razões trigonometricas no triangulo retangulo.

Matemática Básica
Razões Trigonométricas
de Ângulos Agudos
TEOREMA DE PITÁGORAS
A
HIPOTENUSA
CATETO
B
(CATETO)  (CATETO)
2
5
3
4
C
CATETO
2
12
13
 (HIPOTENUSA)
2
5
21
29
20
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÂNGULOS AGUDOS
CATETO
HIPOTENUSA

CATETO ADJACENTE A
SENO
COSSENO
TANGENTE
COTANGENTE
SECANTE
COSSECANTE
CatetoOpuestoaq
senq=
Hipotenusa
CatetoOpuestoa
tan  
CatetoAdyacentea
Hipotenusa
sec  
CatetoAdyacentea
OPOSTO
A


CatetoAdyacentea
cos  
Hipotenusa
CatetoAdyacentea
cot  
CatetoOpuestoa
Hipotenusa
csc  
CatetoOpuestoa
EXEMPLO :
TEOREMA DE PITÁGORAS
H

sen 
cos 
12
H  1369  37
35
12
37
35
37
H2  122  352
tan 
cot  
12
35
35
12
sec 
csc  
EXEMPLO :
Sabendo que  é um ângulo
agudo tal que sen=2/3.....
3

2
37
35
37
12
PROPRIEDADES DAS RAZÕES
TRIGOMOMÉTRICAS DE
ÂNGULOS AGUDOS
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
1
sen 
csc 
sen csc   1
1
cos  
sec 
cos  sec   1
EXEMPLOS
1
tan  
cot 
tan  cot   1
1
o
A)

csc
36
sen36o
1
o

sec17
B)
cos17o
C) tan 49o cot 49o  1
D)sen2 csc 2  1
E) cos 63o sec   1
  63o
F) tan 2 cot   1
2  
PROPRIEDADES DAS RAZÕES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS COMPLEMENTARES
PROPRIEDADE:
“AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÂNGULO AGUDO SÃO
RESPECTIVAMENTE IGUAIS ÀS CO-RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
DE SEU ÂNGULO COMPLEMENTAR”
ÀS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO
TANGENTE E COTANGENTE; SECANTE E COSSECANTE
DENOMINAMOS :CO-RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
b

c
a

sen  cos 
cot   tan 
cos  sen
sec  csc 
tan  cot 
csc  sec 
EXEMPLOS
A)sen25o  cos 65 o ............... 25 o  65 o  90O
B) tan 43o  cot 47o ............... 43o  47o  90O
C) sec 60o  csc 30o ............... 60o  30o  90O
D)sen  cos 20o
  20o  90O
  70o
E) tan 5  cot 
5    90


F)sen   
5
 
 
5 2
o
  15
o
cos 
 
 
2 5
3

rad
10
TRIÂNGULOS NOTÁVEIS
1
60
2
O
3
3
53o
4
1
45 o(
1
30o (
sen30
5
37o (
2
45 o
o
1

2
tan 60o 
3
4
sec 45  2 cot 37 
3
tan 30o  1 x 3  3
3
3
3
1
2
2
o
x
sen45 

2
2
2
o
o
CALCULAR :
cot 
3 3
37o
30o
4 3
8
o
45
3 3

4
3 3
cot  
4
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
CASO1 – DADOS: HIPOTENUSA E ÂNGULO AGUDO
H
Hsen
5

Hcos 

5sen62 o
62o
5 cos 62o
CASO 2 – DADOS: CATETO ADJACENTE E ÂNGULO AGUDO
L tan
L sec 
L

8 sec 

8
8 tan

CASO 3 – DADOS: CATETO OPOSTO E ÂNGULO AGUDO
L
L csc 

L cot 
EXEMPLO
Calcular L e M termos de
m; y 
)
L
k csc 24
o

k
24o
k cot 24o

m
SOLUÇÃO

m

L
L  m tan 
 cot 
m
L  mcot   mtan 
mtan
L  mtan   mcot 
L  m(cot   tan )
NOTA: DESCOMPOSIÇÃO DE UM VETOR
Y
F

Fx
Fx  F cos 
Fy
X
Fy  Fsen
ÁREA DO TRIÂNGULO
C
a
b
A
EXEMPLO
B
(5)(8)
S
sen60o
2
5m
60 O
c
ab
S
senC
2
bc
S
senA
2
ac
S
senB
2
8m
(5)(8) 3
S
(
)  10 3m2
2
2
ÂNGULOS VERTICAIS
Os ângulos verticais são ângulos
agudos contidos em um plano vertical
e formados por duas linhas imaginárias
chamadas horizontal e visual
)
)
ÂNGULO DE ELEVAÇÃO
HORIZONTAL
ÂNGULO DE DEPRESSÃO
EXEMPLO:
UMa pessoa observa em um mesmo plano
vertical dois ovnis voando a uma mesma
altura com ângulos de elevação de 530 e
370 se a distância entre os ovnis é de
70m. A que altura estão os ovnis?
SOLUÇÃO
70
12k =H
12k
53 O 37o
9k
+
16k
9k +70 = 16k
k = 10
H = 120
ÂNGULOS HORIZONTAIS
Os ângulos horizontais são ângulos
agudos contidos em um plano horizontal,
se determinam tomando como referência
os pontos cardinais norte (N), sul (S),
leste (L) e oeste (O).
DIREÇÃO
CURSO
A direção de B em relação a A é
O curso de Q em relação a P
A direção de C em relação a A é
O curso de M em relação a P
27o ao leste do sul
N30 o E o E60 o N
S56 o O o O34 o S
N
B
Q
30 O
O
C
56
O
A
47o al oeste del norte
N
47o
E
O
E
P
27o
S
S
M
ROSA NÁUTICA
Gráfico que contém 32 direções
notáveis, cada direção forma entre
elas um ângulo cuja medida é 11o15 '
No gráfico adjunto só se
mostran
16
direções
notáveis, cada uma forma
entre elas um ângulo cuja
medida é 22o 30'
NNO
N
NNE
NE
NO
ONO
ENE
E
O
OSO
ESE
SO
SE
SSO
S
SSE
As outras 16 direções obtemos traçando as
bissetrizes dos 16 ângulos que se mostram no
gráfico anterior.
N 1 4 NO
NO 1 4 N
NNO
NO 1 4 O
O 1 4 NO
N 1 4 NE
NE 1 4 N
N
NNE
NO
NE
NE 1 4 E
ONO
ENE
O
E
Quanto mede o ângulo entre as direções
NE1/ 4N y NO1/ 4O ?
Rpta.
90
o
E 1 4 NE
EXEMPLO:
Um inseto parte de um ponto F e percorre
40 km na direção N530O logo percorre
402 km na direção SO, finalmente
percorre 60 km para o leste. A que
distância se encontra o inseto de F?
N
SOLUÇÃO
OBSERVE QUE O
TRIÂNGULO DE COR
VERMELHA É NOTÁVEL
45 o
24
40 2
X = 20
40
53o
O
16
45 o
F E
37o
40
32
20
60
x
16
12
S
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DA METADE
DE UM ÂNGULO AGUDO (método gráfico)

c
) 2 2
c
+

2
a
ca
b


tan   

 2 c  a
b
b
EXEMPLO :
Sabendo que: tan 8=24/7,
calcule tan2
24
tan 4 
25  7
24 tan 4  24
32
SOLUÇÃO
25
4
25
5
3
4
4
8
7
3
tan 2 
9
2
5
3
tan 4 
4
1
tan 2 
3