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Probabilidade e Modelos
Probabilísticos
1ª Parte: Conceitos básicos, variáveis aleatórias,
modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
discretas, modelo binomial, modelo de Poisson
1
Probabilidade
 Mensuração da
chance de ocorrência de
fenômenos aleatórios, mostrando como poderão
ocorrer os fatos.
 Base teórica para a análise inferencial.
2
Exemplo de um
experimento aleatório

Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é
homem ou mulher.

Resultados possíveis:
homem, mulher

Espaço amostral = {homem, mulher}
3
Probabilidade
de um resultado




Qual a probabilidade de homem e de
mulher?
P(homem) = 0,5
P(mulher) = 0,5
A probabilidade é um número entre 0 e
1, sendo que a soma das
probabilidades de todos os resultados
possíveis deve ser 1.
50% homens
50% mulheres
4
Evento

Evento = conjunto de resultados possíveis

Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6

Eventos:
A = número par,
B = núm. menor que 3
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2}
P(A) = 1/2
P(B) = 2/6 = 1/3
5
Operações com eventos
A

não A
A
P( A )  1  P( A)
6
Operações com eventos

A
A B
B
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Eventos Mutuamente Exclusivos: SEM intersecção
AB = 
P() = 0
7
Probabilidade condicional
Condição do peso
B (B)
Tipo do leite
C (C)
UHT (U)
dentro das especificações (D)
500
4500
1500
6500
fora das especificações (F)
30
270
50
350
530
4770
1550
6850
Total
350
P( F ) 
 0,051
6850
Total
50
P( F | U ) 
 0,032
1550
50
50
P( F  U )
6850
P( F | U ) 


1550
1550
P(U )
6850
8
Probabilidade condicional
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com champignon supondo
que houvesse calabresa
nele?
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com calabresa supondo
que houvesse champignon
nele?
P(Champignon  Calabresa) 3 / 8 3
P(Champignon | Calabresa) 


P(Calabresa)
5/8 5
P(Champignon  Calabresa) 3 / 8 3
P(Calabresa | Champignon) 


P(Champignon)
4/8 4
9
Probabilidade Condicional
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço
com champignon supondo
que houvesse calabresa nele?
Qual é a probabilidade
de selecionar um pedaço com
calabresa supondo que
houvesse champignon nele?
P(Champignon  Calabresa) 2 / 8 2
P(Champignon | Calabresa) 


P(Calabresa)
4/8 4
P(Champignon  Calabresa) 2 / 8 2
P(Calabresa | Champignon) 

 10
P(Champignon)
4/8 4
Probabilidades de eventos
1) Evento complementar:
P ( A )  1  P ( A)
2) Propriedade da soma:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )
3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
4) Propriedade do produto:
P ( A  B )  P ( A) × P ( B / A)
5) Propriedade do produto para eventos independentes
P ( A  B )  P ( A) × P ( B )
11
Variável aleatória


“Uma variável aleatória é uma função com valores
numéricos, cujo valor é determinado por fatores de
chance.” Associa números aos eventos do espaço
amostral.
X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;
 = {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}
X:
0
1
2
x
12
Exemplos de variáveis
aleatórias





Vida útil (em horas) de um televisor.
Número de peças com defeito em um lote produzido.
Número de acidentes registrados durante um mês na
BR.101.
Na internet, o tempo (em segundos) para que uma
determinada mensagem chega ao seu destino.
Se uma mensagem chega (X = 1), ou não (X = 0), ao seu
destino
13
Variáveis aleatórias
variável aleatória
discreta
os possíveis resultados
estão contidos em um
conjunto finito ou
enumerável
0 1 2 3 4 ...
número de defeitos em ...
contínua
os possíveis resultados
abrangem todo um intervalo
de números reais
0
tempo de resposta de ...
14
Construção de distribuições
de probabilidades
Sortear 2 bolas
com reposição
X = número de bolas pretas na amostra
15
Sortear 2 bolas
com reposição
X = número de bolas
pretas na amostra
(10)
(20)
3/5
3/5
2/5
2/5
3/5
2/5
x
0
1
2
p(x)
9/25 (0,36)
12/25 (0,48)
4/25 (0,16)
16
Sortear 2 bolas
sem reposição
X = número de bolas
pretas na amostra
(10)
(20)
3/5
2/4
2/4
2/5
3/4
1/4
x
0
1
2
p(x)
6/20 (0,30)
12/20 (0,60)
2/20 (0,10)
17
Sortear 2 bolas
X = número de bolas
pretas na amostra
Distrib. de X
com reposição
x
0
1
2
p(x)
0,36
0,48
0,16
independência
Distrib. de X
sem reposição
x
0
1
2
p(x)
0,30
0,60
0,10
18
Exemplo 1
Considere
que
numa
grande
rede
de
computadores, em 60% dos dias ocorre alguma
falha.
Construir a distribuição de probabilidades para a
variável aleatória
X = número de dias com
falhas na rede, considerando o período de
observação de três dias. (Suponha independência.)
19
Exemplo 1
Possibilidades
x
Probabilidade
BBB
BBR
BRB
RBB
BRR
RBR
RRB
RRR
0
1
1
1
2
2
2
3
0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096
0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216
20
Exemplo 1
Distribuição de probabilidade de X:
x
0
1
2
3
Total
p(x)
0,064
0,288
0,432
0,216
1
0,432
0,288
0,216
0,064
0
1
2
3
número de dias com falhas na rede
21
Valor esperado e
variância
x
p(x)
x1
x2
...
xn
p1
p2
...
pn
Total
1
  E  X    xi pi
  V  X    xi    pi
2
2
22
Propriedades do valor esperado e variância
a)E(c) = c
b)E(X + c) = E(X) + c
c) E(cX) = cE(X)
d)E(X + Y) = E(X) + E(Y)
e) E(X – Y) = E(X) – E(Y)
a)V(c) = 0
b)V(X + c) = V(X)
c) V(cX) = c2V(X)
d)DP(cX) = |c|DP(X)
23
Exemplo 1
X = número de dias com falhas na rede.
x
0
1
2
3
p(x)
0,064
0,288
0,432
0,216
  E  X    xi pi
E(X) = 0(0,064) + 1(0,288) + 2(0,432) + 3(0,216) = 1,8
24
Exemplo 1
X = número de dias com falha na rede.
x
0
1
2
3
p(x)
0,064
0,288
0,432
0,216
  V  X    xi    pi
2
2
V(X) = (0 – 1,8)2(0,064) + (1 – 1,8)2(0,288) +(2 –
1,8)2(0,432) + (3 – 1,8)2(0,216) = 0,72
25
Experimento binomial
 consiste
 cada
de n ensaios;
ensaio tem somente dois resultados:
“sucesso” / “fracasso”;
 os
ensaios são independentes, com P(sucesso) = p
(0 < p < 1 constante ao longo dos ensaios);
====> X = número de sucesso nos n ensaios
26
Exemplos de experimentos
binomiais
 Número
de caras em 10 lançamentos de uma
moeda;
 Número de itens defeituosos numa amostra de 20
itens (supondo amostragem aleatória e com
reposição);
 Número de eleitores favoráveis a um determinado
projeto de lei em uma amostra de 200
entrevistados (supondo amostragem aleatória de
uma população muito grande).
27
Cálculo das probabilidades em
experimentos binomiais
X
= número de caras em 3 lançamentos de uma
moeda com P(cara) = p;
 P(X = 1) = ?
X=1
CKK
KCK
KKC
P(CKK) = p (1 - p)2
P(X = 1) = 3 p (1 - p)2
n
 
 x
28
O modelo binomial
Para um particular
x = 0, 1, ..., n:
 n x
n x
P( X  x)    p 1  p 
 x
E( X )  n  p
Cn , x
 n
n!
   
V
(
X
)

n

p

(
1

p
)
x
  x!(n  x)!
29
Exemplo 1 (de novo)
Considere que numa grande rede de computadores,
em 60% dos dias ocorre alguma falha.
Construir a distribuição de probabilidades para a
variável aleatória
X = número de dias com
falhas na rede, considerando o período de
observação de três dias. (Suponha independência.)
30
Exemplo 1 (de novo)


X = número de dias com falhas
binomial com
n=3
p = 0,6
1 – p = 0,4
 3 x
3 x
P( X  x)   0,6 0,4
 x
31
Exemplo 1 (de novo)
n=3
p = 0,6
3
P(X=x) =
0,6x.(1- 0,6)(3-x)
x
( )
P(X=0) = 3 0,60.(1- 0,6)(3-0) = 1.0,60.0,43 = 0,064
0
( )
3
0
( )=
3!
=1
0! (3-0)!
1
32
Exemplo 1 (de novo)
n=3
p = 0,6
3
P(X=x) =
0,6x.(1- 0,6)(3-x)
x
( )
P(X=1) = 3 0,61.(1- 0,6)(3-1) = 3.0,61.0,42 = 0,288
1
( )
3
1
( )=
3!
=3
1! (3-1)!
33
Exemplo 1 (de novo)
n=3
p = 0,6
3
P(X=x) =
0,6x.(1- 0,6)(3-x)
x
( )
P(X=2) = 3 0,62.(1- 0,6)(3-2) = 3.0,62.0,41 = 0,432
2
( )
3
2
( )=
3!
=3
2! (3-2)!
34
Exemplo 1 (de novo)
n=3
p = 0,6
3
P(X=x) =
0,6x.(1- 0,6)(3-x)
x
( )
P(X=3) = 3 0,63.(1- 0,6)(3-3) = 1.0,63.0,40 = 0,216
3
( )
3
3
( )=
3!
=1
1
3! (3-3)!
35
Distribuição da variável X
x
0
1
2
3
Total
p(x)
0,064
0,288
0,432
0,216
1
0,432
0,288
0,216
0,064
E( X )  n  p  3  0,6  1,8
0
V ( X )  n  p  (1  p)  3  0,6  0,4  0,72
1
2
3
36
Distribuição de Poisson
 Número
de observações de uma variável em um
intervalo contínuo (tempo ou espaço):
distribuição de Poisson. Exemplos:
 chamadas telefônicas por minuto,
 mensagens que chegam a um servidor por
segundo
 acidentes por dia,
 defeitos por m2, etc..
37
Distribuição de Poisson
Pressupostos
 Os
números de ocorrências em quaisquer intervalos
são independentes.
 A probabilidade de duas ou mais ocorrências
simultâneas é zero.
 O número médio de ocorrências () é constante em
todo o intervalo considerado.
38
Distrib. de Poisson: uma justificativa
X = núm. de ocorrências em [t, t+1]
t
t+1
n intervalos de amplitude 1/n, com n  
p = probab. de ocorrência em cada intervalo
 n x
n x
P( X  x)    p (1  p)
 x
P( X  x) 

n
p0
np >0
x  t
t e
x!
(x =0, 1, 2, ...)
39
Distribuição de Poisson
Equação
 As
probabilidades de uma distribuição de Poisson
são dadas por:
e-t . tx
P(X=x) =
t -
x!
número médio de ocorrências no intervalo
(tempo ou espaço) considerado.
40
Valor Esperado e Variância
O
valor esperado (média) e a variância de uma
distribuição de Poisson são iguais a.
E(X) = t
Var(X) = t
41
Exemplo 2
 Em
um processo produtivo têxtil, o número
médio de defeitos por m2 de tecido é 0,4,
variando segundo uma distribuição de Poisson.
Qual é a probabilidade de que, em 1 m2 de tecido
fabricado:
 a)
não haja defeito?
42
Exemplo 2 - item a
 = 0,4 t =1
t = 0,4
e-0,4 . x
P(X=x) =
x!
e-0,4 . 0
P(X=0) =
0!
= 0,6703 ou 67,03%
43
Exemplo 2
 Em
um processo produtivo têxtil, o número
médio de defeitos por m2 de tecido é 0,4, variando
segundo uma distribuição de Poisson. Qual é a
probabilidade de que, em 1 m2 de tecido
fabricado:
 a)
não haja defeito?
 b) haja no máximo 1 defeito?
44
Exemplo 2 - item b
e-0,4 . x
P(X=x) =
x!
P( X  1)
e-0,4 . 1
P(X=1) =
1!
= 0,2681 ou 26,81%
P(X=0) + P(X=1) = 0,6703 + 0,2681 = 0,9384
ou 93,84%
45