Geometria Analítica condições de alinhamento de 3 pontos

Ciências da Natureza - Matemática
Ensino Médio, 3ª Série
Condição de alinhamento de três
pontos
GEOMETRIA ANALÍTICA, Série 3ª
Condição de alinhamento de três pontos.
Para que três pontos A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc), distintos, estejam
alinhados, ou seja, pertençam à mesma reta, devemos ter:
y
c
yc
B
yb
ya
0
BE CE

AD BD
A
xa

(Observamos que
os triângulos
retângulos ABD e
BEC são
semelhantes).
E
D
xb
xc
x
x c  xb y c  y b

xb  x a y b  y a
x c  xb
y c  yb

xb  x a y b  y a
Desenvolvendo essa expressão, obtemos:
(xc – xb) (yb – ya) – (xb – xa) (yc – yb) = 0. Daí:
xcyb – xcya – xbyb + xbya – xbyc + xbyb + xayc – xayb = 0, ou, ainda:
xayb + xcya + xbyc – xcyb – xayc – xbya = 0
Essa última expressão pode ser escrita sob a forma do determinante:
xa
xb
xc
ya 1
yb 1  0
yc 1
Desse modo, verificamos que, se três pontos distintos A(xa, ya), B(xb, yb) e
C(xc, yc) são colineares, então:
D=
xa
xb
xc
ya 1
yb 1  0
yc 1
Vejamos agora alguns exemplos de aplicação dessa definição:
EX 1: Verifique se os pontos A(-3, -11), B(0, -2) e C(5, 13) são colineares.
SOLUÇÃO:
Primeiramente construímos o determinante D =
 3  11 1
0 2 1
5 13 1
Calculando o valor do determinante, temos:
D = 6 – 55 + 0 + 10 + 39 + 0
D=0
Assim, concluímos que os pontos dados são colineares.
EX 2: Verifique se os pontos A(0, 2), B(- 3, 1) e C(4,5) estão alinhados.
SOLUÇÃO:
Construindo o determinante D =
0 2 1
3 1 1
4 5 1
Calculando o valor do determinante, temos:
D = 8 – 15 – 4 + 6
D = 14 – 19
D=-5
Como D
 0, concluímos que A, B e C não são colineares.
EX 3: Determinar o valor de a, para que os pontos A(2, 1), B(a+1, 2) e
C(-3, -1) sejam vértices de um triângulo.
SOLUÇÃO:
Para que A, B e C sejam vértices de um triângulo, eles não podem
ser colineares.
Portanto: D =
2
1 1
a 1 2 1
 3 1 1

0
Desenvolvendo o determinante, teremos:
4 – 3 – (a + 1) + 6 – (a + 1) + 2 = 4 – 3 – a – 1 + 6 – a – 1 + 2  0
–a–a
– 2a
a
– 4 + 3 + 1 – 6 + 1 – 2
–7
 7/2
EX 4: Determine o valor de m de modo que os pontos A(-2,7), B(m, -11) e
C(1, -2) pertençam a uma mesma reta.
SOLUÇÃO:
Devemos, neste caso, fazer uso direto da condição de alinhamento, ou seja:
D=
2 7 1
m  11 1  0
1 2 1
Resolvendo o determinante, temos:
22 + 7 – 2m + 11 – 4 – 7m = 0
36 – 9m = 0
9m = 36
m=4
Portanto, para que os pontos A, B e C dados acima pertençam a uma mesma
reta, devemos ter m = 4.
EX 5: Sabendo que P(a, b), A(-1, -2) e B(2, 1) são colineares simultaneamente com
P(a, b), C(-2, 1) e D(1, -4), calcular a e b.
SOLUÇÃO:
Para que os pontos P, A e B estejam alinhados, devemos ter:
a
b 1
D1   1  2 1  0  a  b  1
2
1 1
Para que os pontos P, C e D estejam alinhados, devemos ter:
a
b 1
D2   2 1 1  5a  3b  7
1 4 1
Resolvendo o sistema formado pelas equações encontradas em D1 e D2,
temos:
  a  b  1
1
3
a e b

2
2
5a  3b  7
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Verifique, em cada caso, se os três pontos estão alinhados ou não:
a) (5, 0), (5/2, 1) e (0, 2).
b) (-4, 0), (-1, -2) e (0, 6).
c) (2, 5), (-1, -1) e (-5, -9).
d) (3, 9), (-1, -7) e (1, 4).
2. (PUC-RJ) Os pontos (0, 8), (3, 1) e (1, y) do plano são colineares. O valor
de y é igual a:
a) 5.
b) 6.
c) 17/3.
d) 11/2.
e) 5,3.
3. Seja P o ponto de interseção da reta r com o eixo
das ordenadas. Sendo r a reta determinada pelos
pontos A(-1, -2) e B(4, 2), calcule as coordenadas do
ponto P.
4. Uma reta r é determinada pelos pontos A(2, 0) e
B(0, 4), e uma reta s é determinada pelos pontos
C( -4, 0) e D(0, 2). Seja P(a, b) o ponto de interseção
das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto P.
5. Determine para quais valores de t, os pontos
A(1/2, t), B(2/3, 0) e C(-1, 6), são vértices de um
triângulo.
6. A temperatura de uma região variou linearmente de
12 ºC a – 3ºC das 5h às 11h de determinado dia, ou
seja, às 5h a temperatura era 12 ºC e às 11h a
temperatura registrada era de – 3 ºC. Qual era a
temperatura às 6h desse mesmo dia?
RESOLUÇÃO
DOS
EXERCÍCIOS
PROPOSTOS
1.
5 0 1 5 0
a) D  5 / 2 1 1 5 / 2 1  (5  0  5)  (0  10  0)  0
0 2 1 0 2
4 0 1 4 0
b) D   1  2 1  1  2  (8  0  6)  0  24  0)  26
0
6 1 0
6
2
5 1 2
5
c) D   1  1 1  1  1  (2  25  9)  (5  18  5)  0
5 9 1 5 9
3
9 1 3
9
d) D   1  7 1  1  7  (21  9  4)  (7  12  9)  12
1
4 1 1
4
2. Devemos ter D = 0.
Assim:
0 8 1 0 8
3 1 1 3 1 0
1 y 1 1 y
(0  8  3 y )  (1  0  24)  0
3 y  8  25  0
3 y  17  0
17
y
3
3. Como P está sobre o eixo das ordenadas, então
será da forma P(0, y). Pelo enunciado, temos que A, B e
P são colineares. Desse modo:
1  2 1 1  2
4
0
2
y
1
1
4
0
2 0
y
(2  0  4 y )  (0  y  8)  0
4y  y  2 8  0
5 y  6
y
6
5
6
Re sp. : P(0,  )
5
4. Pelo enunciado, concluímos que os pontos A, B
e P são colineares, e os pontos C, D e P também
são. Assim:
2 0 1 2 0
0 4 1 0 4 0
a b 1 a b
4 0 1 4 0
0 2 1 0 2 0
a b 1 a b
8  ( 4a  2b)  0
4a  2b  8 ( I )
 8  (2a  4b)  0
2a  4b  8 ( II )
Resolvendo o sistema formado pelas equações (I)
e (II), temos:
4a  2b  8
4
a

5
2a  4b  8
e
12
b
5
5. Como A, B e C são vértices de um triângulo,
então devemos ter D diferente de 0.
1/ 2 t 1 1/ 2 t
2/3 0 1 2/3 0  0
1
6 1
1
6
2
(t  4)  (3  t )  0
3
2
t  t  43  0
3
3
t
5
6. Indicando a temperatura registrada às 6h por t e
sabendo que a temperatura variou linearmente, então
concluímos que os pontos (5, 12), (6, t) e (11, -3) devem
ser colineares. Desse modo:
5
6
12 1
t 1
5
6
12
t 0
11  3 1 11  3
(5t  132  18)  (11t  15  72)  0
5t  11t  114  57  0
 6t  57  0
t  9,5
Assim, às 6h a temperatura era de 9,5 ºC