarismos
X
distintos entre si, que podem ser escritos com
os elementos de A, 150 são divisíveis por 5.
Para um número ser divisível por 5, tem que
terminar em 0 ou 5
1º caso: terminação 0
0
__ __ __
72
9 8
2º caso: terminação 5
Total=136
5
__ __ __
64
8 8