Aulas_1 - Introdução à Probabilidade

Mestrado em Engenharia Elétrica
Disciplina: Probabilidade e Processos Estocásticos
Parte 1: Introdução à Probabilidade
José Raimundo Gomes Pereira
[email protected]
20 de Março de 2017
Referências:
ROSS, S. M. Introduction to Probability Models. Ninth
Edition. Academic Press, 2007
KAY, S. Intuitive Probability and Random Processes using
MATLAB. Springer, 2006.
WASSERMAN, A. All of Statistics. A Concise Course in
Statistical Inference. Springer, 2004.
DEKKING, F.M.; KRAAIKAMP, C.; LOPUHAÃ, H.P. e
MEESTER, L.E. A Modern Introduction to Probability and
Statistics. Understanding Why and How. Springer, 2005.
STATISTICS TOLBOX. For use with MATLAB. User’s Guide.
2003.(www.mathworks.com).
TORGO, L. Introdução à Programação em R. 2006.
(http://www.r-project.org)
Modelos Probabilísticos
Nas engenharias há uma crescente necessidade de desenvolver
estudos visando obter modelos que descrevam sistemas que variam
de forma aleatória, não determinísitca da ótica do observador
Um modelo é uma representação aproximada de uma situação física
Modelos probabilísticos são formas matemáticas para descrever, ou
modelar, o comportamento de variáveis associadas à experimentos
ou fenômenos com um comportamento não determinístico, ou seja
aleatório
Processos estocásticos são modelos probabilísticos para descrever
sistemas que se desenvolvem no tempo de forma aleatória
Alguns exemplos:
I
sequência de medições de voltagem ou temperatura
I
“stream” de dados binários no computador
I
sequência de índices na BOVESPA
I
sinais de fala relativas à elocuções de palavras em um
dicionário
I
sequência de imagens de uma TV a cabo
I
sequência de lançamentos de um dado
I
número de e-mails para serem transmitidos em intervalos de
tempo fixos
I
taxa de glicose em pacientes que chegam a um PS
Conceitos básicos
Experimento aleatório: são experimentos (ou fenômenos) que
repetidos (ou observados) sob as mesmas condições apresentam
variações em seus resultados; impossível afirmar exatamente o
resultado que ocorrerá; podemos descrever um conjunto com todos
os resultados possíveis.
Espaço amostral (S, Ω): o conjunto que contém todos os
resultados possíveis do experimento; pode ser enumerável ou não
enumerável
Evento: qualquer resultado de interesse para o experimento,
portanto, um subconjunto (⊂) do espaço amostral (denotados por
A, B, C , ...).
Referência:
ROSS(2007), Chapter 1.
KAY(2006), Chapter 3 and Chapter 4.
Exemplo 1.1
1. Contar o número de “voice packets” contendo somente silêncio
produzido por N “locutores” em um período de 10ms.
S = {0, 1, 2, 3, ...., N} (discreto)
A : ocorrer 5 ou mais “packets”
A = {5, 6, .., N}, A ⊂ S
2. Medir o tempo entre as chegadas de duas mensagens
consecutivas em um ponto de transmissão:
S = {t : t > 0} (contínuo)
B : o tempo é no máximo 10 seg
B = (0, 10], B ⊂ S
Conceitos básicos
Se A ⊂ S e B ⊂ S, então
I
(A ∪ B) ⊂ S
I
(A ∩ B) ⊂ S
I
Ac ⊂ S
I
(B − A) = (B ∩ Ac ) ⊂ S
Em termos de ocorrências no experimento:
I
A ∪ B: "resultados A ou B"
I
A ∩ B: "resultados de A e B"
I
Ac : "resultados que não são de A"
I
B − A: "resultados de B que não são de A"
Conceitos básicos
As operações estão definidas para quantidades enumeráveis de
conjuntos:
I
I
∪n
i=1 Ai = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An - evento que ocorre se pelo menos
um Ai ocorre
∩n
i=1 Ai
= A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An - evento que ocorre se todos os Ai
ocorrem
Leis de De Morgan
∪n
c
i=1 Ai )
∩n
I ( i=1 Ai )c
I
(
=
=
∩n
c
i=1 Ai
c
i=1 Ai
∪n
Conceitos básicos
Dois eventos, A e B, que não possam ocorrer conjuntamente são
denomindados de mutuamente exclusivos (ou disjuntos) então,
temos A ∩ B = 0/
I
S ⊂ S; S é denominado evento certo
I
0/ ⊂ S; 0/ é denominado evento impossível
I
Os elementos em S = {s1 , s2 , s3 , ...} são denominados eventos
elementares.
X A intenção é mensurar a “chance” da ocorrência dos eventos de
interesse, para isso definimos a probabilidade de ocorrência dos
eventos.
Probabilidade
Definição:
A probabilidade é uma função P(·), definida para eventos do
espaço amostral S, que satisfaz:
(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo A ⊂ S.
(ii) P(S) = 1
(iii) Se A1 , A2 , A3 , ..., Ak são eventos mutuamente exclusivos, então
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ) =
k
∑ P(Ai ).
i=1
Probabilidade: propriedades
1. P(0)
/ = 0.
2. P(Ac ) = 1 − P(A).
3. P(B − A) = P(B) − P(A ∩ B)
4. Se A e B são eventos quaisquer,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (∗)
5. Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B).
6. Se A1 , A2 , A3 , ..., Ak são eventos quaisquer
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ) ≤
k
∑ P(Ai ).
i=1
Exercício 1.1
1. Verificar, analíticamente, a lei de De Morgan apresentada.
2. Fazer a verificação das propriedades apresentadas decorrentes
da definição de probabilidade.
3. Sendo P(A) = 0, 9, P(B) = 0, 8 e P(A ∩ B) = 0, 75, determine:
(a) P(A ∪ B)
(b) P(A ∩ B c )
(c) P(Ac ∩ B c )
Probabilidade com S discreto
Seja S finito e todos seus resultados equiprováveis, isto é, podemos
assumir que cada evento elementar tem a mesma probabilidade de
ocorrência.
Definimos, para todo A ⊂ S,
P(A) =
n(A)
,
n(S)
onde n(A) é número de elementos em A.
X Esta definição está associada à idéia de frequência relativa da
ocorrência de eventos e satisfaz aos três axiomas da definição de
probabilidade.
Exercício:
Fazer a verificação de que esta definição satisfaz os axiomas da
definição de probabilidade.
Exemplo 1.2
1. Considere um experimento de lançar dois dados (idênticos e
honestos) e observar os pontos obtidos em cada um.
(a) Descreva o espaço amostral do experimento.
(b) Qual a probabilidade dos dados apresentarem iguais número de
pontos?
2. Considere um experimento de lançar dois dados (idênticos e
honestos) e observar a soma dos pontos obtidos nos dados.
(a) Descreva o espaço amostral do experimento.
(b) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser maior que 10?
Probabilidade com S discreto
Podemos recorrer aos métodos de contagem.
1. Permutação de n objetos:
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ...... × 2 × 1
2. Arranjos: n objetos de um conjunto com N (ordem diferência)
(N)n = N × (N − 1) × (N − 2) × .... × (N − n + 1)
3. Combinação: n objetos de um conjunto com N (a ordem não
( )
diferência)
N
N!
=
n
n!(N − n)!
Exemplo 1.3
Considere que uma linha de produção temos um lote com 50 itens,
dos quais 10 são defeituosos. Suponha que 10 itens são
selecionados ao acaso para serem testados.
(a) Qual a probabilidade de que exatamente 5 dos itens testados
sejam defeituosos?
(b) Qual a probabilidade de que pelo menos um dos itens testados
seja defeituoso?
Probabilidade Condicional
Existem situações onde há interesse em conhecer a probabilidade da
ocorrência de um evento A, sob a condição de ocorrência de um
outro evento B.
Situação:
Em um estoque temos “chips” de três fornecedores, denominados
por A, B e C . Sabe-se que neste estoque há “chips” que
apresentam defeitos. Se um “chip” selecionado ao acaso é
defeituoso, qual a probabilidade de ser do fornecedor A?
D : ser defeituoso
A : ser fornecido por A
P(A “sob a ocorrência de” D) ≡ P(A|D)
Probabilidade Condicional
Definição: A probabilidade condicional da ocorrência de A, dado
que B tenha ocorrido, é dada por
P(A|B) =
P(A ∩ B)
,
P(B)
onde P(B) > 0.
Observações:
(a) Se A e B são m.e. ⇒ P(A|B) = 0
(b) Esta definição satisfaz os axiomas da definição de
probabilidade.
Exercício:
Mostrar que a definição de probabilidade condicional satisfaz os
axiomas da definição de probabilidade.
Exemplo 1.4
Em um estoque há “chips” de três fornecedores, onde 50% são do
fornecedor A, 30 % de B e 20% de C . Sabe-se que a porcentagem
de defeituosos é 1,2% para A, 1,8% para B e 2,0% para C . Se um
“chip” selecionado ao acaso for defeituoso, encontre a probabilidade
de:
(a) Ser do fornecedor A?
(b) Ser do fornecedor C ?
Probabilidade Condicional
Regra da Multiplicação: da definição de probabilidade condicional,
temos os seguintes resultados:
1. Se A e B são eventos quaisquer
P(A ∩ B) = P(A|B)P(B)
ou
P(A ∩ B) = P(B|A)P(A)
2. Se A1 , A2 , A3 , ..., Ak são eventos quaisquer
P(
k
∩
Ai ) = P(A1 )P(A2 |A1 )...P(Ak |A1 ∩ A2 ...Ak−1 )
i =1
Exercício:
Fazer a verificação destes resultados decorrentes da definição de
probabilidade condicional.
Exemplo 1.5
Considere que uma linha de produção temos um lote com 50 itens,
dos quais 10 são defeituosos. Suponha, agora, que itens são
selecionados ao acaso, um após o outro, para serem testados.
(a) Se forem selecionados dois itens, qual a probabilidade de
segundo ser bom?
(b) Se forem selecionados três itens, qual a probabilidade de sair o
primeiro defeituoso, o segundo bom e o terceiro bom?
Teorema da Probabilidade Total
Sejam A1 , A2 , A3 , ..., Ak uma partição de S, i.é., eventos em S tais
que
Ai ∩ Aj
= 0,
/ ∀i ̸= j
∪ki=1 Ai
= S.
Sendo B um outro evento qualquer em S, então
P(B) = P{∪ki=1 (B ∩ Ai )}
k
P(B) =
∑ P(B|Ai )P(Ai )
i=1
X A probabilidade de qualquer evento pode ser especificada em
termos da probabilidade dos eventos na partição.
Teorema de Bayes
Sendo A1 , A2 , A3 , ..., Ak uma partição e B um evento qualquer de
S, pelo teorema da Probabilidade Total, temos que
P(Aj |B) =
P(B|Aj )P(Aj )
,
k
∑i=1 P(B|Ai )P(Ai )
j = 1, 2, ..., k.
X Podemos inverter as probabilidades condicionais para obter
probabilidades para os eventos na partição do espaço amostral
Exercício:
Fazer a verificação do Teorema da Probabilidade Total e do
Teorema de Bayes.
Exemplo 1.6
Um teste de laboratório é efetivo em 95% dos casos (detectar
corretamente a doença) e apresenta “falso-positivo” em 1% dos
casos (indicar falsamente a doença). Se em uma população, onde
5% das pessoas tem a doença, uma pessoa é selecionada ao acaso e
submetida ao teste,
(a) qual a probabilidade do resultado ser positivo?
(b) qual a probabilidade da pessoa ter a doença se o teste for
positivo?
Independência de Eventos
Temos situações em experimentos onde a ocorrência de um evento
A não “afeta” a probabilidade da ocorrência de um outro evento B
⇒ “os resultados em B independem dos resultados em A”,
P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B),
Formalmente,
Definição: Dizemos que dois eventos A e B são independentes se, e
somente se,
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Independência de Eventos
Extensão: os eventos A1 , A2 , A3 , ..., Ak são ditos independentes (ou
conjuntamente independentes) se, ∀ m = 2, 3, ..., k,
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aim ) = P(Ai1 )P(Ai2 )...P(Aim )
i.é., são independentes “2 a 2”, “3 a 3”,....,“k a k”.
Pela definição, se A1 , A2 , A3 , ..., Ak são eventos (conjuntamente)
indepedentes, então temos que
P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ak ) = P(A1 )P(A2 )...P(Ak ).
Exemplo 1.7
Considere o experimento de lançar 10 vezes uma moeda
(“honesta”). Defina os eventos:
Ai : ocorre cara no i-ésimo lançamento, i = 1, 2, .., 10
(a) É razoável supor que os eventos A1 , A2 , ..., e A10 são
conjuntamente independentes?
(b) Qual a probabilidade de ocorrer dez caras?
(c) Qual a probabilidade de ocorrer exatamente uma cara?
Observação:
Nas situações reais, a forma como os experimento são realizados é
que define se podemos considerar os eventos como independentes
ou não.
Exercício.
1. Considere uma urna com bolas numeradas por 1, 2, 3 e 4.
Sendo uma bola selecionada ao acaso, considere os eventos:
A = {1, 2},
B = {1, 3} e C = {1, 4}.
Verifique se A, B e C são eventos conjuntamente
independentes.
2. Sendo A e B eventos independentes em S, mostre que
(a) A e B c são independentes.
(b) Ac e B são independentes.
(c) Ac e B c são independentes.
Exemplo 1.8
Amostras de produtos de dois fornecedores (Fornec.) são
classificadas com relação a satisfazer ou não as especificações
(S.Espec.). Os resultados de 126 amostras são os seguintes:
Fornec. \ S.Espec.
1
2
Sim
80
40
Não
4
2
Sendo uma amostra selecionada ao acaso, defina:
A : a amostra é do fornecedor 1
B : a amostra atende a especificação.
(a) A e B são independentes?
(b) Ac e B são independentes?