Lógica e Computação : Uma leitura dos Teoremas de Gödel

Lógica e Especificação
Edward Hermann Haeusler
Departamento de Informática
TECMF
PUC/RJ
-
O que é Lógica ?
-
O que a Lógica estuda ?
-
Quem estuda Lógica ?
Tentativa de conceituação do
Razoável
Edward Hermann
Lógica e Especificação
2
Razoável
Aquilo que é passível de uma
explicação.
Explicação = Argumento
Argumento é um objeto lingüístico
Edward Hermann
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Argumentos e Solucao de Problemas
-Tenho 3 esferas visualmente identicas. Entretanto duas tem o mesmo
peso, enquanto uma terceira tem peso diferente. Utilizando somente
uma balanca de equilibrio, sem pesos marcados, como posso descobrir
a esfera diferente e saber se e’ mais pesada ou mais leve ???
 Prove que uma das 3 esferas e’ mais pesada ou mais leve
Edward Hermann
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Algumas soluções ???
1- Pego aleatoriamente alguma esfera. Jogo para outra pessoa, se
esta pessoa pegar com a mão esquerda é a esfera mais pesada, se
pegar com a mão direita é a mais leve.
2- Peso a esfera 1 com a 2. Se a 1 é mais pesada então é ela é a de
peso diferente que é mais pesada. Caso contrário ela é mais leve e
também é de peso diferente.
3- Peso a esfera 1 com a 2. Se der peso mesmo peso, peso a 3 com a
2 , pesando mais a 3 é a mais pesada, pesando menos a 3 é a mais
leve.
4- Peso a esfera 1 com a 2. Se a 1 for mais pesada, peso a 3 com a 1,
se a 1 for mais pesada então ela é a esfera diferente e mais pesada.
Se 3 e 1 pesarem o mesmo então a esfera 2 é a mais leve e diferente.
Edward Hermann
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=
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O que é um argumento ??
Sequência de sentenças onde uma delas é dita
ser a conclusão do argumento
O que difere um argumento de uma descrição
ou narração ??
Quando um argumento é bom ??
Edward Hermann
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Exemplos de Argumentos
Todo homem é mortal.
FHC é homem.
------------------------------------FHC é mortal.
Todo homem é animal
Todo gato é animal
------------------------------------Todo gato é homem
Edward Hermann
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Há exatamente 136 caixas de bombas
em um depósito.
Cada caixa contém pelo menos 140
bombas.
---------------------------------------------------------------------------
Nenhuma caixa tem mais de 156 bombas
Lula é o presidente do Brasil
Brasília é a capital do Brasil
--------------------------------------------A lua é um satélite da Terra
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Lula é o presidente do Brasil
----------------------------------------------------Lula é humano e presidente do Brasil
Lula é o presidente do Brasil
----------------------------------------------------Lula é humano ou presidente do Brasil
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Alguns paulistas são latinos.
Alguns brasileiros são latinos
------------------------------------------Alguns brasileiros são paulistas
Tudo que é raro é caro.
Uma casa boa e barata é rara.
------------------------------------------Uma casa boa e barata é cara.
Todo triângulo tem somente 3 lados
Todo quadrado é triângulo.
---------------------------------------------------Todo quadrado tem somente 3 lados.
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Especificacao, Prova e Solucao de Problemas
-Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são Arantes, Braga e Castro,
não necessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que não
é Ana, é mais velha que Carla e a de sobrenome Castro é a mais velha
das 3.
Qual a melhor ordem ?
- Resolver, Especificar, Provar
- Resolver, Provar, Especificar
- Especificar, Resolver, Provar
- Provar, Especificar, Resolver
- Especificar, Provar, Resolver
- Provar, Resolver, Especificar
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Como Definir critérios para correção de Argumentos ?
Através de Linguagens para :
Expressar Procedimentos
Expressar Argumentos
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Principais Componentes de uma Linguagem
- Sintaxe : Como se escreve ?
- Semântica : O que significa ?
- Pragmática : Como se usa ?
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Em uma L.P.
- Como é um programa ?
- Como se executa ou,
O que um programa faz ?
- Como se constroem programas
visando a solução de problemas ?
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A Linguagem da Lógica
A Lógica tem, tradicionalmente, por objetivo
a definição do que seja uma argumentação
correta.
Argumentação = Sequência de sentenças onde
distingue-se premissas e conclusão
Sentença = Expressão linguística enunciadora
de um pensamento completo.
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Exemplos de Sentenças.
1. Salvador é a capital da Bahia.
2. (2 + 3) = 5.
3. Qual o melhor time de futebol do Brasil ?
4. Compile o Programa !
O tipo de sentença de interesse em uma
argumentação é a sentença declarativa.
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Semântica
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Semântica e Denotação
Numerais x Números
I
1
II
2
1+3
IX
9
22
XIII
13
XVII
17
XXX
30
22
2
Palavras x Objetos/Idéias
obs: Numerais e Palavras não expressam um pensamento completo
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Expressões aritméticas :
Sintaxe
Semântica Ext.
V( (1 + 2) * 5)
*
+
5


V( 1 + 2 ) * V( 5 )

1
2
V(
1) +
V( 2 )
* 5

(1 + 2) * 5
Edward Hermann
( 1 + 2 ) * 5 = 15
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Linguagem e Metalinguagem
-
Precisa-se de uma linguagem para descrever
outra linguagem.
-
À linguagem descritora chamamos de
metalinguagem enquanto à descrita
chamamos de linguagem objeto.
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Paradoxos
1. Eu sou Mentiroso.
2.
- O menor denominador comum
entre 1/2 e 2/3 é 6.
- 1/2 = 2/4
Então o menor denominador comum
entre 2/4 e 2/3 é 6.
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O desenvolvimento da Lógica
Lógica Aristotélica e Escolástica (a partir de 300 a.c.)
Quebra de Paradigma (Descartes 1637, DSM)
Antes de 1879
===>
Ensaios sobre a Contingência e
Existência a partir de consistência (Leibniz 1676)
Lógica Transcendental X Geral (Kant 1781)
Álgebras Booleanas (Boole 1847)
Álgebra Relacional (DeMorgan, Schroeder,
C.S.Peirce XIX)
Frege (Begrifschrifts, 1879) -> Início da Formalização
da lógica
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Principais Resultados em Lógica/Metamatemática no início do século XX
- Teoria dos Tipos como solução ao paradoxo em Russell
- Russell e Whitehead publicam o Principia Mathematica.
- Presburger (1929) prova que a aritmética sem a multiplicação é decidível.
- Skolem (1931) prova que a aritmética sem a adição e o sucessor é decidível
- Herbrand (1931) prova a consistência de um fragmento fraco da aritmética
(só o sucessor).
-Tarski (1930) Prova que a aritmética com adição (+) e menor (<) é decidível.
(1936) Formaliza a semântica adequada para a lógica de primeira ordem
(1949) Prova da decidibilidade da Teoria dos Reais
- Gödel (1930) prova a completude do cálculo de primeira ordem
- Gödel (1931) introduz a idéia de aritmetizar (codificar na forma numérica) a linguagem
de um sistema formal de forma que (meta) teoremas do sistema possam ser vistos como
teoremas aritméticos e prova seu famoso teorema da incompletude. Obs: # é o código
de .
- Gödel (1931) prova a não-provabilidade da consistência.
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Em Lógica Matemática
Prova
•
(Argumentação)
formada por
Premissas
Regras de
Inferência
(Argumento)
formada por
conclusão
são
Sentenças
?
conectivos/
quantificadores
Átomos
Sentenças Compostas
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Como representar os elementos da linguagem
lógica tendo por princípio a universalidade ?
Formalização da linguagem.
Somente conectivos/quantificadores podem
possuir significado a priori.
Átomos são representados por
Letras sentenciais (log. Sentencial).

Fórmulas (combinações de átomos
via conectivos) representam sentenças
em geral.
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Conectivos
Da praxis matemática tiramos :
•
Conjunção ( "e" lógico)
 Disjunção ( "ou" lógico)
  Implicação ( "se ____ então____")
 ~ = Negação ( "não lógico ")
O significado de cada conectivo pode ser determinado
pelas regras que ditam seu uso
(Semântica Operacional)
O significado de cada conectivo pode ser determinado
pelas condições de verdade estabelecidas por ele
(Semântica tradicional ou Tarskiana)
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Fórmulas
Toda letra sentencial é uma fórmula
Se e b são fórmulas, então também
são fórmulas :
-
b
b
b
~
Obs : Parenteses são usados para auxiliar
à análise sintática.
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Semântica p/ Lógica Clássica
Extensional com Valores de "Verdade".
Atribuição arbitrária de valores para as
letras sentenciais. (Interpretação)
Fórmulas têm seus valores determinados
pela interpretacão e pelas funções semânticas associadas a cada conectivo.
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Funções na forma de Tabela.

V
F

V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F

 V
F
~
V
F
F
V
V
V
F
F
VF
V
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Lógica e Especificação
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Edward Hermann

V
F

V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
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Atribuição de Valores à fórmulas
Interpretação :
I : Letras -{V,F}
Dada uma interpretação I pode-se definir a
denotação associada V:


V(I, L) = I ( L) se L é letra sentencial.
V( I, b) = V(I, ) V( I, b)
V(I, b) = V(I, ) V(I, b)
V(I, ) = V(I, ) F = ~ V(I, )
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Def. Uma f órmula  é dita satisfatível, sse, existe uma
interpretação que a torna verdadeira, i.e.
Existe I , tal que
V(I,
) = V
Def. Um conjunto de f órmulas é satisfatível, sse, todas
as suas fórmulas são satisfatíveis (para a mesma
interpretação.
Def. Diz-se que uma fórmula é válida, sse, ela é
verdadeira sob toda interpretação.
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O conceito de conectivo principal.
É aquele conectivo que aparece em
primeiro plano em uma análise sintática.
Exemplos:
(A B)  (C D)
~ (A B)
(A B)
Edward Hermann
C
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Def. Uma fórmula é dita ser consequência lógica
de um conjunto Gde fórmulas (G ), sse :
- Toda interpretação que "torna" todas as
fórmulas de G verdadeiras “torna” verdadeira.
Ex:
-
{ ~~ A}
A
{A, A B}
B
{A B, A C, B C}
{A B}
~B ~A
Def.  é equivalente a b sse 
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C
b eb
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
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Completude funcional da lógica clássica
- Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ??
- Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ??
- Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e ??
- Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e ??
- Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) por
meio dos conectivos acima ??
- Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) com
um conectivo só (novo certamente) ??
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Sistemas Dedutivos e Argumentação Formal
Def1. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite a construção
de argumentos formais
Def2. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite estabelecer
conclusões a partir de hipóteses.
Def3. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas)
que permite “chegar” a conclusões (sentenças) a partir de
hipóteses (sentenças).
Def4. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas)
onde os axiomas são fórmulas válidas e as regras preservam
a verdade.
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Universalidade da noção de
correto
O conceito de argumento correto deve ser
baseado na forma do mesmo e não em seu
significado particular, ou
Um argumento é correto quando é invariante
sob substituição, i.e., o que importa é o relacionamento entre premissas e conclusão e
não estas propriamente ditas.
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Os sistemas a la Frege/Hilbert
Esquemas de Axiomas:
(K)
A(B A)
(S)
A (B C)  (A B) (A C)
(Cla)  A A
Regra:
A
(Modus Ponens)
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AB
B
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Exemplos de Deduções
A ((A  A)  A)
A ((A  A)  A) ( (A(AA))  (AA))
(A(AA))  (AA)
A(AA)
AA
B (B  A)
B (B  A) A  B (B  A)
A  B (B  A)
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Discussão:
1- O método da “tabela verdade” é um sistema dedutivo ??
2- O que dizer do sistema dedutivo somente com a regra de
modus ponens e como axiomas todas as fórmulas válidas (tautologias)
3- Como comparar sistemas dedutivos ??
4- O que a prova de um teorema deve nos dizer ??
5- O que Prova de Teoremas tem a ver com computação e programação ?
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Programa do Curso
1- Lógica Proposicional: Clássica e Intuicionista
- Sintaxe, Semântica e Sistemas Dedutivos
- Especificação e Solução de Problemas via PT.
2- Lógica de Primeira Ordem: Clássica
- SINTAXE, SEMÂNTICA e
- Sistemas Dedutivos
- Especificação Formal
3- Noções de Complexidade Computacional em Lógica
4- Lógicas Modais:
- SINTAXE e SEMÂNTICA
- Verificação de Modelos e Noções de Validação Formal
5- Lógicas de Descrição: Notícias e Exemplos Práticos
6- Noções de Teoria da Prova
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Bibliografia
1- Teoria das Categorias e Ciência da Computação.
Menezes, P.B. & Haeusler, E.H. Editora Sagra-Luzzato(Caps. 2 e 7)
2- Logic and Structure. Dirk van Dalen. Springer-Verlag. (3rd edição)
3- A Mathematical Introduction to Logic. H.B. Enderton.
4- Logics of Time and Computation. Robert Goldblatt. CSLI
5- Epistemic Logic for AI and Computer Science. Meyer & Van der Hoek
(Cambridge Tracts in Computer Science). (Caps 1 a 3)
6- Computational Complexity (Cap. 5)
7- Handbook of Description Logic. (Cap. 1 e 2).
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Semânticas
Extensional X Intensional
1. Planeta Vênus.
2. Estrela Vespertina.
3. Segundo Planeta do Sistema Solar.
- Em uma sem. extensional 1,2 e 3 têm o mesmo
significado.
Em uma sem. intensional 1, 2 e 3 têm diferentes
significados. A forma é levada (sintaxe ?) em
conta.
-
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Princípio da Funcionalidade de Frege
A Semântica de uma expressão deve ser
uma função da semântica das suas subexpressões.
Objetos sintáticos são naturalmente
Hierárquicos (estruturados).
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Princípio da Funcionalidade e
intensionalidade.
1. Necessariamente a estrela matutina é
a estrela matutina.
2. Necessariamente a estrela matutina é
a estrela vespertina.
 Linguagem natural necessita de semântica
intensional.
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