Aula 5 - FGV/EPGE

Value-at-Risk
Prof. José Valentim Machado Vicente, D.Sc.
[email protected]
Aula 5
Conteúdo da Aula

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
O que é VaR?
Modelos Paramétricos
Método Delta-Normal
Simulação Histórica
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O que é VaR ?
 Metodologia de avaliação do risco proposta pelo Banco J.P.
Morgan em 1994.
 Valor monetário das perdas a que uma carteira está sujeita, a um
determinado nível de confiança e dentro de um horizonte de
tempo.
 Carteira com VaR de R$ 1.300.000, em um dia e para um nível
de confiança de 95%, significa que há 5% de probabilidade de
apurarmos uma perda de mais de R$ 1.300.000 em um dia.
 Ou ainda que com 95% de confiança a perda não será superior a
R$ 1.300.000.
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O que é VaR ?
 O VaR está sempre associado a:
 uma moeda (valor monetário).
 um intervalo de tempo (quando devemos notar a perda).
 uma probabilidade (com que freqüência a perda será notada).
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O que é VaR ?
 Formalmente temos,
P(X t  VaR)   .
Onde:
 α é o nível de significância (ou (1 – α) é o nível de confiança)
adotado.
  X é a variação no valor da carteira de preço X .
t
t
 VaR é o valor em risco para o horizonte de tempo t.
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A Distribuição Normal
 A distribuição normal ou Gaussiana é uma das mais importantes
distribuições de probabilidade.
 Ela serve como uma excelente aproximação para uma grande
classe de distribuições que têm enorme importância prática.
 Notação: N(,2) significa distribuição normal com média  e
variância 2. Já Z = N(0,1) significa distribuição normal padrão,
isto é, com média zero e a variância unitária.
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A Distribuição Normal
68,27%
>
95,46%
99,73%

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 


 

 
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A Distribuição Normal
 A maior parte dos dados se encontram em torno da média. A
medida que nos afastamos dela, tanto para mais como para
menos, a probabilidade de ocorrência de um resultado diminui
de uma forma simétrica, isto é, a distribuição é uma curva
simétrica em relação a .
 O espalhamento do gráfico é determinado pelo desvio padrão .
 A equação da curva é
2

1
1 x    
.
f ( x) 
exp  
 
2 
2




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A Distribuição Normal
 Propriedade: Se X tem distribuição normal N(,2) então (X –
)/ tem distribuição normal padrão.
 Tabela da distribuição normal padrão.
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z
 = P[Z  z]
-3
0,00135
-2
0,02275
-1
0,158655
0
0,5
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A Distribuição Normal
 Exemplo: Suponha que a altura H de um brasileiro adulto seja
distribuída normalmente com média 170 cm e variância 100
cm2. Calcule a probabilidade da altura de um brasileiro sorteado
ao acaso ser maior que 2,0 m.
P[H > 200] = P[H – 170 > 30] =
= P[(H – 170)/10 > 3] =
= P[Z > 3] = (simetria) =
= P[Z < – 3] = (tabela) = 0,00135.
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Modelos Paramétricos – VaR de um
Único Ativo
 Hipótese 1 - Retorno Aritmético ([S1 – S0]/S0, onde S0 é o preço
do ativo hoje e S1 o preço do ativo amanhã) distribuído
normalmente.
VaR  X 0 z1 .
 Para um horizonte de tempo t diferente de um dia, temos:
VaR  X 0 z1 t .
onde  volatilidade diária do retorno aritmético do ativo, X0
posição marcada a mercado da carteira, isto é, valor atual
investido no ativo, e z1- constante relativa ao número de desvios
padrões para o nível de confiança desejado.
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Modelos Paramétricos – VaR de um
Único Ativo
 Exemplo: Considere uma carteira formada unicamente por ações
da Petrobras no dia 04/11/2004. Suponha que queiramos
determinar o VaR para o dia 05/11/2004 com nível de confiança
de 95%.
 Posição de 10.000 ações de Petrobras, X0 = 94,49·10.000=
R$ 944.900.
 Nível de confiança 95%  z = 1,65.
 Volatilidade da Petrobras  = 1,21% (método simples com
janela de 60 dias, isto é, o desvio padrão é estimado tendo
por base uma amostra dos últimos 60 dias).
 VaR (1 dia) = 944.900·1,65·1,21% = R$ 18.852.
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Modelos Paramétricos – VaR de um
Único Ativo
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Modelos Paramétricos – VaR de um
Único Ativo
 Hipótese 2 – Retorno Geométrico (ln[S1/S0]) distribuído
normalmente.

VaR  X 0 1  e
 z1  g
,
onde g é a volatilidade do retorno geométrico de um dia.
 Para os mesmos dados do exemplo anterior temos VaR = R$
16.640.
 Estimando a volatilidade via EWMA com lambda = 0,94 temos:


VaR  944.900  1  e1,651, 21%  R$ 16.640.
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Modelos Paramétricos – VaR de
uma Carteira
 Para carteiras formadas por dois ativos temos de levar em conta
o efeito da correlação:
VaRc  VaR12  VaR22  2 1, 2VaR1VaR2 .
Onde:
 VaR = Value at Risk da carteira;
c
 VaR = Value at Risk do ativo 1 da carteira;
1
 VaR = Value at Risk do ativo 2 da carteira;
2
 
1,2 = coeficiente de correlação entre o ativo 1 e o ativo 2.
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Modelos Paramétricos – VaR de
uma Carteira
 Exemplo: Carteira = 10 mil ações Petrobras e 10 milhões ações
de Telemar, o VaR com (1 - ) = 95% é
VaRC (1 dia) 
18852 2  274812  2  0,5503 18852  27481
 R $ 40.998.
 Exercício: Verifique que o VaR da carteira é menor que a soma
dos VaR´s das duas ações (efeito da diversificação).
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Modelos Paramétricos – VaR de
uma Carteira
 Uma forma alternativa de calcular o VaR de uma carteira
formada por dois ativos consiste em, primeiramente, calcular a
variância da carteira e em seguida empregar uma das fórmulas
de VaR vistas anteriormente.
 c2  w1
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 12 12   w1 
w2   

2  w 
12  2   2 
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O Método Delta-Normal
 No método Delta-Normal, o VaR de um ativo (ou carteira) que
responde não linearmente em relação a um fator de risco é
calculado através de uma linearização de primeira ordem.
 Exemplos:
 A sensibilidade do prêmio de uma opção em relação ao ativo
objeto é o delta.
 A sensibilidade de um título de renda fixa à taxa de juros é a
duration.
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O Método Delta-Normal
 O VaR de um posição em opções pode ser aproximado pelo VaR
de uma posição composta pelo ativo objeto em valor igual a 
vezes a posição em opções:
VaRopção    X 0 z1 
onde sigma é a volatilidade do retorno do ativo objeto.
 VaR de um título zero-cupon é aproximado por:
T
VaR juros 
 X 0 z1 
(1  i )
onde sigma é a volatilidade do retorno da taxa de juros. Se a
capitalização é contínua então a duration é igual a T.
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O Método Delta-Normal
 Considere uma carteira formada por 100.000 opções sobre
Petrobras no dia 04/11/2004. Determine o VaR para o dia
05/11/2004 com 95% de confiança. Suponha válido o modelo de
B&S. Suponha também que o único risco importante é o de
variação no preço do ativo objeto. Dados da opção: Strike = 96,
prazo = 52 dias, taxa para 52 dias = 15.53% a.a. (contínua),
prêmio = R$ 5.75.
 Nesse caso  = 0,5907, logo:
VaR = 0,5907100.000  94,49  1,21%  1,65 = 111.429
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O Método Delta-Gama-Normal
 O método delta-normal consiste em fazer um aproximação de
primeira ordem para a influência dos fatores de risco no preço
do ativo.
 Em algumas situações, essa abordagem apresenta uma qualidade
ruim. Portanto, é necessário utilizar termos de ordem superior. A
aproximação de segunda ordem é conhecida como delta-gamanormal. Para opções temos:
VaR  z1 nS0    (1/ 2) S0 
2 2
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2
2 4
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Modelos Não Paramétricos
 Existem mercados em que a suposição de um distribuição
normal para os retornos dos ativos não corresponde a realidade.
Exemplos:
 Mercado de dólares no Brasil entre os anos de 1994 e 1998.
 Mercados nos quais existe probabilidade não desprezível de
ocorrência de retornos longe da média.
 Carteiras com ativos não lineares como opções.
 Solução: Modelos não paramétricos, que consistem basicamente
na simulação de uma série de cenários. Essa simulação poder ser
feita historicamente ou então usando o método de Monte Carlo.
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Modelos Não Paramétricos
 Nos mercados em que existem maiores ocorrências de
observações longe da média (distribuições com caudas gordas),
assumir uma distribuição normal irá causar, inevitavelmente,
uma distorção no cálculo do risco para um valor inferior ao real,
ou seja, serão atribuídas probabilidades de ocorrência menores
do que as observadas, ou esperadas, para grandes variações.
Essa deficiência se agrava principalmente nos casos de haver
uma tendência na distribuição (uma cauda mais gorda do que a
outra
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Modelos Não Paramétricos
 Em estatística, distribuições com caudas gordas são chamadas de
leptocúrticas. Uma medida da extensão dos dados observados
que caem perto do centro ou nas caudas de uma distribuição é
dada pela curtose. A curtose de um conjunto de dados x1, ..., xn é
definida como
1 xi  Me( X ) 
Curt ( X )  
3
4
n i 1 DP ( X )
n
4
 A função CURT do MS Excel calcula a curtose.
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Modelos Não Paramétricos
 A curtose de uma distribuição normal é zero (dizemos que a
distribuição é mesocúrtica). Uma curtose maior que zero
(leptocúrtica) indica uma distribuição com grandes picos, caudas
grossas e poucos dados intermediários. Já uma curtose menor
que zero (platicúrtica) significa que a distribuição possui muitos
dados de magnitude intermediária e um pico pequeno.
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Modelos Não Paramétricos
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Modelos Não Paramétricos
 Outro problema bastante sério dos modelos paramétricos ocorre
quando a carteira a ser analisada é uma função não linear de pelo
menos um dos fatores de risco. Isso acontece com as opções:
dada uma variação no preço do ativo objeto podemos apenas
aproximar a variação no prêmio por uma função linear.
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Simulação Histórica
 Passo 1: Definir um período de tempo e estudar as variações de
preços ocorrida nesse período.
 Passo 2: Empregar estas variações para reavaliar a carteira em
cada um dos cenários históricos.
 Passo 3: Esse conjunto de dados determina a distribuição da
carteira segundo a série de cenários simulados
 Passo 4: Determinar o quantil dos dados simulados
correspondente ao nível de confiança adotado.
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Simulação Histórica
 Exemplo: Considere uma carteira formada unicamente por ações
da Petrobras no dia 04/11/2004. Suponha que queiramos
determinar o VaR para o dia 05/11/2004 com um nível de
confiança de 95%. A posição em Petrobras é de 10.000 ações.
Fechamento de Petrobras em 04/11/2004 igual R$ 94.49, logo o
valor da carteira é R$ 944.900,00.
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Simulação Histórica
Data
Retorno
P/G
Data*
P/G *
04-Nov-2004
0.52%
4,925.54
13-Oct-2004
-36,946.43
03-Nov-2004
0.13%
1,207.80
19-Oct-2004
-21,767.75
01-Nov-2004
0.62%
5,873.98
28-Jun-2004
-17,292.29
29-Oct-2004
0.16%
1,521.58
05-Aug-2004
-16,229.20
28-Oct-2004
-0.90%
-8,544.31
07-Jul-2004
-16,082.87
27-Oct-2004
0.27%
2,519.73
22-Jul-2004
-13,613.49
26-Oct-2004
-1.11%
-10,465.66
25-Jun-2004
-13,394.20
…
…
…
…
…
14-Jun-2004
1.05%
9,918.84
23-Jun-2004
38,580.25
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Simulação Histórica
 O VaR com 95% de confiança é o 5% Percentil da última coluna
da tabela anterior. Para calcular o percentil de uma série de
dados você pode usar a função PERCENTIL do MS Excel.
 O percentil pode ser calculado de várias maneiras. Por exemplo,
se os dados são 1, 2, 3 e 4, então o Excel considera que esses são
os percentis 0, 33.33%, 66.67% e 100% respectivamente.
Valores intermediários são obtidos por interpolação.
 Então o VaR é R$ 13.737.
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Simulação Histórica
 Exercício: Considere uma carteira formada por ações da
Petrobras e da Vale no dia 04/11/2004. Determine o VaR para o
dia 05/11/2004 com um nível de confiança de 95%. A posição
em Vale é de 15.000 ações e em Petrobras é de 10.000 ações.
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Simulação Histórica
Data
P/G Petr
P/G Vale
P/G carteira
4-nov-04
4,925.54
1,352.31
6,277.86
3-nov-04
1,207.80
7,585.10
8,792.89
1-nov-04
5,873.98
303.52
6,177.50
29-out-04
1,521.58
4,272.30
5,793.88
28-out-04
-8,544.31
-24,540.69
-33,084.99
9,918.84




14-jun-04
-24,730.54
-14,811.70
 VaR = 31.628
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Simulação Histórica
 Considere uma carteira formada por 100.000 opções sobre
Petrobras no dia 04/11/2004. Determine o VaR para o dia
05/11/2004 com 95% de confiança. Para calcular o preço
simulado use o modelo de B&S. Suponha que o único risco
importante é o de variação no preço do ativo objeto. Dados da
opção: Strike = 96, prazo = 52 dias, taxa para 52 dias (e 51 dias)
= 15.53% a.a. (contínua), prêmio = R$ 5.75.
 VaR = R$ 250.027 (solução).
 Para incluir o risco de volatilidade, é necessário simular a
volatilidade para o prazo de 51 dias e moneyness da opção. Isso
deve ser feito a partir das superfícies de volatilidade.
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Simulação Histórica
Data
Preço Petr Preco call
04-nov-04
94,98
4,31
03-nov-04
94,61
4,08
01-nov-04
95,08
4,37
29-out-04
94,64
4,10
28-out-04
93,64
3,53
27-out-04
94,74
4,16
...
...
...
14-jun-04
95,48
4,62
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Variação
-1,44
-1,67
-1,38
-1,65
-2,22
-1,59
...
-1,13
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Simulação Histórica
 Calcule o VaR de uma carteira no dia 04/11/04 para o dia
05/11/04 de uma carteira formada por uma LTN vencendo em
50 dias. Use nível de confiança de 95%. Preço atual da LTN =
R$ 968,7514 (taxa contínua = 16,00% a.a.).
 Nesse exercício, o mais natural é usar a decomposição em
vértice adjacentes da LTN. No entanto, para simplificar
simulamos apenas a taxa de 49 dias, obtida por interpolação.
 VaR = R$ 0,15 (solução).
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Simulação Histórica
Data
Taxa
Preço LTN Variação
04-nov-04
16,08%
969,21
-0,15
03-nov-04
15,92%
969,52
0,15
01-nov-04
15,94%
969,49
0,12
29-out-04
16,01%
969,35
-0,01
28-out-04
16,01%
969,36
-0,01
27-out-04
16,01%
969,35
-0,02
...
...
...
...
14-jun-04
16,04%
969,29
-0,07
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Simulação Histórica
 Simulação histórica consiste em construir uma base de
movimentos diários de todos os fatores de risco de mercado.
 Vantagem da SH:
 Reflete a distribuição multivariada histórica dos fatores de
risco.
 Desvantagem da SH
 Não incorpora atualizações da volatilidade (tipo EWMA e
GARCH). Isto é, não incorpora volatilidade estocástica.
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Simulação Histórica
 Solução 1: Amostrar mais freqüentemente das observações mais
recentes.
 Boudoukh, Richardson, e Whitelaw (1998) propõem uma
versão dessa abordagem no qual o peso da observação n+1
dias atrás é igual a lambda vezes o peso da observação n dias
atrás. Para determinar o particular percentil é necessário
ordenar as observações dos últimos N dias e, começando da
menor, acumular os pesos até chegar no percentil.
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39
Simulação Histórica
 Solução 2: Ajustar as observações pela volatilidade
GARCH/EWMA estimada diariamente (Hull e White, 1998).
 Seja ht a variação percentual histórica na data t.
 Seja t a volatilidade GARCH/EWMA no dia t e N a
volatilidade GARCH/EWMA no dia N (hoje). Então
devemos ht por ht* onde
h N
*
t
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ht
t
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Simulação Histórica
 Exercício: Aplique os dois métodos anteriores para a carteira no
dia 04/11/04 formada por 10.000 ações de Petrobras.
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Leitura
 Jorion, (2007) – Value-at-Risk
 Capítulos 5, 7 e 10.
 Hull, J. Options, Futures and Other Derivatives, 2006.
 Capítulo 16.
 Boudoukh, J., M. Richardson, and R. Whitelaw, "The Best of
Both Worlds," RISK, May 1998, pp. 64-67.
 Hull, J. C, and A. White, "Incorporating Volatility Updating into
the Historical Simulation Method for Value at Risk," Journal of
Risk, 1, no. 1 (1998), 5-19.
Aula 5
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