Probabilidade

ESTATÍSTICA AULA 08
PROBABILIDADE – Unidade 5
Probabilidade Condicional
Professor Marcelo Menezes Reis
1
Aulas prévias



Planejamento da pesquisa e amostragem.
Análise Exploratória de Dados I e II:
 Resumir e organizar o conjunto de
dados.
Conceitos básicos de probabilidade:
experimento aleatório, espaço amostral,
eventos.
 Definições de probabilidade.
2
Conteúdo desta aula



Conceito de Probabilidade condicional.
Conceito de Independência estatística.
Exemplos.
3
Incerteza


“Certo mesmo, apenas a morte e os
impostos...”
Até a Unidade 4 raciocínio indutivo:
 Dados coletados.
 Análise Exploratória de Dados
 Elaborar
hipóteses
sobre
a
variabilidade.
4
Modelo probabilístico

Construção de
modelos de
probabilidade para
entender melhor os
fenômenos
aleatórios
5
Probabilidade

Uso de um modelo probabilístico:
 Definem-se
todos
os
resultados
possíveis.
 Obtém-se
uma regra para avaliar a
possibilidade
de
ocorrência
dos
resultados.
6
Probabilidade condicional


Qual é a probabilidade do Brasil ganhar a
Copa do Mundo de 2010 supondo-se que
ganhará a Copa América de 2009?
Qual é a probabilidade do dólar cair para
R$1,8 se o FED reduzir a taxa de juros em
0,5% no próximo mês?
7
Probabilidade condicional

Sejam A e B eventos quaisquer, sendo
P(B) > 0. Definimos a probabilidade
condicional de A dado B por:
P(A  B)
P(A | B) 
P(B)
8
Probabilidade condicional

Sejam A e B eventos quaisquer, sendo
P(A) > 0. Definimos a probabilidade
condicional de B dado A por:
P(A  B)
P( B | A) 
P( A)
9
Regra do produto
P(A  B)
P(A | B) 
P(B)
P(A  B)  P(B)  P(A | B)
ou
P(A  B)
P( B | A) 
P( A)
P(A  B)  P(A)  P(B | A)
10
Eventos independentes

Dois ou mais eventos são independentes
quando a ocorrência de um dos eventos não
influencia a probabilidade da ocorrência dos
outros. Nesse caso: P(A | B)  P(A)
A e B são independentes
P(A  B)  P(A)  P(B)
11
Exemplo 1

Retirado de BARBETTA, P.A., REIS, M.M.,
BORNIA, A.C. Estatística para Cursos de
Engenharia e Informática. 2ª ed. São
Paulo: Atlas, 2008, página 103
12
Exemplo 1



Seja o lançamento de 2 dados não
viciados e a observação das faces
voltadas para cima.
Calcule a probabilidade de ocorrer faces
iguais, sabendo-se que a soma é menor
ou igual a 5.
Calcule a probabilidade de ocorrer soma
das faces menor ou igual a 5 sabendo-se
que são iguais.
13
Exemplo 1
 (1, 1)
 (2, 1)

 (3, 1)
Ω
 (4, 1)
 (5, 1)

 (6, 1)
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(5, 2)
(6, 2)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)
(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)
(6, 4)
(1, 5)
(2, 5)
(3, 5)
(4, 5)
(5, 5)
(6, 5)
(1, 6) 
(2, 6) 
(3, 6) 

(4, 6) 
(5, 6) 

(6, 6) 
36 resultados eqüiprováveis.
14
Exemplo 1
E1 = faces iguais = {(1, 1), (2, 2), (3, 3),
(4, 4), (5, 5), (6, 6)}
P(E1) = 6/36 = 1/6
E2 = soma das faces é menor ou igual a 5 =
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2),
(2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}.
P(E2) = 10/36 = 5/18
15
2
P ( E1  E 2 )
2
36
P ( E1 | E 2 ) 


 0,2
10
P(E 2 )
10
36
2
P ( E1  E 2 )
2
36
P ( E 2 | E1 ) 

  0,33
6
P ( E1 )
6
36
16
Exemplo 2

Adaptado
de
WARNER,
B.
A.,
PENDERGRAFT, D., e WEBB, T. That
Was Venn, This Is Now. Journal of
Statistics Education v.6, n.1 (1998).
17
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com champignon supondo
que houvesse calabresa nele?
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com calabresa supondo que
houvesse champignon nele?
P(Champignon  Calabresa ) 3 / 8 3
P(Champignon | Calabresa ) 


P(Calabresa )
5/8 5
P(Champignon  Calabresa ) 3 / 8 3
P(Calabresa | Champignon ) 


P(Champignon )
4/8 4
18
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com champignon supondo
que houvesse calabresa nele?
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com calabresa supondo que
houvesse champignon nele?
P(Champignon  Calabresa ) 2 / 8 2
P(Champignon | Calabresa ) 


P(Calabresa )
4/8 4
P(Champignon  Calabresa ) 2 / 8 2
P(Calabresa | Champignon ) 


P(Champignon )
4 / 8 419
Exemplo 3

Adaptado de BARBETTA, P.A., REIS,
M.M., BORNIA, A.C. Estatística para
Cursos de Engenharia e Informática. 2ª
ed. São Paulo: Atlas, 2008, página 114
20
Exemplo 3



Após um processo de seleção para
preenchimento de 2 vagas para engenheiro,
uma empresa chegou a um conjunto de 9
engenheiros e 6 engenheiras, todos com
capacitação bastante semelhante. Indeciso,
o setor de RH decidiu realizar um sorteio
para preencher as 2 vagas oferecidas.
a) Construa o modelo probabilístico para esta
situação.
b) Qual é a probabilidade de que ambos os
selecionados sejam do mesmo sexo?
21
Exemplo 3
8/14 HH
9/15
8H, 6M
6/14 HM
9 H, 6 M
9/14
6/15

MH
9H, 5M
5/14 MM
22
Exemplo 3
9 8
P(H  H)  P(H)  P(H / H)    0,3429
15 14
9 6
P(H  M)  P(H)  P(M / H)    0,2571
15 14
6 9
P(M  H)  P(M)  P(H / M)    0,2571
15 14
6 5
P(M  M)  P(M)  P(M / M)    0,1429
15 14
23
Exemplo 3
P(Mesmo sexo)  P[( H  H)]  (M  M)]
(H  H) e (M  M) são M.E.
P(Mesmo sexo)  P(H  H)  P(M  M)
24
Exemplo 3
P(Mesmo sexo)  P(H)  P(H / H)  P(M)  P(M / M)
9 8
6 5
P(Mesmo sexo)      0,4858
15 14 15 14
25
Tô afim de saber...

Sobre conceitos de probabilidade:
 BARBETTA,P. A. Estatística Aplicada
às Ciências Sociais. 8ª. ed. –
Florianópolis: Ed. da UFSC,
2008,
capítulo 7.
 LOPES,
P. A. Probabilidades e
Estatística. Rio de Janeiro: Reichmann
e Affonso Editores, 1999, capítulo 3.
26
Próxima aula

Variável aleatória
 Conceitos.
 Distribuições
de probabilidade para
variáveis
aleatórias
discretas
e
contínuas.
 Valor esperado e variância.
27